Однофакторные прогнозирующие функции

Это такие функции, в которых прогнозируемый показатель зависит только от одного факториального признака.

В научно-техническом и экономическом прогнозировании в качестве главного фактора аргумента обычно используют время. Вполне очевидно, что не ход времени определяет величины прогнозируемого показателя, а действие многочисленных влияющих на него факторов.

Однако каждому моменту времени соответствуют определенные характеристики всех этих факториальных признаков, которые со временем в той или иной мере изменяются.

Таким образом, время можно рассматривать как интегральный показатель суммарного воздействия всех факториальных признаков.

В качестве фактора-аргумента в однофакторной прогнозирующей функции можно использовать не только время, но и другие факторы, если известна их количественная оценка на перспективу.

Наиболее простым из методов прогнозирования является экстраполяция тренда явления (процесса) за истекший период. Тренд (или вековая тенденция) характеризует процесс изменения показателя за длительное время, исключая случайные колебания. Тренд явления находят путем аппроксимации фактических уровней временного ряда на основе выбранной функции. Наиболее часто применяемые при прогнозировании функции показаны в табл. 2.3. В них фактор-аргумент обозначен символом t.

Таблица 2.3 Однофакторные прогнозирующие функции.

Наименования функции.	Вид функции.
Степенной полином.	y = a0 + a1t + a2t2 +…antn
Парабола.	y=a0+a1t+a2t2
Линейная функция.	у = а0+а1t.
Экспоненциальная (показательная).	.
Степенная.
Логарифмическая.	у = а0+а1lnt.
Комбинация линейной и логарифмической функций.	у = а0+a1t+а2lnt.
Функция Конюса.
Функция Торнквиста.
Логистическая (сигмоидальная).
Частный случай логистической функции.
Гипербола.	.
Комбинация линейной функции и гиперболы.	у = а0+а1t +.

При прогнозировании колебательных (циклических) процессов применяют тригонометрические функции, ряды Фурье.

Степенной полином может описать любые процессы изменения показателя y в зависимости от значений t. Корреляционное отношение для степенного полинома, служащее мерой тесноты корреляционной связи в нелинейных моделях, приближается к единице по мере увеличения числа степеней полинома до числа уровней временного ряда.

Одновременно линия регрессии приближается к фактическим уровням показателя за прошедшее время, что не позволяет установить его тренд и экстраполировать его на перспективу. Поэтому для прогнозирования обычно не применяют полином выше третьей степени. Таким образом, в качестве прогнозирующей функции целесообразно использовать лишь три частных случая степенного полинома: линейную модель, параболу и полином третьего порядка.

Однофакторная линейная модель отражает постоянный ежегодный абсолютный прирост в размере a₁, т. е. арифметическую прогрессию. Парабола (степенной полином) второго порядка описывает случаи увеличения абсолютного ежегодного прироста на постоянную величину 2a₂, а третьего порядка — S — образную кривую с двумя точками изгибов.

Экспонента первого порядка (показательная функция) предусматривает постоянный ежегодный темп роста, равный процентов (т.е. геометрическую прогрессию), а второго порядка — постоянное увеличение ежегодных темпов роста в раз.

Степенная функция соответствует случаю ускоряющегося при а1>1 или замедляющегося при а1<1 роста абсолютного ежегодного прироста. Логарифмическая функция выражает случай сокращения абсолютного ежегодного прироста, а функции Торнквиста и Конюса, комбинация линейной функции с логарифмической — затухающий рост абсолютного ежегодного прироста.

Логистическая (сигмоидальная) кривая представляет собой модифицированную геометрическую прогрессию, в которой возрастание затухает по мере приближения к определенному пределу. Наконец, гиперболы характерны для тех случаев, когда в начальной стадии абсолютные уровни показателя резко сокращаются, а на последующих этапах этот процесс сокращения постепенно затухает Коэффициенты в однофакторных прогнозирующих функциях а₀ и а₁ определяются с помощью метода наименьших квадратов, сущность которого заключается в минимизации суммы квадратов отклонений фактических значений от расчетных:

гдевид исследуемой функции (см. табл.2.3).

