Прогнозирование волатильности доходности акций ОАО «Лукойл» с использованием модели ARCH

Введение

В 1982 г. Р. Энгл предложил модель, которая определяет зависимость дисперсии от других величин. Данная модель получила название ARCH-модели (Autoregressive Conditional Heteroscedastic model), в которой используется условная, зависимая от времени дисперсия. ARCH-модель моделирует волатильность в виде суммы константной базовой волатильности и линейной функции абсолютных значений нескольких последних изменений цен.

В последнее время наблюдается активный интерес исследователей к классу моделей временных рядов, в которых учитываются изменения дисперсии и ковариаций, — так называемым моделям волатильности. Это вызвано нестабильными ситуациями на финансовых рынках и высокой изменчивостью значений различных показателей (курсов валют, акций, биржевых индексов и т. д.), имеет место изменчивость дисперсии на различных интервалах наблюдения, т. е. гетероскедастичность. В таком случае обычные линейные регрессионные модели оказываются слишком грубыми. Одним из возможных решений данной проблемы является введение в рассмотрение некоторой случайной величины, от которой зависит дисперсия. Поэтому целесообразно воспользоваться для примера моделью ARCH.

Целью работы — прогнозирование волатильности доходности акций ОАО «Лукойл» с использованием модели ARCH.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

· Выявить особенности модели ARCH как одной из моделей прогнозирования изменения стоимости ценных бумаг;

· Оценить параметры модели ARCH методом максимального правдоподобия;

· Проанализировать состояние и динамику рынка акций ОАО «Сбербанк России»;

· Оценить параметры модели ARCH для прогнозирования доходности акций ОАО «Сбербанк России».

1. Модель ARCH для прогнозирования волатильности стоимости ценных бумаг

1.1 Характеристики и свойства модели ARCH

Обращение к нелинейным моделям вызвано желанием и необходимостью найти объяснение ряда наблюдаемых (в финансовой статистике и в экономике вообще) феноменов типа «кластерности» цен, наличие «тяжёлых хвостов» и более острую вершину в распределениях величин, чем для нормального закона.

Согласно этой модели, величины представляются в виде

где «волатильности», определяется следующим образом:

(1)

где .

Величины — последовательность независимых нормально распределённых случайных величин, ~N (0,1), моделирующих «случайность», «неопределённость» в рассматриваемых моделях.

Из (1) видно, что волатильности являются (предсказуемыми) функциями от, а число слагаемых является параметром модели. При этом большие (малые) значения приводят к большим (малым) значениям. Возникновение же больших в предположении, что предшествующие были малыми, происходит за счёт появления больших значении. Таким образом, рассматриваемые нелинейные модели могут объяснять эффекты типа «кластерности», т. е. группирования значений в пачки «больших» и пачки «малых» значений. Таким образом, ARCH-процесс характеризуется инерционностью условной дисперсии (кластеризацией волатильности).

Можно показать, что процесс ARCH не автокоррелирован:

.

Поскольку процесс имеет постоянное (нулевое) математическое ожидание и не автокоррелирован, то он является слабо стационарным в случае, если у него есть дисперсия.

Запишем эквивалентную запись процесса ARCH:

где (2)

Поскольку М{}=0 и процесс {} не автокоррелирован. Следовательно, квадраты процесса ARCH (p) соответствуют авторегрессионному процессу p-го порядка.

Если все корни характеристического уравнения

1? ?. .. ? = 0

лежат за пределами единичного круга, то у процесса ARCH (p) существует безусловная дисперсия, и он является слабо стационарным. Поскольку коэффициенты неотрицательны, то это условие эквивалентно условию:

.

Действительно, можно вычислить безусловную дисперсию стационарного ARCH-процесса, которая обозначается через. Для этого необходимо взять математическое ожидание от обеих частей уравнения условной дисперсии:

.

Можно заметить, что, т. е. математическое ожидание условной дисперсии равно безусловной дисперсии. Следовательно,

.

Таким образом, для всех безусловная дисперсия одинакова, т. е. имеет место гомоскедастичность. Однако условная дисперсия меняется, поэтому одновременно имеет место условная гетероскедастичность.

Если не все корни приведенного выше характеристического уравнения лежат за пределами единичного круга, т. е. если, то безусловная дисперсия не существует, и поэтому ARCH-процесс не будет слабо стационарным.

Получить состоятельные оценки коэффициентов ARCH-процесса можно, используя вышеприведенное представление его квадратов в виде авторегрессии (2). Более эффективные оценки получаются при использовании метода максимального правдоподобия.

