Проверка статистических гипотез при помощи системы «Minitab» для Windows

Министерство образования и науки Украины Севастопольский национальный технический университет

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

к выполнению лабораторной работы № 2

«Проверка статистических гипотез при помощи

системы MINITAB для WINDOWS «

по учебной дисциплине

«Прикладная статистика»

для студентов экономических специальностей

всех форм обучения

Севастополь

УДК 658.

Проверка статистических гипотез при помощи системы «MINITAB» для WINDOWS. Методические указания по выполнению лабораторной работы № 2 по дисциплине «Прикладная статистика» / Сост. И. А. Гребешкова, Д. В. Филатова, Б. А. Букач, М. В. Погорелова, А. Д. Горобец, А Загорулько — Севастополь: Изд-во СевГТУ, 2008. — 10 с.

Целью методических указаний является применение теоретических знаний по теме «Проверка статистических гипотез» при решении ситуаций с помощью системы MINITAB. Методические указания предназначены для студентов экономических специальностей.

Методические указания рассмотрены и утверждены на заседании кафедры менеджмента и экономико-математических методов, (протокол № 6 от «20» __февраля 2008 г.)

Допущено учебно-методическим центром СевГТУ в качестве методических указаний Рецензенты:

Цуканов А. В, д.т.н., заведующий кафедры «Менеджмент и экономико-математические методы»

Персидсков Г. М. — нормоконтроль

Стр.

Общие понятия статистической проверки гипотез. 4

Проверка статистических гипотез в системе MINITAB 5

Пример проверки статистической гипотезы 5

Задание по выполнению лабораторной работы 9

Порядок выполнения работы 12

Контрольные вопросы 12

Библиография 13

1 ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ПРОВЕРКИ ГИПОТЕЗ.

Статистическая гипотеза обычно представляет собой некоторое предположение об одном или нескольких параметрах функции распределения случайной величины.

Пример статистической гипотезы: «генеральная совокупность распределена по нормальному закону», «различие между дисперсиями двух выборок незначимо» и т. д.

В теории статистического вывода обычно проверяются гипотезы на основе выборочной информации. В практике статистической работы чаще всего имеют дело с двумя конкурирующими гипотезами: нулевой гипотезой, обозначаемой H₀; и альтернативной гипотезой, обозначаемой H₁. Нулевая гипотеза используется при статистической проверке гипотез об отсутствии существующих различий между несколькими выборочными совокупностями, для суждения о близости фактического распределения к теоретическому (нормальному), об отсутствии зависимости между признаками. Суть нулевой гипотезы состоит в признании того, что выборки взяты из одной совокупности, фактическое распределение укладывается в теоретическое, зависимость между признаками отсутствует и т. д. Следовательно, нулевая гипотеза — это гипотеза, подлежащая проверке. И если отвергается нулевая гипотеза как неподходящая в каком-то статистическом смысле, то принимается альтернативная гипотеза.

Так как мы имеем дело с неизвестной генеральной совокупностью и выносим суждения о ней на основе выборочной информации, то мы можем и не прийти к правильному выводу. Мы сделаем неправильный вывод, если отвергнем нулевую гипотезу, когда она справедлива (ошибка I рода), или примем нулевую гипотезу, когда она ошибочна (ошибка II рода).

В большинстве случаев при проведении проверки гипотез в экономике задается некоторый допустимый уровень вероятности совершения ошибки I рода () и осуществляется проверка на основе выборочной информации. В классическом статистическом выводе существует два общих правила для определения величины :

чем больше степень уверенности в нулевой гипотезе, тем меньше должно быть значение .

чем больше цена отбрасывания справедливой нулевой гипотезы, тем меньше значение должно иметь .

Сформулируем общий алгоритм проверки статистических гипотез. Процедуру проверки можно описать следующими шагами:

1) формулировка гипотезы. Гипотеза формулируется в терминах различия величин. Например, есть случайная величина х и константа a. Они не равны (арифметически), но нужно установить, значимо ли статистически между ними различие. Существует два типа критериев:

а) двухсторонний критерий вида: х a;

б) односторонний критерий вида: х< a или х< a.

Необходимо отметить, что знаки >, <, = здесь используются не в арифметическом, а в «статистическом» смысле. Их необходимо читать «значимо больше», «значимо меньше», «различие незначимо».

2) Установка закона распределения. Далее необходимо установить или постулировать закон распределения. Существуют также критерии, которые не зависят от вида распределения — так называемые непараметрические критерии.

3) Вычисление тестовой статистики. Тестовая статистика — некоторая функция от рассматриваемых величин, закон распределения которой точно известен и ее можно сравнить с табличным значением.

4) Сравнение с табличным значением. Затем тестовая статистика сравнивается с табличным значением. Тестовая статистика всегда зависит от доверительной вероятности, и, в некоторых случаях, от дополнительных параметров. Так, в приведенном выше примере сравнения двух дисперсий тестовая статистика сравнивается с табличным значением критерия Фишера («критическим» значением), которое зависит от доверительной вероятности и числа степеней свободы дисперсий.

5) Вывод. На основании сравнения делается вывод о том, выполняется ли гипотеза (например, значимо ли различие и т. д.).

Уровень значимости — это такое малое значение вероятности попадания критерия в критическую область при условии справедливости гипотезы, что появление этого события может расцениваться как следствие существующего расхождения выдвинутой гипотезы и результатов выборки.

