Степенная функция, ее свойства и графики

Степенной функцией называется функция, в которой переменная находится только в основании степени.

— функция простого аргумента, где n — действительное число, х — аргумент.

где — функция сложного аргумента.

1) График функции у=, где m=2n, m — четное натуральное число, например, у=, у=, у= и т. д.

Свойства функции у=:

• 1. D (y):(??; +?).
• 2. Е (у):[0;+?).
• 3. Точка пересечения с осями (0;0).
• 4. Функция является чётной, так как: ()=.
• 5. Функция непериодична.
• 6. Функция убывает на промежутке (??;0], возрастает на промежутке [0;+?).
• 7. Функция имеет экстремум, точка min (0;0).
• 8. Функция выпуклая вниз на всей области определения.
• 9. Функция является непрерывной.
• 10. Асимптот нет.
• 11. у>0 на всей области определения.
• 12. Функция ограничена снизу.

Пример:

y=x²

2) График функции у=, где m=2n-1, m — нечетное натуральное число, например, у=, у=, у= и т. д.

Свойства функции у=:

• 1. D (y):(??; +?).
• 2. Е (у): (??;+?).
• 3. Точка пересечения с осями (0;0).
• 4. Функция является нечётной, так как: ()=.
• 5. Функция непериодична.
• 6. Функция возрастает на всей области определения.
• 7. Функция экстремумов не имеет.
• 8. Функция выпуклая вверх на промежутке (??;0), выпуклая вниз на промежутке (0;+?), точка перегиба (0;0).
• 9. Функция является непрерывной.
• 10. Асимптот нет.
• 11. у>0, если хє(??;0), у, если хє(0;+?).
• 12. Функция не ограничена.

Пример:

y=x³

3) График функции у=, где m=-(2n-1).

Свойства функции у=:

• 1. D (y):(??;0) х (0; +?).
• 2. Е (у): (??;0) х (0;+?).
• 3. Точек пересечения с осями нет.

4. Функция является нечётной, так как: = .

• 5. Функция не периодична.
• 6. Функция убывает на промежутке (??;0) х (0;+?)
• 7. Функция экстремумов не имеет.
• 8. Функция выпуклая вверх на промежутке (??;0), выпуклая вниз на промежутке (0;+?).
• 9. Функция является прерывной.
• 10. Асимптоты есть, ось Ох и ось Оу.
• 11. у>0, если х є(0;+?), у, если х є (??;0).
• 12. Функция неограниченна.

Пример:

y=x^-1

Х.	— 4.	— 2.
у.

4) График функции у=, где m=-2n.

Свойства функции у=:

• 1. D (y):(??;0) х (0; +?).
• 2. Е (у): (0;+?).
• 3. Точек пересечения с осями нет.
• 4. Функция является чётной, так как: =.

• 5. Функция не периодична.
• 6. Функция возрастает на промежутке (??;0), убывает на промежутке (0;+?)
• 7. Функция экстремумов не имеет.
• 8. Функция выпуклая вниз на промежутке (??;0) х (0;+?).
• 9. Функция является прерывной.
• 10. Асимптоты есть, ось Ох и ось Оу.
• 11. у>0 на всей области определения.
• 12. Функция ограниченна снизу осью Ох.

Пример:

y=x^-2

Х.	— 3.	— 2.	— 1.
у.

5) График функции у=, где m— четное натуральное число, например, у=, у= и т. д.

Свойства функции у=:

• 1. D (y): [0; +?).
• 2. Е (у): [0;+?).
• 3. Точка пересечения с осями (0;0).
• 4. Функция общего вида.
• 5. Функция не периодична.
• 6. Функция монотонно возрастает на промежутке [0;+?).
• 7. Функция экстремумов не имеет.
• 8. Функция выпуклая вверх на всей области определения.
• 9. Функция является прерывной.
• 10. Асимптоты нет.
• 11. у>0 на всей области определения.
• 12. Функция ограниченна снизу осью Ох.

Пример:

y=.

6) График функции у=, где m— нечетное натуральное число, например, у=, у= и т. д.

Свойства функции у=:

• 1. D (y): (??; +?).
• 2. Е (у): (??;+?).
• 3. Точка пересечения с осями (0;0).
• 4. Функция является нечётной
• 5. Функция не периодична.
• 6. Функция возрастает на всей области определения.
• 7. Функция экстремумов не имеет.
• 8. Функция выпуклая вниз на промежутке (??;0], выпуклая вверх на промежутке [0;+?), точка перегиба (0;0).
• 9. Функция является непрерывной.
• 10. Асимптот нет.
• 11. у>0, если х є (0;+?), у, если х є(??;0).
• 12. Функция не ограничена.

Пример:

y=.