Еще одно свойство ARCH-процессов состоит в том, что безусловное распределение имеет более высокий куртозис (более тяжелые хвосты и острую вершину), чем нормальное распределение.

Рассмотрим модель первого порядка :

.

Имеем следующие простые свойства:

Таким образом D.

Пусть. В этом случае будет существовать стационарный режим при n

отсюда

(3)

Далее,

а так как для стандартных нормальных случайных величин, то Пусть <1, тогда при переходе к пределу n

получим:

подставим сюда выражение (3), тогда

.

Отсюда, коэффициент эксцесса у ARCH (1) равен

а при n

.

Положительность коэффициента K свидетельствует о том, что плотность «установившегося» распределения величин в окрестности среднего значения «вытянута» вверх тем сильнее, чем больше (для нормального распределения K=0). Причем при четвертый момент распределения не существует (эксцесс равен бесконечности). Это свойство ARCH-процессов хорошо соответствует финансовым временным рядам, которые обычно характеризуются тяжелыми хвостами.

О характере зависимости величин и можно получить представление, рассматривая корреляционную зависимость их квадратов и .

.

Далее,

.

Отсюда

Далее, для k

.

Отсюда для величин получается рекуррентное соотношение

. (4)

Подставляя (4) в формулу для вычисления ковариации получим

что даёт в «стационарном» случае простое рекуррентное соотношение для

:

.

1.2 Оценка параметров модели ARCH (1) методом максимального правдоподобия Метод максимального правдоподобия (также метод наибольшего правдоподобия) в математической статистике — метод оценивания параметров распределения, основанный на максимизации функции правдоподобия (совместной плотности вероятности наблюдений при значениях, составляющих выборку). Оценка максимального правдоподобия дает уникальный и простой способ определить решения в случае нормального распределения.

В связи с характеристиками модели плотность вероятностей наблюдений равна Функция правдоподобия L является произведением данных плотностей для различных n=1, ., N

Логарифмическая функция правдоподобия

Чтобы найти её максимум, приравняем к нулю частные производные по параметрам a и :

Из решения данной системы находятся оценки максимального правдоподобия параметров и, которые являются асимптотически эффективными и состоятельными. Для определения «довыборочного» значения условной дисперсии можно, например, воспользоваться оценкой безусловной дисперсии:

.

Решение системы уравнений правдоподобия выполняется с помощью численных методов в специализированных программных оболочках.

Для идентификации процесса ARCH используется статистика вида

где n — объем выборки;

— коэффициент детерминации регрессии.

Данная статистика имеет — распределение с числом степеней свободы, равным числу лаговых переменных в модели. Если значение критерия больше критического (табличного) значения, то гипотеза об отсутствии ARCH отвергается.

Для оценки параметров модели ARCH (1) воспользуемся программой MathCad.

Задаются начальные значения параметров a=1 и ?=0.2, и начальное значение процесса =3. Затем с помощью встроенной функции в MathCad rnorm (m, mu, sigma) генерируется последовательность независимых случайных величин, распределённых по нормальному закону, где m=500 количество сгенерированных чисел, mu=0 математическое ожидание, sigma=1 дисперсия.

Затем вычисляется последовательность по формулам:

.

Полученную последовательность, являющуюся ARCH процессом подставляем в функцию правдоподобия и решаем её относительно двух неизвестных a и ?.

Решением системы будет: a= 1.072, ?=0.171 .

Отклонение полученных значений от заданных исходных составляет не более 7%, что говорит о том, что метод максимального правдоподобия дает хорошую оценку для параметров модели ARCH (1).

Процесс программирования в MathCad представлен в приложении 1.

2. Прогнозирование волатильности доходности акций ОАО «Лукойл»

2.1 Акции ОАО «Лукойл» на рынке ценных бумаг

25 ноября 1991 года вышло Постановление Правительства РСФСР № 18 о создании нефтяного концерна «ЛангепасУрайКогалымнефть», который впоследствии был преобразован в Открытое акционерное общество «Нефтяная компания «ЛУКОЙЛ».

Утверждение Сводного плана приватизации Компании. В соответствии со Сводным планом приватизации в государственной собственности — 90,77% от уставного капитала, из них ГКИ РФ (закреплено в федеральной собственности): 45% и РФФИ (подлежат реализации): 45,77%.

В соответствии с Постановлением Правительства РФ № 299 от 5 апреля 1993 года учреждено акционерное общество открытого типа «Нефтяная компания «ЛУКОЙЛ». Президентом Компании и Председателем Совета директоров был назначен Вагит Алекперов. В этом же году утвержден Сводный план приватизации компании, зарегистрирована первая эмиссия акций ОАО «ЛУКОЙЛ».

