Переменные граничные условия

Приведённые выше диффузионные задачи решались при постоянных граничных условиях i-го рода. Однако, в многих практически важных ситуациях, концентрация диффузанта на поверхности образца — функция времени. Это, например, происходит самопроизвольно в методе абсорбции при ограниченной ёмкости резервуара. Иногда целенаправленно используют изменяющиеся во времени граничные условия.

В данной главе приведён математический аппарат задачи массопереноса в твёрдом теле простой геометрической формы (например, пластины) на одной или обеих поверхностей которой концентрация диффузанта изменяется во времени по некоторому закону.

Полуограниченная среда.

В полуограниченной среде при нулевом начальном условии С (х, о)=о и граничном условии С (о, 0=ф (0 распределение концентрации диффузанта.

Диффузия в ограниченной пластине при различных переменных граничных условиях на разных поверхностях.

Будем решать эту задачу методами операционного исчисления.

Рассмотрим одномерное дифференциальное уравнение диффузии:

Положим, что для отрезка оzxzH поставлена краевая задача с краевыми условиями:

и однородным начальным условием:

Вместо C (x, t) введём в качестве искомой функции её преобразование Лапласа:

Применяя к обоим частям Ур.1 преобразование Лапласа и считая, что в Ур. з можно дифференцировать по х под знаком интеграла, получим.

После применения преобразования Лапласа к Ур.2, имеем:

Сорбция двусторонней пластиной при изменении поверхностной концентрации по закону ^ ^- Q0 ^— ехР (~ Обычно кон.

центрация диффузанта на поверхности сорбента достигает равновесного значения практически мгновенно и остаётся постоянной в течение всего процесса. Однако иногда поверхностное равновесие устанавливается с конечной скоростью, так что поверхностная концентрация возрастает в течение некоторой части сорбционного процесса. В этом случае форма кривых количество диффузанта в образце — время может быть заметно искажена. Например, поверхностная концентрация С$ может увеличивается быстро, но не мгновенно, стремясь к равновесию по экспоненциальному закону.