Метод квазиобращения. 
Понятие приближенного решения некорректно поставленных задач

Известно, что задача Коши для уравнения теплопроводности с обратным течением времени является неустойчивой к малым изменениям начальных значений. Неустойчивость сохраняется и в случаях, когда решение подчиняется некоторым дополнительным граничным условиям. Для устойчивого решения таких задач разработан метод квазиобращения. Мы изложим существо его для простейшего уравнения теплопроводности, не вдаваясь в вопросы обоснования. Подробное изложение в применении к более широкому классу задач содержится в.

Рассмотрим прямую задачу. Пусть D — конечная область n-мерного евклидова пространства Rⁿ точек x = (x₁, x₂, …, x_n), ограниченная кусочно-гладкой поверхностью S, a t — время. Пусть, далее, j (x) — заданная непрерывная в D функция. Прямая задача состоит в нахождении решения u=u(x, t) уравнения.

(2;5,1).

в области G є {x О D, t > 0}, удовлетворяющего граничным условиям.

u(х, t) =0 при xОS (2; 5,2).

и начальным условиям.

u(x, 0)=—j (x). (2; 5,3).

Здесь.

Известно, что решение такой задачи существует. Каждой функции j (x)ОC отвечает решение задачи (2; 5,1) — (2; 5,3). Будем обозначать его через u(х, t;—j).

Обратная задача состоит в нахождении функции j (х) по известной функции u(х, t;—j). В реальных задачах функция u (x, t;j) обычно получается в результате измерений и, следовательно, известна приближенно. Будем полагать, что uОL₂. Такая функция может и не соответствовать никакой «начальной» функции j (х). Таким образом, может не существовать в классе функций С решения обратной задачи. Поэтому будем рассматривать задачу нахождения некоторого обобщенного решения обратной задачи.

Пусть заданы число T > 0 и функция y (x), определенная в области D, y (x)—ОL₂. На функциях j (х) класса С определен функционал.

Обобщенным решением обратной задачи будем называть функцию j (х)., на которой достигается.

f₀=inf f (j).

jОC.

Замечание. «Естественный» подход к решению этой задачи — выбрать функцию j (х).так, чтобы f (j)=0.

Для этого достаточно найти решение прямой задачи.

u (x, t) = 0 для х О S, 0 < t < T;

u(x, T) = y (x).

и положить j (x) = u (x, 0). Но такая задача при заданной функции y (x) из L₂, вообще говоря, неразрешима и, кроме того, неустойчива к малым изменениям функции y (x).

На некотором классе обобщенных функций j (x) f₀=0. Поэтому рассматривается задача нахождения приближенного значения f₀ с заданным уровнем погрешности.

Для заданного числа e > 0 найти функцию je(x), на которой f (je)<=e.

Эта задача и решается методом квазиобращения.

Идея метода квазиобращения состоит в том, что вместо оператора теплопроводности находится «близкий» ему оператор В_a , для которого задача с обращением отсчета времени.

Baua = 0, x О D, t < Т, a > 0;

ua (x, T)=—y (x);

u_a (x, t) = 0 для xО S, t< Т

устойчива. Решив эту задачу, полагают j (x)=u_a(x, 0). Обычно в качестве оператора В_a берут оператор и решают прямую задачу.

xО D, ta>0;

ua (x, T)=—y (x);

u_a (x, t) = 0 для xО S, 0< t<= Т

Du_a=0 для xО S, 0< t<= Т.

Затем полагают.

j (x)=ua (x, 0).