В 1994 году начались первые приватизационные торги и торговля акциями Компании на вторичном рынке.

В соответствии с Постановлением Правительства РФ № 861 от 1 сентября 1995 года в уставной капитал Компании были переданы контрольные пакеты акций девяти нефтедобывающих, сбытовых и сервисных предприятий в Западной Сибири, на Урале и в Поволжье. В этом же году крупным акционером ЛУКОЙЛа стала американская компания Atlantic Richfield Company, которая приобрела 7,99% акций Компании.

Начало обмена акций Компании на акции дочерних акционерных обществ, присоединенных к Компании Указом Президента РФ от 17 ноября 1992 года № 1403 и постановлением Правительства РФ от 1 сентября 1995 года № 861 «О совершенствовании структуры акционерного общества «Нефтяная компания «ЛУКОЙЛ» .

Регистрация изменений к Уставу, связанных с дроблением акций (1 акция номиналом 125 рублей преобразуется в 5 акций номиналом 25 рублей) и увеличением уставного капитала на сумму дополнительной эмиссии. Уставный капитал состоит из 714 563 255 акций номиналом 25 рублей, из них: 649 551 391 обыкновенных и 65 011 864 привилегированных. Дополнительная эмиссия акций Компании, размещаемых путем закрытой подписки среди акционеров дочерних акционерных обществ в обмен на акции дочерних акционерных обществ в соответствии с Указом Президента РФ от 1 апреля 1995 года № 327 «Об организационных мерах по преобразованию государственных предприятий, добровольных объединений государственных предприятий в акционерные общества» .

Государственная регистрация дробления акций. 1 акция номиналом 1000 рублей становится эквивалентной 8 акциям номиналом 125 рублей.

В марте 1996 первый выпуск АДР по Правилу 144 А. Затем в январе первый выпуск АДР 1 уровня на обыкновенные акции.

В 1997 Утверждение Министерством государственного имущества РФ изменений и дополнений к Сводному плану приватизации. В соответствии с изменениями к Сводному плану приватизации в государственной собственности — 26,9% от уставного капитала, из них: МГИ РФ: 6,6%; РФФИ: 20,3%.

Увеличение уставного капитала Компании по результатам прошедшей эмиссии;

общее количество акций — 746 563 255 штук, из них:

669 351 391 обыкновенных; 77 211 864 привилегированных;

Уставный капитал составляет 18 664 081 375 рублей.

Начало обмена выпущенных акций на акции дочерних акционерных обществ.

Выпуск АДР на привилегированные акции. Эмиссия акций, размещаемых путем подписки среди акционеров дочерних акционерных обществ в обмен на акции дочерних акционерных обществ в соответствии с решением общего собрания акционеров, согласием Правительства РФ и Указом Президента РФ № 327; эмитировано 32 000 000 акций, из них:

19 800 000 обыкновенных

12 200 000 привилегированных;

В сентябре 1999 года ЛУКОЙЛ приобрел 100% акций ОАО «КомиТЭК».

Состоялся коммерческий конкурс с инвестиционными условиями по продаже 67 184 480 акций ОАО «ЛУКОЙЛ» (9%), находящихся в государственной собственности.

В 2000 году ЛУКОЙЛ вышел на розничный рынок нефтепродуктов США, завершив сделку по приобретению компании Getty Petroleum Marketing Inc., которая управляла 1260 автозаправочными станциями в тринадцати штатах на северо-востоке США. Важным корпоративным достижением Компании стал переход на международные стандарты финансовой отчётности. После приобретения американской нефтяной компании ARCO владельцем 7% акций ОАО «ЛУКОЙЛ» стала компания British Petroleum. В начале 2001 года BP объявила о намерении продать свою долю в ЛУКОЙЛ. 3% акций были конвертированы в АДР и проданы на открытом рынке, а под оставшиеся 4% ценных бумаг ЛУКОЙЛа были выпущены конвертируемые облигации. В январе 2003 года BP начала обмен облигаций на акции Компании, выйдя, таким образом, из уставного капитала Компании.

Государственная регистрация дополнительного выпуска обыкновенных акций в количестве 18 600 000 штук номинальной стоимостью 0,025 рублей каждая.

Государством учреждено ОАО «Компания проектной приватизации», которому передано 50 000 000 обыкновенных акций Компании (6,13% от уставного капитала) с целью последующей продажи на международном фондовом рынке.

После выполнения условий инвестиционного конкурса, состоявшегося в октябре 1999 года, победителю конкурса передана доля государства в уставном капитале Компании, которая составила 8,24% от нового уставного капитала (9% от старого).

В результате доля государства в уставном капитале Компании составила 14,58%.

