Функции принадлежности. 
Нечеткая система типа Мамдани

Принадлежность каждого точного значения к одному из термов лингвистической переменной определяется посредством функции принадлежности. Ее вид может быть абсолютно произвольным, однако сформировалось понятие о так называемых стандартных функциях принадлежности Рис. 2. Стандартные функции принадлежности

Стандартные функции принадлежности легко применимы к решению большинства задач. Однако если предстоит решать специфическую задачу, можно выбрать и более подходящую форму функции принадлежности, при этом можно добиться лучших результатов работы системы, чем при использовании функций стандартного вида.

Модели нечеткого логического вывода

Нечеткий логический вывод — это аппроксимация зависимости «входы-выход» на основе лингвистических высказываний типа «ЕСЛИ-ТО» и операций над нечеткими множествами. Нечеткая модель содержит следующие блоки:

Нечеткая модель типа Мамдани

В модели типа Мамдани взаимосвязь между входами X = (x₁, x₂,…, x_n)и выходом y определяется нечеткой базой знаний следующего формата.

где a_{i, jp} — лингвистический терм, которым оценивается переменная x_i в строке с номером jp— количество строк-конъюнкций, в которых выход y оценивается лингвистическим термомd_j; m — количество термов, используемых для лингвистической оценки выходной переменной y.

(1).

Все лингвистические термы в базе знаний (1) представляются как нечеткие множества, заданные соответствующими функциями принадлежности.

Нечеткая база знаний (1) может трактоваться как некоторое разбиение пространства влияющих факторов на подобласти с размытыми границами, в каждой из которых функция отклика принимает значение, заданное соответствующим нечетким множеством. Правило в базе знаний представляет собой «информационный сгусток», отражающий одну из особенностей зависимости «входы-выход». Такие «сгустки насыщенной информации» или «гранулы знаний» могут рассматриваться как аналог вербального кодирования, которое, как установили психологи, происходит в человеческом мозге при обучении. Видимо поэтому формирование нечеткой базы знаний в конкретной предметной области, как правило, не составляет трудностей для эксперта.

Введем следующие обозначения:

µ_jp(x_i) — функция принадлежности входаx_iнечеткому терму.

a_{i, jp},, , т. е.

— функция принадлежности выхода y нечеткому терму, т. е.

Степень принадлежности входного вектора нечетким термамd_jиз базы знаний (1) определяется следующей системой нечетких логических уравнений:

(2).

Нечеткое множество, соответствующее входному вектору X^*, определяется следующим образом:

где imp— импликация, обычно реализуемая как операция нахождения минимума; agg— агрегирование нечетких множеств, которое наиболее часто реализуется операцией нахождения максимума.

Четкое значение выхода y, соответствующее входному вектору X^*, определяется в результате дефазификации нечеткого множества. Наиболее часто применяется дефазификация по методу центра тяжести: