Развитие геометрии до Евклида

геометрия евклид математика аксиоматический Наибольшего развития геометрических знаний достигли древневосточные цивилизации — Египет, Вавилон, Индия, Китай. Говорить о геометрии как науке на этой стадии нельзя — это была эпоха предварительного накопления геометрических сведений.

В VII в. до н.э. благодаря торговле геометрические знания достигли Греции. Здесь геометрия получила широкое развитие, которое можно разделить на три периода:

• 1. (VII — VI в. до н. э.) Период является поворотным в развитии геометрии, основателем и представителем этого периода является Фалес Милетский. Греки впервые стали логически доказывать предложения геометрии в общем виде. Фалесу приписывают доказательство следующих теорем:
  • — угол, вписанный в полуокружность, прямой.
  • — вертикальные углы равны.
  • — углы при основании равнобедренного треугольника равны между собой.

И другие.

Это достижение греческих математиков имело важнейшее значение в развитии геометрии, т. к. общее доказательство охватывало все возможные частные случаи. Постепенно выделялись немногие первоначальные предложения, которые получены из опыта и должны быть положены в основу геометрии без логического доказательства. Было заложено начало созданию дедуктивного, или аксиоматического метода изложения геометрии.

• 2. (VI — V в. до н. э.) — олицетворяется Пифагором и его школой. Пифагору предписывают доказательство следующих предложений:
  • — сумма внутренних углов треугольника равна двум прямым углам;
  • — плоскость можно покрыть правильными треугольниками, четырехугольниками и шестиугольниками;
  • — известная теорема Пифагора;
  • — открытие геометрического способа решения квадратных уравнений;
  • — открытие пяти правильных многогранников;

Но самым важным открытием школы Пифагора явилось открытие несоизмеримых отрезков. До этого открытия греки считали, что отношение двух любых отрезков может быть выражено рациональным числом.

Это явилось кризисом в развитии греческой математики, основное положение философии школы Пифагора, что «число есть мера вещей» потерпело поражение, а подняться до понятия иррационального числа они не сумели. Также разработка многих вопросов геометрии неизбежно приводила греческих математиков и философов к понятиям бесконечности и движения, к учению о бесконечно малых. К таким вопросам относились приближенные вычисления несоизмеримых величин, рассмотрение вопросов связанных со спрямлением окружности и квадратурой круга; вычисление объема поверхностей круглых тел и т. д. При этом греческие математики натолкнулись на глубокие противоречия и парадоксы, все это вызвало критику и споры среди философов. Нужно было сделать геометрию неуязвимой и при этом считалось, что это возможно лишь без привлечения понятий иррационального числа, бесконечности, движения.

• 3. (IV в. до н. э.) Философские школы в Афинах Платона и Аристотеля. С этими школами связывают два основных достижения:
  • — выработку принципов научного построения геометрической системы, расчленение ее предложений на аксиомы, теоремы и определения;
  • — разработку определенных методов и форм доказательства: анализ, синтез, доказательство от противного.

Таким образом, до III в. до н. э. геометрия в Греции накопила обильный фактический материал, назрела необходимость в его систематизации. Эта задача наиболее полное и совершенное разрешение получила в созданных Евклидом «Началах». Начался новый период развития геометрии.

Кроме «Начал» до нас дошли такие произведения Эвклида: книга под латинским названием «Data» («Данные») (с описанием условий, при которых какой-нибудь математический образ можно считать «данным»); книга по оптике (содержащая учение о перспективе), по катоптрике (излагающую теорию искажений в зеркалах), книга «Деление фигур». Эвклид написал также произведение по астрономии «Явления» и музыке «Деление канона» — трактат по элементарной теории музыки.

Евклид не дает строгих определений основных объектов геометрии: точки, линии, прямой, поверхности, плоскости. Вместо этого даны словесные описания важнейших свойств этих фигур. Например:

" Точка есть то, что не имеет частей" ;

" Линия — это длина без ширины" ;

" Окружность — это кривая, которая около каждой точки устроена одинаково" .

Кроме аксиом, Евклид ввел постулаты: это утверждения о свойствах основных геометрических конструкций.