Применение методов математической экономики к решению практических задач

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ) Факультет: Информационные системы в управлении (ИСУ) Специальность: Прикладная информатика в экономике (ПИЭ) Кафедра: Прикладная информатика в экономике (ПИЭ) Курсовая работа по дисциплине: «Математическая экономика»

Тема: «Применение методов математической экономики к решению практических задач«

Выполнил: студент гр. ПИ-09и1

Загиров Ринат Рашитович Проверил: преподаватель Попова Ольга Аркадьевна Омск 2010

Реферат

Пояснительная записка 32 с., 3 сх., 8 табл., 12 источников.

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ К РЕШЕНИЮ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ.

МЕТОД АВС-АНАЛИЗА, МЕЖОТРАСЛЕВОЙ БАЛАНСОВЫЙ МЕТОД, ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД, МЕТОД ВЕТВЕЙ И ГРАНИЦ.

Объектом исследования являются методы математической экономике для решения экономических задач.

Цель работы — научиться решать задачи математической экономики с помощью методов математической экономики.

В результате ознакомления с данными методами мы научились рассчитывать затраты фирм их «плюсы и минусы».

Разработаны математические модели: графический метод построения затрат, деревья затрат производственной единицы продукции, алгоритмический метод для нахождения оптимальных решений различных задач оптимизации (метод ветвей и границ).

1. Метод АВС-анализа для решения задачи классификации групп потребителей

2. Межотраслевой балансовый метод и его применение в задачах математической экономики

2.1 Применение МБМ для расчетов полных затрат

2.1.1 Теоретические основы графического метода построения затрат

2.1.2 Деревья затрат производственной единицы продукции

2.2 Решение задач определенной области валовой продукции по заданной конечности

2.2.1 Теоретические основы метода

3. Построение кольцевых маршрутов

3.1 Содержательная постановка задачи

3.2 Математическая постановка задачи

3.3 Описание метода решения

3.4 Пример решения задачи Заключение Список используемых источников

Курсовая работа имеет название: «Применение методов математической экономики к решению практических задач». Данная курсовая работа связана с решением практических задач, применяя методы математической экономики. В курсовой работе рассматриваются несколько методов решения математических задач:

1. АВС-анализ.

2. Межотраслевой балансовый метод.

3. Графический метод.

Целью курсовой работы является необходимость ознакомиться и понять суть данных методов решения математических задач.

Вопрос, поднятый в курсовой работе очень актуален, т.к. данные методы очень часто применяются в экономической и информационной деятельности. Объектом исследования являются экономические системы, которые используются во многих экономических компаниях и структурах.

Предметом исследования являются методы математической экономики для решения таких задач, как управление, ведение, подсчёт каких-то объектов.

1. Метод АВС-анализа для решения задачи классификации групп потребителей

Цель работы: Провести ABC-анализ. Формирование ассортиментных групп в зависимости от заданных характеристик.

Реализовать метод с использованием возможности XL.

Задача: Имеются данные о 20 поставщиках за 3 месяца. Необходимо классифицировать всё множество поставщиков на 3 группы А, В, С в соответствии с методом АВС-анализа по данным характеристикам.

Теоретические основы ABC-анализа: ABC-анализ — метод, позволяющий классифицировать ресурсы фирмы по степени их важности.

ABC-анализ — анализ товарных запасов путём деления на три категории:

· А — наиболее ценные,

· В — промежуточные,

· С — наименее ценные.

ABC-анализ — это ранжирование ассортимента по разным параметрам. Ранжировать таким образом можно и поставщиков, и складские запасы, и покупателей, и длительные периоды продаж.

Результатом АВС-анализа является группировка объектов по степени влияния на общий результат.

Основные этапы выполнения задания и краткое описание каждого этапа соответствующими выводами и результатами:

Шаг 1: Необходимо рассчитать суммарный объем продаж за месяцы «январь», «февраль», «март».

В Excel рассчитать это позволяет функция СУММ (число1;[число2]; …).