Государственная регистрация выпуска 77 211 864 обыкновенных акций и конвертация в них существующих конвертируемых привилегированных акций.

В результате размещения обыкновенных акций уставный капитал увеличен до 21 264 081,375 рубля и состоит из 850 563 255 акций, в числе которых 773 351 391 обыкновенных и 77 211 864 привилегированных (конвертируемых).

Размещение обыкновенных акций, зарегистрированных в августе 2001 года. Конвертация всех привилегированных акций Компании в конвертируемые привилегированные акции, выпущенные в августе 2001 года.

Государственная регистрация выпуска обыкновенных именных акций в количестве 16 568 939 штук, размещаемых по открытой подписке.

Государственная регистрация выпуска конвертируемых привилегированных акций в количестве 77 211 864 штук.

Зарегистрированы изменения в Устав в связи с увеличением уставного капитала Компании. Уставный капитал состоит из 833 994 316 акций, в числе которых 756 782 452 обыкновенных и 77 211 864 привилегированных.

Размещение выпуска обыкновенных акций, зарегистрированных в декабре 2000 года. Фактически размещены 18 431 061 акция.

В 2002 продажа 50 000 000 обыкновенных акций, принадлежащих государству (через ОАО «Компания проектной приватизации»), на международном фондовом рынке в форме депозитарных расписок. В результате продажи доля государства в уставном капитале ОАО «ЛУКОЙЛ» сократилась до 7,6%.

Обыкновенные акции Компании и АДР 1 уровня получили полный листинг на Лондонской фондовой бирже.

Зарегистрированы изменения в Устав, в соответствии с которыми в уставном капитале отсутствуют привилегированные акции. Уставный капитал составляет 21 264 081,375 руб. и состоит из 850 563 255 обыкновенных акций.

В 2004 году произошли события, которые на несколько лет вперед определили вектор развития Компании. Так, в октябре американская компания ConocoPhilips стала победителем аукциона на покупку 7,59% акций ЛУКОЙЛа, находившихся в государственной собственности. Таким образом, начался новый этап развития Компании, когда она стала полностью частной и получила стратегического зарубежного партнера. Компании заключили соглашение о стратегическом сотрудничестве, согласно которому ConocoPhilips может увеличить свою долю до 20%, что впоследствии и было реализовано. В начале этого же года ЛУКОЙЛ приобрел у ConocoPhilips 795 АЗС расположенных в штатах Нью-Джерси и Пенсильвания.

Кроме этого в 2004 году ЛУКОЙЛ начинает трансформироваться из нефтяной в нефтегазовую компанию. Доля государства сократилась до 0%.

ОАО «ЛУКОЙЛ», реализуя право исполнить опцион на приобретение своих акций у компании ConocoPhillips, вместе с группой инвесторов приобрел 5% акций Компании в форме АДР в соответствии с соглашением с компанией ConocoPhillips.

В рамках программы повышения инвестиционной привлекательности и роста рыночной капитализации ОАО «ЛУКОЙЛ» выкупил у ConocoPhillips 7,6% собственных акций.

Компания ConocoPhillips полностью вышла из акционерного капитала ОАО «ЛУКОЙЛ», продав оставшиеся акции Компании на открытом рынке.

Таким образом, исчез фактор, который «продавливал» бумаги группы на фондовом рынке вниз. Выкупленные же акции ЛУКОЙЛ собирается либо обменять с каким-нибудь новым партнером (скорее всего, зарубежным), либо разместить в рамках SPO на азиатских фондовых площадках.

Компании «ЛУКОЙЛ», как и другим относящимся к «голубым фишкам», свойственно следующее:

1. Стабильный рост в течение ряда лет, причем обусловленный не спекуляциями, а в том числе и реальным положением дел в компании. Оговорка насчет реального положения дел важна для небольших (сравнительно) временных периодов, так как порой сложно бывает различить, действительно ли рост курса вызван эффективной деятельностью компании, а не дело рук спекулянтов.

2. Большая экономическая мощь, с большим показателем капитализации (то есть рыночной оценки компании, которая получается путем умножения текущей цены акций на их количество на рынке).

3. Высокая ликвидность вследствие большого количества сделок, постоянно совершаемых акционерами этих компаний.

Поскольку акции ЛУКОЙЛа котируются как «голубые фишки», их стоимость в ходе торгов постоянно меняется.

За последние несколько лет стоимость акций ЛУКОЙЛа менялась в очень большом диапазоне. В мае 2008 года (перед кризисом) цена акции достигла своего пика и стоила 2700 рублей за одну акцию. Затем в ноябре-декабре 2008 года в разгар финансового кризиса стоимость акции ЛУКОЙЛа опустилась до отметки 700 рублей.

