Переходный процесс в цепи, закон изменения во времени

Министерство образования и науки Вологодский государственный технический университет Кафедра электротехники

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО ТЕОРЕТИЧЕСКИМ ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ

Вологда

Задача 1

Рис. 1

Дана электрическая цепь, в которой происходит коммутация (рис. 1). В цепи действует постоянная ЭДС Е. Параметры цепи: Е = 120 В; L1 = 10 мГн; С1 = 10 мкФ; R1 = 20 Ом; R2 = 80 Ом; R3 = 1000 Ом; R4 = 1000 Ом.

Определить i3.

Рассмотреть переходный процесс в цепи второго порядка, когда L2 = 0, т. е. участок а-в схемы закорочен. Определить закон изменения во времени указанной величины тока i3.

На основании полученного аналитического выражения построить график изменения искомой величины в функции времени в интервале от t = 0 до t = .

Решение.

Обозначим R12 = R1 + R2 = 30 + 70 = 100 Ом Заменим источник ЭДС и сопротивления R1, R2, R3 в схеме коммутации эквивалентным генератором — рис. 2.

Рис. 2

где R0 =

Е0 =

Классический метод Будем вначале искать напряжение на конденсаторе uc, которое представим в виде двух составляющих — принуждённой и свободной

uc = uпр + uсв

Принуждённая составляющая — это значение напряжения спустя бесконечный промежуток времени после коммутации, т. е. в установившемся режиме. Поскольку на входе действует постоянная ЭДС, то в установившемся режиме сопротивления катушки равняется нулю, а сопротивление конденсатора — бесконечности. В результате, схема в установившемся режиме имеет вид — рис. 3.

Рис. 3

Откуда

uпр =

Свободная составляющая напряжения представляется в виде

uсв =

Где А1 и А2 — постоянные, подлежащие определению, р1 и р2 — корни характеристического уравнения.

Тогда искомое напряжение примет вид (1)

uc = (1)

Ток конденсатора ic =

Тогда

ic = (2)

Для определения корней характеристического уравнения необходимо записать комплекс входного сопротивления цепи, заменить множитель jw на р и приравнять полученное выражение к нулю

z (p) = R0 + p· L1 +

После упрощения

z (p) = R0 + p· L1 + z (p) =

Приравнивая к нулю числитель

(R0 + p· L1)·(R4· p·C1 +1) + R4 = 0

p2· L1·C1·R4 + p· (R0·R4·C1) + R0 + R4 = 0

или

p2 + р · = 0

Введём обозначения

д =

щ0 =

Тогда, характеристическое уравнение примет вид р2 + 2· д·р + щ02 = 0

Решив это уравнение, получим р1= -д + = -4,595· 103 + = - 1,4· 103

р2 = -д — = -4,595· 103 — = - 7,791 103

Для определения постоянных А1 и А2 рассмотрим уравнения (1), (2) в начальный момент времени после коммутации

uc (0) = А1 + А2 + (3)

ic (0) = C1· (p1·A1 + p2· A2) (4)

В соответствии с законом коммутации uc (0) = uc (-0), где напряжение до коммутации определим из схемы до коммутации — рис. 4.

Рис. 4

uc (-0) =

Для определения напряжения на катушке в первый момент времени после коммутации (схема рис.2) решим уравнение, записанное по 1-му закону Кирхгофа

iL (0) = + ic (0)

откуда

ic (0) = 0

В результате система уравнений (3), (4) примет вид А1 + А2 + = (5)

р1· А1 + р2· А2 = 0 (6)

Из уравнения (5) А2 =

Подставим в (6) р1· А1 р2· А1 + = 0

Откуда А1 = = = 11,083

Обратной подстановкой получим А2 = = = -1,992

Подставив найденные постоянные в (2) получим искомый ток конденсатора

uc (t) =

Искомый ток

i3(t) = = = = -0,1552· е-1400·t + 0,1552· е-7791·t

Операторный метод Операторная схема замещения представлена на рис. 5.