Vj=, j=1,2,3; n=20

Шаг 2: Необходимо рассчитать суммарный объем продаж по каждому поставщику за месяцы. Столбец назовем «Итого за 1 квартал».

В Excel это также позволяет функция СУММ (число1;[число2]; …).

Ui =, i = ; m=3

Шаг 3: Необходимо найти долю в обороте по каждому поставщику. Для этого необходимо общую сумму за квартал разделить на сумму объемов продаж по каждому поставщику.

Gi = Ui/U1*100%, i =

Шаг 4: Необходимо рассчитать долю с накопительным итогом по каждому поставщику. Для этого нужно просуммировать каждое предыдущее значение в столбце «Доля в обороте» с последующим значением.

Hi = Hi + H (i+1), i =

Шаг 5: Произвести распределение по группам. Сравнить начальные данные с полученными в результате расчетов.

1) Группа, А — 75% от общего объема продаж

2) Группа B — 15% от общего объема продаж

3) Группа C — 10% от общего объема продаж Причем компания изначально считает, что поставщики делятся на группы:

1) Группа, А — 4 поставщика;

2) Группа В — 7 поставщиков;

3) Группа С — 9 поставщиков.

Заключение

: В итоге все поставщики попали в группу С, так как доля в обороте всех поставщиков меньше 10%.

Вывод: В результате можно сделать вывод, что фирма некорректно сформировала сытовую политику. В результате возможны дополнительные затраты на акции для поставщиков, на самом деле не относящихся к группе, А или B. Все поставщики являются наименее ценными.

2. Межотраслевой балансовый метод и его применение в задачах математической экономики

При решении задач, связанных с планированием производства и реализацией продукции, приходится сталкиваться с проблемой определения плановых показателей и распределения на основе полученных данных имеющихся производственных ресурсов. Определение плановых коэффициентов затрат — наиболее трудоемкая часть всей работы по составлению планового баланса. Являясь укрупненными нормативами затрат складываются под влиянием многих факторов: (степень детализации отраслей и продуктов в балансе, состав и структура продукции, технология и техническое оснащение производства и др.). Далеко не всегда воздействие этих факторов удается учесть с достаточной полнотой и точностью.

Два предлагаемых к рассмотрению метода расчета затрат: графический и аналитический позволяют с одной стороны реализовать принцип наглядности в расчете затрат, а с другой стороны — точности, что существенно повышает надежность расчетов плановых показателей на рассматриваемый период.

2.1 Применение МБМ для расчетов полных затрат

Все основные величины и параметры межотраслевых и производственных матричных моделей находятся между собой в определенной математической зависимости. Она характеризуется прежде всего уравнениями (1) и (2), отражающим реально существующие взаимосвязи производства и отраслей в общественном производстве.

i=1,2,…, n (1)

j=1,2,…, n (2)

Технологические связи между отраслями и производственными процессами измеряются с помощью коэффициентов прямых материальных затрат обозначаются. Он показывает сколько единиц продукции 1-ый отрасли непосредственно затрачиваются в качестве средств производства на выпуск единицы продукции j-ой отрасли. При i=j имеем коэффициент затрат собственной продукции отрасли на единицу её валового выпуска.

Коэффициенты прямых материальных затрат представляют собой отношение величины межотраслевых затрат представляют собой отношение величины межотраслевых потоков к объему валовой продукции потребляющих отраслей

i=1,2,…, n;

J=1,2,…, n. (3)

Коэффициенты прямых затрат образуют квадратную матрицу А, содержащую n строк и n столбцов:

А=

Из формулы (3) следует, что

(4)

и, следовательно, выражение (2) может быть в виде

i=1,2,…, n. (5)

Формула (5) представляет собой систему из n уравнений и является основным математическим соотношением как стоимостных, так и натуральных балансов, и служит исходным пунктом расчетов при разработке балансов на плановый период.