Пусть временной ряд может быть описан линейной функцией:

.

Подставим это выражение в формулу (2.13), получим:

.

Возьмем частные производные по а₀ и а₁:

.

.

В результате алгебраических преобразований данной системы: (сокращений, раскрытия скобок, переноса известных величин вправо, а неизвестных влево) — получим систему нормальных уравнений:

Из первого уравнения найдем а₀, из второго — а₁.

Формулы расчета а₀ и а₁ имею вид:

или.

Прогнозируемые значения показателя у определяется по формуле:

=а₀+а₁(t+L), где L=1,2,…,(2.15).

если фактором-аргументом является время t. В случае, когда фактор-аргумент — независимая переменная (любой показатель х) то необходимо найти его прогнозируемые значения. Тогда:

=а₀+а₁х_t+L, где L=1,2,… (2.16).

Для оценки качества и надежности анализа регрессии используются следующие показатели: корреляционное отношение (з), коэффициент парной корреляции ®, коэффициент детерминации (r²), средняя ошибка предвидения (S_с), средняя ошибка коэффициента регрессии (S_аj, j=0, 1,2, …).

Корреляционное отношение (з) указывает на степень взаимозависимости между у и х. Принимает значения между 0 и 1:

Коэффициент парной корреляции может быть определен по формуле:

где S₁₁, S₂₂, S₁₂ — соответственно остаточные дисперсии для функции, фактора-аргумента и их произведения: определяются по формулам:

;

;

.

Коэффициент корреляции, рассчитывается по формуле (2.18) и принимает значения от -1 до +1.

Чем ближе значения коэффициента к единице, тем большая связь существует между функцией и аргументом.

Для проверки гипотезы о наличии связи определим критерий Стьюдента:

Если t_r>t_табл, то принимаем гипотезу о наличии связи, в противном случае — она отсутствует.

Коэффициент детерминации (r²) показывает, насколько уравнение регрессии подходит к значениям временного ряда или какой процент составляют учтенные факторы в уравнении регрессии.

Точность регрессионной модели определяется с помощью средней ошибки предвидения или среднего отклонения по формуле:

Средняя ошибка коэффициентов регрессии определяется по формуле:

или ,.

где j=1, 2, …, m; m — число факторов;

t=1, 2, …, n; n — число данных.

Оценка Стьюдента (t_аj) показывает удельный вес фактора-аргумента х при объяснении у. Она вычисляется делением коэффициентов a_j на их средние ошибки S_aj:

Оценка Стьюдента показывает, во сколько раз значения j-го коэффициента превосходят его среднюю ошибку. Любое значение t_aj больше 2 или меньше -2 считается приемлемым. Чем больше величина t_aj, тем больше значимость коэффициентов регрессии, тем надежнее уравнение регрессии.

Статистическая надежность аппроксимирующей функции или коэффициента парной корреляции устанавливается также с помощью критерия Стьюдента (2.19).

С вероятностью ошибки р и с (n-2) степенями свободы выбранная функция признается статистически надежной, если рассчитанное значение критерия t_r превышает табличное.

Ошибкой прогноза называется отклонение предсказанного значения от наблюдаемого (фактического). Для оценки совокупной ошибки прогноза используются два показателя: средняя абсолютная ошибка () и средняя относительная ошибка (), которые определяются по формулам:

С помощью метода наименьших квадратов могут быть определены а₀ и а₁ во всех однофакторных прогнозирующих функциях, если эти функции предварительно линеаризовать, т. е. преобразовать в линейную модель. Линеаризация достигается логарифмированием или получением обратных значений функции, а также заменой переменных, представляющих собой преобразованные значения показателей у и t.