Инвестиционные аналитики указывают на позитивные перспективы компании. Аналитики ИГ «АТОН» отмечают, что рынок часто недооценивает потенциал роста прибыли ЛУКОЙЛа за счет сложной интегрированной бизнес-модели, которая позволяет компании оптимизировать источники доходов при резком изменении рыночной конъюнктуры и лучше переносить периоды снижения цен на нефть.

ОАО «ЛУКОЙЛ» является лидером среди российских компаний по информационной открытости и прозрачности. Первая российская компания, акции которой получили полный листинг на Лондонской фондовой бирже, а также единственная частная российская нефтяная компания, в акционерном капитале которой доминируют миноритарные акционеры. Акции ЛУКОЙЛа прочно ассоциируются с нефтегазовым сектором России и являются одними из наиболее ликвидных акций на российском фондовом рынке.

2.2 Оценка параметров модели ARCH для прогнозирования доходности акций ОАО «Лукойл»

На основе данных Московской Межбанковской Валютной Биржи о котировках акций ОАО «Лукойл» (приложение 2) за 2011 год (127 дней) рассчитаем доходность акции по формуле:

Полученную последовательность подставляем в систему:

.

Данная система решается относительно неизвестных параметров a и ?.

В результате имеем a=2.199 и ?=0.17

Таким образом, получили формулу для прогнозирования доходности акций ОАО «Лукойл», которая имеет вид:

Расчет доходности представлен в приложении 3.

прогнозирование волатильность доходность акция

Заключение

Необходимость нелинейных моделей типа ARCH вызвана нестабильными ситуациями на финансовых рынках и характеризуется высокой изменчивостью значений различных показателей (курсов валют, акций, биржевых индексов, ставок по кредитам и т. д.).

Успех условно-гауссовской модели ARCH (p), давшей объяснение целому ряду феноменов в поведении финансовых индексов (кластерность, тяжелые хвосты плотности распределения величин), породил множество различных ее обобщений, преследующих цель дать возможные объяснения ряду других феноменов, обнаруживаемых методами статистического анализа.

В работе с помощью генератора случайных нормально распределенных величин было показано, что хорошую оценку параметров модели дает метод максимального правдоподобия.

На основе данных ММВБ о котировках акций ОАО «Лукойл» за 2011 год (127 дней) были рассчитаны значения параметров a и? модели ARCH (1).

Таким образом, получили формулу для прогнозирования доходности акций ОАО «Лукойл», которая имеет вид:

Обыкновенные акции компании «Лукойл» — одни из наиболее ликвидных акций на российском фондовом рынке.

Полученные результаты могут быть использованы для прогнозирования доходности акций ОАО «Лукойл» в случае проведения операций по купле-продаже.

Список использованных источников

1. Маляренко A.A. Оценивание авторегрессионных параметров процесса AR (p) / ARCH (p) // Обозрение прикладной и промышленной математики. -2009. — Т. 16, вып. 5. — С. 890−891.

2. Ширяев А. Н. Основы стохастической финансовой математики. Том 1. Факты и модели.//М.: Фазис.- 1998. 512 с.

3. Раяцкас Г. Л. Система моделей планирования и прогнозирования.// М.: Статистика.- 1976.

4. Истигечева Е. В. Алгоритмы и программное обеспечение оценивания параметров волатильности и прогнозирования стоимости финансовых инструментов: диссертация к. т.н.: 05.13.18. — Томск, 2007. — 144 с.

5. Тимченко А. Б. Прогнозирование стоимости финансовых активов и адаптивный анализ их волатильности: диссертация к. э. н.: 08.00.13 Воронеж. -2007. 181 с., Библиогр.: с. 161−177.

6. Суслов В. И. Эконометрия// В. И. Суслов, Н. М. Ибрагимов, Л. П. Талышева, А.А. Цыплаков//"Новосибирский государственный университет". — 2005. — 742с.

7. Мельников А. В. Математика финансовых обязательств// А. В. Мельников, С. Н. Волков, М. Л. Нечаев. — М.: ГУ ВШЭ, 2001. — 260с.

8. А. Н. Буренин. Рынки производных финансовых инструментов. //М.: Инфра, 1996.

9. Лоскутов А. Ю. ARCH-модели на финансовом рынке России // А. Ю. Лоскутов, А. А. Бредихин. — Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2004. Т. 11, вып. 3. — С. 468 — 486.

Приложение 1

Процесс программирования в MathCad

Приложение 2

Рыночная цена акций ОАО «Лукойл»

Приложение 3

Расчет доходности