При планировании производства продукции на заданный период времени известны технологические коэффициенты. Тогда система (5) содержит n уравнений и 2n неизвестных — валовые выпуски всех отраслей, j=1,2,…n и уравнение конечной продукции i=1,2,…n. Такая система является неопределенной и имеет бесконечное множество решений. Для нахождения решения системы необходимо задаться произвольными значениями любых n неизвестных величин, тогда значение остальных n неизвестных будут определяться однозначно решением системы (5).

2.1.1 Теоретические основы графического метода построения затрат

Рассмотрим систему уравнений (5). В матричной форме оно имеет вид:

Х = АХ + Y (6)

где X= - вектор валовых выпусков;

Y= - вектор конечной продукции;

А= - матрица прямых затрат.

Перепишем (6) в виде:

X — AX=Y;

(E — A) X=Y; (7)

X= (E — A) — Y.

Таким образом, общее решение системы (5) связано с обращением матрицы

E-A =

Обозначим

Тогда уравнение (7) можно записать в виде:

X=D*Y. (8)

Выражение (8) определяет систему n уравнений, которые выражают валовую продукцию каждой отрасли как функцию конечной продукции всех отраслей:

i=1,2,…, n (9)

Валовая продукция выступает здесь как взвешенная сумма количеств конечных продуктов, причем весами являются коэффициенты, которые показывают, сколько всего нужно произвести продукции 1-ой отрасли для выпуска в сферу конечного использования единицы продукции j-ой отрасли.

Значение коэффициентов позволяют ответить на вопрос: каковы полные потребности в продукции i, необходимые для получения продукции вида j.

Рассмотрим матрицу

.

Между коэффициентами матрицы D и коэффициентами и саму единицу конечной продукции (i=j), которую также нужно произвести, но которая не является затратами производства в узком смысле:

=+.

Экономическое различие между коэффициентами и заключается в том, что отражают структурные взаимосвязи промежуточного и конечного продукта, а — структурные взаимосвязи валового и конечного продукта.

Вычисление полных и прямых затрат через операцию обращения матрицы Е — А представляют собой относительно точный численный метод расчета затрат, который позволяет на основе прямых затрат произвести плановые расчеты полных затрат, исключая из рассмотрения косвенные затраты. При решении многих производственных задач, в том числе в производственно планировании, необходимо проводить анализ и учет косвенных затрат. Решить эту проблему позволяет графический метод расчета затрат, который, который, обладая свойством наглядности, дает лишь приближенные значения полных затрат.

2.1.2 Деревья затрат производственной единицы продукции

Рассмотрим производство, в котором участвуют три продукта Р1, Р2,Р3.

Для выпуска каждого из них требуется затрачивать продукты двух других видов. Коэффициенты прямых затрат aij приведены в таблице. Предполагается, что в собственном производстве никакой продукт прямо не участвует. Поэтому коэффициенты, стоящие на главной диагонали равны нулю.

Требуется определить в расчете на единицу продукции Р1, Р2,Р3 приближенные коэффициенты полных затрат всех продуктов, ограничившись косвенными затратами второго порядка включительно.

0 0,13 0,18

А = 0,26 0 0,5

0,6 0,3 0

Рассмотрим производство, в котором участвуют 3 продукта Р1, Р2, Р3. Для выпуска каждого из них требуется затрачивать продукты 2-х других видов. Коэффициенты прямых затрат а_ij приведены в таблице. Предлагается, что в собственном производстве никакой продукт прямо не участвует. Поэтому коэффициенты, стоящие на главной диагонали равны 0.

Требуется определить в расчете на единицу продукции Р1, Р2, Р3 приближенные коэффициенты полных затрат всех продуктов, ограничившись косвенными затратами 2-ого и 3-его порядка включительно.

В соответствии с данными данной таблицы на единицу продукции Р1 затрачивается 0,26 продукции Р2 и 0,6 продукции Р3. В свою очередь единица продукта Р2 требуется затрат продукции Р1 в количестве 0,13 единицы и Р3 — 0,3. На единицу продукции Р3 расходуется 0,18 продукции Р1 и 0,5 продукции Р2.