Допустим, рассчитанное по эмпирическим данным значение критерия попало в критическую область. Тогда при условии верности проверяемой гипотезы H₀ вероятность этого события будет не больше уровня значимости. Поскольку выбирается достаточно малым, то такое событие является маловероятным, и, следовательно, проверяемая гипотеза может быть отвергнута. Если же наблюдаемое значение характеристики не принадлежит к критической области, и, следовательно, находится в области допустимых значений, то проверяемая гипотеза H₀ не отвергается. Вероятность попадания критерия в область допустимых значений при справедливости проверяемой гипотезы H₀ равна. Чем меньше уровень значимости, тем меньше вероятность забраковать проверяемую гипотезу, когда она верна, то есть меньше вероятность совершить ошибку первого рода. Но при этом расширяется область допустимых значений и, значит, увеличивается вероятность совершения ошибки II рода.

Если альтернативная гипотеза, то гипотеза называется двухсторонней. Если гипотеза имеет вид и, то такую гипотезу называют односторонней. При проверке двухсторонней гипотезы с уровнем значимости критическое значение будет определено с уровнем значимости /2 и с соответствующим числом степеней свободы. При проверке односторонней гипотезы критическое значение будет определено с соответствующим числом степеней свободы и уровнем значимости .

Для принятия решения о принятии или отвержении гипотезы необходимо рассчитать расчетное значение критерия, выбрать критическую область, и сравнить расчетное значении критерия с табличным. Критическая область будет зависеть от выбранной альтернативной гипотезы, как показано на рисунках 1−3.

Рисунок 1.1. Двухсторонняя критическая область.

Гипотезы:

Табличное значение критерия определяется для уровня значимости /2 и соответствующего числа степеней свободы. Если TRрасчетное попадает в интервал (;), то принимается нулевая гипотеза, в противном случае, нулевая гипотеза отвергается и принимается альтернативная:

Рисунок 1.2. Критическая область при альтернативной гипотезе «больше чем».

Гипотезы:

Табличное значение критерия определяется для уровня значимости и соответствующего числа степеней свободы. Если T расчетное попадает в интервал (;), то принимается нулевая гипотеза, в противном случае, нулевая гипотеза отвергается и принимается альтернативная.

Рисунок 1.3. Критическая область при альтернативной гипотезе «меньшечем».

Гипотезы:

Табличное значение критерия определяется для уровня значимости и соответствующего числа степеней свободы. Если T расчетное попадает в интервал (), то принимается нулевая гипотеза, в противном случае, нулевая гипотеза отвергается и принимается альтернативная.

1.1 Проверка гипотезы при наличии одной выборки.

Данная процедура помогает определить, насколько сильно разброс данных оказывает влияние на истинное значение среднего в генеральной совокупности. Например, имеются данные о заработной плате, полученные в ходе опроса: 450,680,850,1500,3500,1200,1000,700. Необходимо определить, является средняя заработная плата в регионе равной 1500 гривен.

Сформулируем нулевую и альтернативную гипотезу.

H₀: — средняя заработная плата равна 1500 гривен.

H₁: — средняя заработная плата не равна 1500 гривен Выбор уровня значимости (вероятности ошибки).

.

Выбор теста.

t критерий Стьюдента:

где

— среднее значение выборки, — среднее значение нулевой гипотезы, — среднеквадратическое отклонение, n — количество данных в выборке.

Определение критической области.

Так как альтернативная гипотеза имеет следующий вид: H₁:, то необходимо применять двусторонний тест. Для определения критической области рассчитаем t (7, 0.005)=4.029 [t (n-1, /2)].

Правило принятия (отвержения) гипотезы: если TR<-4.029 и TR>4.029, то отвергается H₀ и принимается H₁.

Выполнение необходимых вычислений.

Вычислим t расчетное (TR) :

Таблица 3.1 Вспомогательные расчеты

Таким образом имеем:

==972,15

==-0,77

Принятие статистического решения.

Так как -4.029

День

Вариант

Задание 2.

Руководитель фирмы с целью роста объемов сбыта установил систему премирования сотрудников, полагая, что объемы реализации продукции должны измениться. Проверьте предположение руководителя. Уровень значимости равен 5%.

Таблица 4.2 Исходные данные к заданию 2.

Таблица 4.3 Вариант заданий к таблице 2.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

Изучить методические указания к выполнению работы.

Подготовить заготовку отчета по лабораторной работе: в соответствии с заданием сформулировать цель исследования; сформулировать гипотезы, которые необходимо проверить в ходе лабораторной работы.

Выполнить необходимые вычисления и результаты расчетов занести в отчет.

Интерпретировать полученные результаты.

Ответьте на контрольные вопросы.

6 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

Что такое гипотеза?

Что такое уровень значимости?

Какие критерии используются при проверке гипотез?

Что такое критический уровень?

Сформулируйте правило принятия гипотез при помощи критерия Стьюдента?

От чего зависит табличное значение критерия Стьюдента?

БИБЛИОГРАФИЯ

Болч Б., Хуань К. Дж. Многомерные статистические методы для экономики/ Пер. с англ. А. Д. Плитмана; Под ред. и с предисл. С. А. Айвазяна. — М.: Статистика, 1979. — 317с.

Венецкий И.Г., Венецкая В. И. Основные математико-статистические понятия и формулы в экономическом анализе: Справочник. — 2-е изд. -М.: Статистика, 1979. — 447с.

Ефимова М.Р., Петрова Е. В., Румянцева В. Н. Общая теория статистики: Учебник. — М.: ИФРА-М, 1996 — 416с.

Тюрин Ю.Н., Макаров А. А. Статистический анализ данных на компьютере/ Под ред. В. Э. Фигурнова — М.: ИНФРА-М, 1998 — 528с.

Sanders, Donald H. Statistics: a first course. — McGRAW-HILL, INC. — 5th ed., 1995. — 624p.