Высшая математика Слушатель — Никифоров Михаил Николаевич Курс 1. АПМ-03. Семестр осенний. 2003 год.

Матрица — совокупность чисел, записанных в виде прямоугольной таблицы.

Минором для элемента а_ig называется определитель матрицы, полученный из исходной, вычеркиванием i-ой строки и g-ого столбца.

Матрицы с нулевым определителем называются вырожденными или особенными. Особенная матрица обратной не имеет.. .

B_pq согласовано с A_mn, если число строк В равно числу столбцов А, т. е. p=n. Одно согласование.

1) Если один столбец или одна строка все нули, то | |=0.

2) Если в матрице имеется 2 равных столбца или 2 равных строки, то | |=0.

3) Треугольная матрица. Все элементы выше или ниже главной диагонали =0. Тогда определитель матрицы равен произведению диагональных элементов.

4) При перемене местами 2 строк или 2 столбцов определитель меняет знак.

5) Определитель матрицы, содержащей 2 пропорциональные строки или столбца равен нулю.

6) Определитель матрицы равен сумме произведений некоторой строки на соответствующие алгебраические дополнения.

Системы уравнений с матрицами

Система 1 совместная, если имеет хотя бы одно решение.

Система 1 определенная, если есть только 1 решение и неопределенная, если более 1 решения.

Ранг матрицы.

Ранг нулевой матрицы равен 0.

Ранг единичной матрицы_nm равен n.

Ранг трипсидальной матрицы равен числу ненулевых строк.

При элементарных преобразованиях матрицы ранг её остается неизменным.

При добавлении к матрице строки или столбца ранг её может только увеличиться или остаться неизменным.

Лекция 5.

.

Замечание: 1) Нет решения

2). n-число неизвестных а) r=n — одно решение

б) r

Векторная алгебра

Проекция вектора на ось:

Проекцией точки на прямую называется основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Проекция АВ на х это число |A'B'| взятое со знаком +, если угол острый и со знаком — если угол тупой.

.

Скалярное произведение векторов

.

Признак перпендикулярности .

Векторное произведение векторов

; ;

Объем пирамиды ;

Смешанное произведение векторов

Если — углы, которые составляет вектор, а с координатными осями, то, откуда следует

Условие коллинеарности

ab=0 — перпендикулярность

— коллинеарность

abc=0 — компланарность

Аналитическая геометрия

Плоскость в пространстве

Нормаль и точка привязки однозначно определяют положение плоскости в пространстве.

каноническое уравнение (1)

Общее уравнение плоскости

где ,

где А, В, С — координаты нормали, D — свободный член, x, y, z — текущий координаты.

Уравнение плоскости, проходящий через точку перпендикулярно вектору N=(A;B;C), имеет вид

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки записывают в виде

Уравнение плоскости в отрезках

Нормальное уравнение плоскости, где p — расстояние от начала координат.

Нормирующий множитель

Расстояние от точки до плоскости

Угол между плоскостями

Условия параллельности и перпендикулярности ;

Уравнение пучка плоскостей:

Прямые линии в пространстве.

— уравнение прямой

— параметрическое уравнение прямой.

— каноническое уравнение прямой.

Уравнения прямой, проходящей через 2 заданные точки

Угол между 2 прямыми

Взаимное расположение 2 прямых.

1. (могут лежать и на одной прямой)

2. (могут скрещиваться)

3.. Если (3), то скрещиваются.

Взаимное расположение прямой и плоскости

1.

2.

3. Угол между прямой и плоскостью

4.

Аналитическая геометрия на плоскости.

Прямоугольная декартова система координат на плоскости

Расстояние между 2 точками .

Если заданы точки, А и В и точка С делит отрезок АВ в отношении, т. е., то .

Уравнение прямой на плоскости

Ax+By+C=0;

Уравнение прямой в отрезках .

Уравнение прямой, проходящей через 2 заданные точки .

Уравнение прямой, проходящей через точку, под заданным углом к оси Ох ():

Расстояние от точки до прямой

1.

2.

3.