Составим дерево затрат на производство единицы продукции Р1 всех видов продуктов:

Рассчитаем на единицу продукции Р1 затраты продукции Р2:

А11=0.5*0.6 + 0.26 + 0.26*0.13*0.26 + 0.5*0.3*0.26 = 0.19

А12=0.3 + 0.26 + 0.6*0.13*0.26 + 0.6 + 0.6*0.18*0.6 + 0.5*0.3*0.6 = 0.67

А13=0.18*0.6 + 0.13*0.5*0.6 + 0.13*0.26*0.18 = 0.85

Теперь рассчитаем косвенные затраты 3-его порядка для единицы продукции Р1:

D11 = 0.26 + 0.26*0.13*0.26 + 0.5*0.3*0.26 + 0.6*0.5*0.13*026 + 0.26*0.18*0.3*0.26 + 0.5*0.6 + 0.26*0.18*0.6*0.4 + 0.5*0.6*0.18*0.6 + 0.5*0.3*0.5*0.6 + 0.26*0.5*0.13*0.5*0.6 = 0.81

D12 = 0.3 + 0.26 + 0.6*0.13*0.26 + 0.3*0.26*0.13*0.26 + 0.6*0.18*0.3*0.26 + 0.5*0.3*0.3*0.26 + 0.6 + 0.6*0.18*0.6 + 0.5*0.3*0.6 + + 0.5*0.26*0.18*0.6+0.6*0.13*0.5*0.6 = 0.91

D13 = 0.13*0.18*0.3*0.26+ 0.13*0.26*0.13*0.26 + 0.18*0.6*0.13*0.26 + 0.13*0.5*0.3*0.26 + 0.18*0.6 + 0.13*0.5*0.6 + 0.13*0.26*0.18 + 0.18*0.6*0.18*0.6 + 0.8*0.3*0.5*0.6 =0.47

Рассчитаем на единицу продукции Р2 затраты продукции Р1 и Р3. Хотя, затраты продукта Р2 в собственном производстве равны 0, однако косвенные затраты имеются, и коэффициент полных затрат не равен 0. Рассчитаем на единицу продукции Р2 затраты 2-ого и 3-его порядков.

Составим дерево затрат на производство единицы продукции Р2 всех видов продуктов:

Рассчитаем косвенные затраты 2-ого порядка для единицы продукции Р2:

A21=0.13 + 0.13*0.26*0.13 + 0.18*0.6*0.13 + 0.18*0.3 + 0.13*0.5*0.3 = 0.44

A22=0.26*0.13 + 0.26*0.13 + 0.26*0.13 + 0.5*0.6*0.13 + 0.5*0.3 = 0.24

A23=0.3 + 0.6*0.18*0.3 + 0.3*0.5*0.3 +0,6*0.13 + 0.3*0.26*0.13 = 0.46

Рассчитаем косвенные затраты 3-его порядка для единицы продукции Р2:

D21 = 0.13 + 0.13*0.26*0.13 + 0.18*0.3*0.26*0.13 + 0.18*0.6*0.13 + 0.13*0.5*0.6*0.13 + 0.18*0.3 + 0.13*0.26*0.18*0.3 + 0.18*0.6*0.18*0.3 + 0.13*0.5*0.3 + 0.18*0.3*0.5*0.3 = 0.35

D22 = 0.26*0.13 + 0.26*0.13 + 0.26*0.13 + 0.5*0.6*0.13 + 0.26*0.18*0.6*0.13 + 0.5*0.3 + 0.26*0.18*0.3*0.1 + 0.5*0.6*0.18*0.3 + 0.26*0.13*0.5*0.3 + 0.5*0.3*0.3*0.5 + 0.5*0.3*0.26*0.13 = 0.44

D23 = 0,6*0.13 + 0.3*0.26*0.13 + 0.6*0.13*0.26*0.13 + 0.6*0.18*0.6*0.13 + 0.3*0.6*0.5*0.13 + 0.3 + 0.6*0.18*0.3 + 0.3*0.5*0.3 + 0.3*0.26*0.18*0.5 + 0.6*0.13*0.3*0.5 = 0.5

Рассчитаем на единицу продукции Р3 затраты продукции Р1 и Р2. Хотя, затраты продукта Р3 в собственном производстве равны 0, однако косвенные затраты имеются, и коэффициент полных затрат не равен 0. Рассчитаем на единицу продукции Р3 затраты 2-ого и 3-его порядков.