Рис. 5

где uc (0) = = = 109,091 В

iL (0) = = = 0,109 А Выполним расчёт схемы методом контурных токов

(R0 + p· L1 + R4)· I11 — R4· I22 = + L1· iL (0) = +

— R4· I11 + = =

Контурный ток во втором контуре

=

где главный определитель системы Д (р) =

Определитель Д22(р) =

После упрощения

=

Обозначим

G (p) = -1,091· 104

H (p) = 1,011· 104·p + 1,2· 108 + 11· p2

Тогда (p) =

Для нахождения оригинала воспользуемся теоремой разложения

i3 =

Найдём корни полинома H (р)=0 с помощью теоремы Виета р1 = -1,4· 103 р2 = -7,791· 103

Найдём производную Н'(р) Н'(р) = = 22· p + 101 100

Подставив полученные значения в теорему разложения получим

= -0,155 = 0,155

i3(t) = -0,155· е-1400·t + 0,155· е-7791·t,

что совпадает с решением классическим методом Построение графиков Длительность переходного процесса примем равной tпп = tпп = 2,142· 10−3

Задаваясь значениями времени в этом интервале рассчитаем ток и построим график — рис. 6.

Рис. 6

Задача 2

конденсатор напряжение ток линия Воздушные линии без потерь (V = 3· 105 км/с) подключаются к источнику постоянного напряжения U. Параметры линии: U = 10В; ZВ1 = 400 Ом; ZВ2 = 600 Ом; R = 400 Ом; L = 7 мГн; l1 = 10 км; l2 = 10 км.

Определить законы изменения во времени напряжений и токов в линиях.

Построить графики распределения вдоль линий напряжений и токов для момента времени, когда волна, отразившись от конца первой линии, дойдёт до её середины.

Рис. 7

Введём обозначение ZВ12 = ZВ1 + ZВ2 = 400 + 600 = 1· 103 Ом Определим падающие волны

uц = U

iц = = = 0,025 A

Определим ток в конце линии по расчётной схеме (рис.2) как сумму принужденного и свободного тока Рис. 8

i = iпр + iсв = iпр + (i0 — iпр)· еp·t

где принужденный ток iпр = = 0,02 A

ток в начальный момент времени с учётом того, что катушка в первый момент времени ток не пропускает,

i0 = = 0,014 A

Корень характеристического уравнения найдём приравняв к нулю входное характеристическое сопротивление цепи

Z12 + = 0

p = = -4,0816· 104

Тогда

i (t) = -0,57 143· е-40 816·t + 0,02 А Поскольку ток в любой точке линии равен сумме токов прямой и обратной волны, то ток отражённой волны в конце линии

iш (t) = i (t) — iц

iш (t) =

напряжение отражённой волны в конце линии

uш (t) = -iш (t)· Z1

Распределение волн напряжения и тока отражённой волны по длине линии

iш (x, t) =

uш (x, t) = -iш (x, t)· Z1

Результирующие напряжение и ток в линии при наличии отражённой волны

uш (x, t) = uц + uш (x, t) iш (x, t) = iц + iш (x, t)

Напряжение преломлённой волны по схеме (рис.2)

uц2(t) = i (t)· Z2

uц2(t) =

Ток преломлённой волны по схеме (рис.29

iц2(t) = i (t)

iц2(t) =

Распределение волн напряжения и тока преломлённой волны по длине линии

iц2(x, t) =

uц2(x, t) = iц2(x, t)· Z2

Рассчитаем напряжение и ток в линии для момента времени, когда отражённая волна дойдёт до середины, что соответствует времени

t = = 1,667· 10−5 сек

Построим графики распределения волн напряжения (рис.3) и тока (рис. 4)

Рис. 9

1. Бессонов Л. А. «Теоретические основы электротехники»: Учебник/ М.: «Гардарики», 2001 — 638 с.

2. Ганичев Г. Л., Реутов В. В. «ТОЭ. Часть 2. Переходные процессы в длинных линиях»: Методические указания по выполнению расчётно-графических работ/ Вологда: РИО ВоГТУ, 2005 — 19 с.