Окружность

Уравнение окружности с центром в M (a;b) радиусом R

Уравнение окружности с центром в начале координат

Эллипс

Эллипс — геометрическое место точек, для которых сумма расстояний до двух заданных точек плоскости (фокусов эллипса) есть величина постоянная,, чем расстояние между фокусами.

Обозначим M (x;y) — произвольная точка эллипса, 2с — расстояние между фокусами F₁ и F₂; 2а — сумма расстояний от точки М до F₁ и F₂ (a — большая полуось эллипса). — малая полуось эллипса. .

Тогда каноническое уравнение эллипса имеет вид .

Число называется эксцентриситетом эллипса и характеризует сплюснутость эллипса относительно осей. Если, то получается окружность. a=b.

Гипербола

Гипербола — геометрическое место точек, разность расстояний которых от двух заданных точек (фокусов) есть постоянная величина, меньшая, чем расстояние между фокусами.

Если M (x;y) — точка гиперболы; F₁, F₂ — фокусы, 2с — расстояние между фокусами, 2а — разность расстояний от точки М (х;y) до фокусов, где, а — действительная полуось гиперболы. — мнимая полуось гиперболы.

Каноническое уравнение гиперболы .

Гипербола пересекает ось Ох в точках и, с осью Оу пересечений нет.

Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых .

Эксцентриситет гиперболы .

Парабола

Парабола — геометрическое место точек, равноудаленных от заданной точки F — фокуса и заданной прямой — директрисы параболы. Если ось абсцисс совпадает с перпендикуляром, опущенным из фокуса на директрису, а начало координат делит этот перпендикуляр пополам, то каноническое уравнение имеет вид .

Эксцентриситет параболы — отношение расстояния от точки параболы до директрисы к расстоянию от этой точки до фокуса.

Общее уравнение второго порядка

— общее уравнение кривой второго порядка

Параллельный перенос: .

Поворот осей:

— инварианты. — дискриминант

Если >0, то уравнение эллиптического вида

Если <0, то уравнение гиперболического типа

Если =0, то уравнение параболического типа

Выбираем угол так, чтобы B'=0, тогда

(1) (B=0)

1.. Осуществляем параллельный перенос для уничтожения членов .(**) ** подставляем в

(1)+

(2) (3)

а) >0 — эллиптический вид

A`C`>0 (одного знака)

Если F``>0, то пустое множество

Если F``=0, то одна точка (x``=0, y``=0)

Если F``<0, то получим эллипс в виде, где

б) <0 (гиперболический вид) A’C'<0 (разные знаки). Пусть A'>0

A`=,, , тогда .

Если F₀=0, то, получаем пару пересекающихся прямых.

Если F₀>0, то (гипербола)

Если F₀<0, то (гипербола, где оси поменялись местами)

в) (параболический тип) A`C`=0

(5)

а) D`=E`=0, пусть

б)

** в (5)

где 2р=, если p>0, то парабола .

Теория пределов

Число, а называется пределом последовательности x_n для любого () сколь угодно малого положительного числа найдется номер, зависящий от, начиная с которого все члены последовательности отличаются от, а меньше, чем на .

Предел последовательности

Под числовой последовательностью понимают функцию, заданную на множестве натуральных чисел т. е. функцию натурального аргумента.

Число a называется пределом последовательности x_n (x=1,2,…): =а, если для любого сколь угодно малого >0, существует такое число N=N (), что для всех натуральных n>N выполняется неравенство .

1) , — натуральное число. Если x_n=a, то (a, a, a, a) — стационарная последовательность.

2), где a, d — const, тогда (a, a+d, a+2d,…a+(n-1)d)

x_n+1=x_n+d — рекуррентная формула.

3) Числа Фибоначчи. (1,1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,…), где x₁, x₂ =1 и .

(*);

— эпсилон — окрестность числа а.

1. .

2.

Основные теоремы пределах

1. О единственном пределе. Последовательность имеет не более 1 предела.

2. Предельный переход в неравенстве.

3. О трех последовательностях. О сжатой последовательности.