Составим дерево затрат на производство единицы продукции Р3 всех видов продуктов:

Рассчитаем косвенные затраты 2-ого порядка для единицы продукции Р3:

A31 = 0.18 + 0.13*0.26*0.18 + 0.18*0.6*0.18 + 0.13*0.5 + 0.18*0.3*0.5 = 0.29

A32 = 0.26+0.18 + 0.5*0.6*0.18 + 0.5 + 0.26*0.13*0.5 + 0.5*0.3*0.5 = 1.11

A33 = 0.6*0.18 + 0.3*0.26*0.18 + 0.3*0.5 + 0.6*0.13*0.5 = 0.37

Рассчитаем косвенные затраты 3-его порядка для единицы продукции Р3:

D31 = 0.18 + 0.13*0.26*0.18 + 0.18*0.6*0.18 + 0.18*0.3*0.26*0.18 + 0.13*0.5*0.6*0.18 + 0.13*0.5 + 0.18*0.3*0.5 + 0.13*0.26*0.13*0.5 + 0.18*0.6*0.13*0.5 + 0.13*0.5*0.5*0.3 = 0.33

D32 = 0.26+0.18 + 0.5*0.6*0.18 + 0.26*0.13*0.26*0.18 + 0.5*0.3*0.26*0.18 + 0.26*0.18*0.6*0.18 + 0.5 + 0.26*0.13*0.5 + 0.5*0.3*0.5 + 0.5*0.6*0.13*0.5 + 0.26*0.18*0.3*0.5 = 1.12

D33 = 0.6*0.18 + 0.3*0.26*0.18 + 0.6*0.13*0.26*0.18 + 0.6*0.18*0.6*0.18 + 0.3*0.5*0.6*0.18 + 0.3*0.5*0.6*0.18 + 0.3*0.5 + 0.6*0.13*0.5 + 0.3*0.26*0.13*0.5 + 0.6*0.18*0.5*0.3 + 0.5*0.3*0.5*0.3 = 0.45

Составим матрицу полных материальных затрат 2-ого порядка:

0,19 0,67 0,85

А= 0,44 0,24 0,46

0,29 1,11 0,37

Составим матрицу полных материальных затрат 3-его порядка:

0,47 0,81 0,91

D= 0,35 0,44 0,5

0,33 1,12 0,45

Рассчитаем погрешность. Для этого из матрицы материальных затрат 3-его порядка вычтем матрицу материальных затрат 2-ого порядка и полученную матрицу умножим на 100%. Полученные проценты будут погрешностью.

0,47 0,81 0,91 0,19 0,67 0,85

F = D — A = 0,35 0,44 0,5 — 0,44 0,24 0,46 =

0,33 1,12 0,45 0,29 1,11 0,37

0.28 0.14 0.12

= 0.09 0.20 0.04

0.04 0.01 0.08

Полученную матрицу умножаем на 100% и получается погрешность от 1% до 28%.

2.2 Решение задач определенной области валовой продукции по заданной конечности

потребитель балансовый затрата маршрут Объем валовой продукции, i=1,2,…, n по заданной конечности продукции может быть определен по одной из формул

i=1,2,…, n (10)

i=1,2,…, n (11)

В первом случае расчет основывается на коэффициенте прямых затрат, i=1,2,…, j=1,2,…, n и сводится к решению системы n линейных уравнений с n неизвестными. При большом числе отраслей этот способ предполагает применения специальных методов. Если в задние по конечной продукции необходимо внести изменения, то расчет валовой продукции требует пересчета, сводящего к решению системы n уравнений.

Использование для расчета второй формулы более удобно, каждое уравнения системы решается достаточно просто и независимо от других. Изменение, которые необходимо внести в задание по конечной продукции сводится к следующему: достаточно добавить или вычесть определенные величины. Применение для расчетов второй формулы требует знания коэффициентов полных затрат, которые определяются из решения системы n линейных уравнений с n неизвестными.

Поэтому для практических расчетов, если просчитывается один или всего несколько вариантов, рационально пользоваться первым соотношением, если же расчет производится для нескольких вариантов конечной продукции с последующими неоднократными изменениями, то целесообразно рассчитать один раз коэффициенты полных затрат, а варианты просчитать по второй формуле.

Для решения системы алгебраических уравнений с целью определения неизвестных коэффициентов используют такие методы, как метод исключения Гаусса, метод полного исключения Жордана-Гаусса, метод Зейделя, метод простых итераций.

2.2.1 Теоретические основы метода

Пусть дана система уравнений вида:

В качестве начального (нулевого) приближения выбирается вектор свободных членов То есть

Каждая последующая итерация базируется на результатах предыдущей.

Для k-ой итерации имеем:

По данным формулам можно получить решение с любой точностью, при условии, что итерационный процесс сходится.

Достаточный признак сходимости итерационного процесса: если максимальная сумма абсолютных величин коэффициентов в первой части уравнений меньше единицы, то процесс сходится, то есть Метод простых итераций является приближенным методом. Критерием остановки вычислительного процесса может служит например, условие.

i=1,2,…, n

Где E — наперед заданное число, характеризующие требуемую точность вычислений.

Пример: Три отрасли: промышленность, сельское хозяйство и прочие отрасли составляют основу межотраслевого баланса. На плановый период задана матрица прямых затрат, А и вектор конечной продукции Y:

0,45 0,25 0,2 24

А = 0,2 0,12 0,03 Y = 18

0,15 0,05 0,08 6

Рассчитать плановые объемы валовой продукции, величину межотраслевых потоков, чистую продукцию отраслей с точностью Е = 0,1. Результаты представить в форме межотраслевого баланса.

Для расчета валовой продукции составим систему уравнений:

Х₁ = 0,45*Х₁ + 0,25*Х₂ + 0,2*Х₃ + 24,

Х₂ = 0,2*Х₁ + 0,12*Х₂ + 0,03*Х₃ + 18,

Х₃ = 0,15*Х₁ + 0,05*Х₂ + 0,08*Х₃ + 6;

Для проверки сходимости итерационного процесса составим суммы:

0,45 + 0,25 + 0,2 = 0,9,

0,2 + 0,12 + 0,03 = 0,35,

0,15 + 0,05 + 0,08 = 0,28,

Max {0.9; 0.35; 0.28} = 0.9 < 1

По достаточному признаку итерационный процесс сходится. Определим нулевое приближение:

Х₁⁽⁰⁾ = 24,

Х₂⁽⁰⁾ = 18,

Х₃⁽⁰⁾ = 6,

Х₁⁽¹⁾ = 0,45*Х₁⁽⁰⁾ + 0,25*Х₂⁽⁰⁾ + 0,2*Х₃⁽⁰⁾ + 24

Х₂⁽¹⁾ = 0,2*Х₁⁽⁰⁾ + 0,12*Х₂⁽⁰⁾ + 0,03*Х₃⁽⁰⁾ + 18

Х₃⁽¹⁾ = 0,15*Х₁⁽⁰⁾ + 0,05*Х₂⁽⁰⁾ + 0,08*Х₃⁽⁰⁾ + 6

Тогда Х₁⁽¹⁾ = 40,5,

Х₂⁽¹⁾ = 25,1,

Х₃⁽¹⁾ = 20,52,

Проверим точность расчетов. Для этого вычислим величины

|X_i⁽¹⁾ — X_i⁽⁰⁾|, i = 1,2,3,

и составим их с требуемым значением Е = 0,1

i = 1, |40.52 — 24| = 16.52 > 0.1

i = 2, |25.1 — 18| = 7.9 > 0.1

i = 3, |20.52 — 6| = 14.5 > 0.1

Так как требуемая точность не достигнута, переходим ко второй итерации.

Х₁⁽²⁾ = 0,45*40,5 + 0,25*25,1 + 0,2*20,5 + 14 = 52,6,

Х₂⁽²⁾ = 0,2*40,5 + 0,12*25,1 + 0,03*20,5 + 18 = 29,73,

Х₃⁽²⁾ = 0,15*40,5 + 0,05*25,1 + 0,08*20,5 + 6 = 14,97.

i = 1, |52.6 — 40.52 | = 12.08 > 0.1

i = 2, |29.73 — 25.1| = 4.63 > 0.1

i = 3, |14.97 — 20.52 | = 2.55 > 0.1

Так как требуемая точность не достигнута, итерационный процесс продолжается. Отмечу, что для решения данной задачи мне потребуется выполнить тринадцать итераций, и только результаты последней тринадцатой итерации значения будут удовлетворять заданной точности. Таким образом, в результате применения метода простых итераций, получим:

Х₁⁽¹³⁾ = 67.16

Х₂⁽¹³⁾ = 36.38

Х₃⁽¹³⁾ = 19,44

За искомые значения элементов вектора Х принимают результаты тринадцатой итерации, удовлетворяющие заданной точности.

Тогда Х₁⁽¹³⁾ = 67.16;

Х₂⁽¹³⁾ = 36.38;

Х₃⁽¹³⁾ = 19,44.

Заметим, что метод итераций формально очень прост, строго цикличен, поэтому он легко программируется и реализуется. Другим его преимуществом является интересное свойство самоисправляемости: отдельные ошибки, допущенные в процессе расчетов, вообще говоря, не влияют на правильность окончательно получаемых результатов.

Для составления баланса рассчитаем также межотраслевые потоки средств производства Х_ij по формуле:

X_ij = a_ij * X_ij

Получим:

Х11 = 30,2 Х21 = 9,09 Х31 = 3,9

Х12 = 13,43 Х22 = 4,36 Х32 = 0,58

Х13 = 10,07 Х23 = 1,82 Х33 = 1,55

Результаты вычислений с точностью до 0,1 представим в форме межотраслевого баланса. Величина чистой продукции определяется как разница между валовой продукцией отрасли и суммой межотраслевых потоков в каждом столбце.

3. Построение кольцевых маршрутов

Коммерческая деятельность обычно связана с командировками, поездками по городам для заключения сделок. Расстояния между любой парой множества из п городов известны и составляют. Если прямого маршрута между городами i и j не существует, то допускают, что. Коммерсант, выезжая из какого-либо города, должен посетить все города, побывав в каждом из них один и только один раз, и вернуться в исходный город. Необходимо определить такую последовательность объезда городов, при которой длина маршрута была бы наименьшей. Таким образом, нам приходиться обращаться к данному методу.

3.1 Содержательная постановка задачи

Метод ветвей и границ (англ. branch and bound) — общий алгоритмический метод для нахождения оптимальных решений различных задач оптимизации, особенно дискретной и комбинаторной оптимизации. По существу, метод является вариацией полного перебора с отсевом подмножеств допустимых решений, заведомо не содержащих оптимальных решений.

Общая идея метода может быть описана на примере поиска минимума и максимума функции f (x) на множестве допустимых значений x. Функция f и x могут быть произвольной природы. Для метода ветвей и границ необходимы две процедуры: ветвление и нахождение оценок (границ).

Процедура ветвления состоит в разбиении области допустимых решений на подобласти меньших размеров. Процедуру можно рекурсивно применять к подобластям. Полученные подобласти образуют дерево, называемое деревом поиска или деревом ветвей и границ. Узлами этого дерева являются построенные подобласти.

3.2 Математическая постановка задачи

Экономико-математическая постановка этой задачи может быть представлена, как задача целочисленного линейного программирования.

Переменные определим следующим образом:, если коммивояжер переезжает из города i в городу j в противном случае .

Задача заключается в определении матрицы целых неотрицательных значений переменных, минимизирующих целевую функцию вида:

1) для въезда в город только один раз

2) для выезда из города только один раз

3.3 Описание метода решения

В постановке задача коммивояжера представляет собой задачу целочисленного линейного программирования. Действительно, условия исключают в оптимальном решении значения как не имеющие смысла, а ограничения требуют:

1) чтобы маршрут включал только один въезд в каждый город;

2) чтобы маршрут включал лишь один выезд из каждого города, а целевая функция включала длину маршрута коммивояжера;

3) чтобы маршрут образовывал контур, проходящий через все города.

Таким образом, формируется экономный вариант маршрута в виде кольца.

3.4 Пример решения задачи

Решение этой задачи строится, например, методом ветвей и границ целочисленного программирования: Процедура нахождения оценок заключается в поиске верхних и нижних границ для оптимального значения на подобласти допустимых решений.

В основе метода ветвей и границ лежит следующая идея (для задачи минимизации): если нижняя граница для подобласти A дерева поиска больше, чем верхняя граница какой-либо ранее просмотренной подобласти B, то A может быть исключена из дальнейшего рассмотрения (правило отсева). Обычно, минимальную из полученных верхних оценок записывают в глобальную переменную m; любой узел дерева поиска, нижняя граница которого больше значения m, может быть исключен из дальнейшего рассмотрения.

Если нижняя граница для узла дерева совпадает с верхней границей, то это значение является минимумом функции и достигается на соответствующей подобласти.

Заключение

В данной курсовой работе мы изучили и поняли суть нескольких методов решения математических задач. Данные методы могут применяться в различной экономической деятельности. На основе этих методов мы можем написать какие-то информационные системы, которые будут помогать в решении каких-то экономических процессов.

Данные методы очень актуальны и интересны, по моему мнению, так как они просты на процесс своего выполнения и выдают ожидаемо-правильный результат.

В своё время каждый из этих методов очень своеобразен и отличается от другого на него похожего. Вот например в методе АВС-анализа для того чтобы прийти к ожидаемому результату, нам необходимо построить таблицу в Microsoft Office Excel «вбить» туда нужные нам формулы и мы получим ответ. В своё время каждый из этих методов очень своеобразен и отличается от другого на него похожего. А если рассматривать межотраслевой балансовый метод, то там всё делается вручную, мы строим деревья затрат на единицу какой-либо продукции и дальше уже по заданным нам формулам рассчитываем и получаем ответ.

Таким образом я пришёл к выводу, что данные на изучение методы очень интересны и актуальны, по мимо всего этого меня обрадовало то, что в каждом из них есть какая-то «изюминка», которую мы не найдём в другом методе.

Список используемых источников

1. Васин А. А., Морозов В. В. — Теория игр и модели математической экономики.

2. Колемаев В. А. — Математическая экономика.

3. Салманов О. — Математическая экономика с применением Excel.

4. Колемаева В. А. — Математические методы принятия решений в экономике.

5. Каплан В. — Решение экономических задач.

6. Пикуза В. — Экономические и финансовые расчеты в Excel.

7. Овечкина Е. — Компьютерный анализ и интерпретация эмпирических зависимостей.

8. Горелова Г. В. — Теория вероятностей и математическая статистика в примерах и задачах с применением Excel.

9. Струченков В. — Методы оптимизации в прикладных задачах.

10. Каплан В. Е. — Решение экономических задач на компьютере.

11. Нейман В. Г. — Компьютерное моделирование экономики.

12. Стихановская Л. М., Семёнова И. И. — Методические указания по оформлению текстовых документов.