Расчет и анализ погрешностей измерения температуры в заданном диапазоне с помощью термопреобразователя заданного типа

Реферат

В данной курсовой работе произведена статистическая обработка и представление результатов прямых измерений.

Содержание предварительной обработки состоит в отсеивании аномальных результатов, расчете статистических характеристик выборки и проверке гипотез о независимости и нормальности распределения элементов выборки. Данные, как исходные, так и прошедшие процедуры отсева и расчета, необходимо представить в виде гистограммы и полигона распределения. Необходимо также учесть все возможные погрешности и провести их анализ. Грубые ошибки связаны с резким нарушением условий эксперимента или просчетом экспериментатора при отдельном наблюдении отбрасываются на основании проверки по специальным критериям.

Bведение

Термопары широко применяют для измерения температуры различных объектов, а также в автоматизированных системах управления и контроля. Измерение температур с помощью термопар получило широкое распространение из-за надежной конструкции датчика, возможности работать в широком диапазоне температур и дешевизны. Широкому применению термопары обязаны в первую очередь своей простоте, удобству монтажа, возможности измерения локальной температуры. Они гораздо более линейны, чем многие другие датчики, а их нелинейность на сегодняшний день хорошо изучена и описана в специальной литературе. К числу достоинств термопар относятся также малая инерционность, возможность измерения малых разностей температур. Термопары незаменимы при измерении высоких температур (вплоть до 2200°С) в агрессивных средах. Термопары могут обеспечивать высокую точность измерения температуры на уровне ±0,01°С. Они вырабатывают на выходе термоЭДС в диапазоне от микровольт до милливольт, однако требуют стабильного усиления для последующей обработки.

На практике при измерении температур широко используется техника «компенсации холодного спая»: температура холодного спая измеряется другим датчиком температуры, а затем величина термоЭДС холодного спая программно или аппаратно вычитается из сигнала термопары. Места подключения термопары к измерительной системе должны иметь одинаковую температуру, то есть находиться в изотермальной зоне. Кроме того, в схеме с компенсацией холодного спая в этой же зоне должен находиться и датчик температуры холодного спая. Разработчик должен учитывать эти требования при конструировании измерительной системы.

1. Построение гистограммы и полигона

По данным 150 измерений (простая статистическая совокупность) строится гистограмма и полигон.

Гистограмма — графическое изображение интервального статистического ряда (плотность вероятности дифференциального распределения). Для построения гистограммы необходимо определить число интервалов разбиения k = 1 + 3,32*lg (n) — результат округлить до целого числа, количество разрядов должно быть нечетным, в случае четного количества увеличить k на единицу;

(1.1)

.

Определяем длины интервала:

(1.2)

Построение статистического ряда Определяем относительную частоту попадания элементов выборки n_i/n в i-ом интервале и построим на основе исходной простой статистической совокупности статистический ряд.

Таблица 1. — Статистический ряд распределения температур

В графическом режиме строим ступенчатую кривую, значение которой на i-ом интервале постоянно и равно n_i/n.

Рисунок 1 — Ступенчатая гистограмма Построение полигона и кривой нормального распределения.

Cтроим изображение дискретного статистического ряда — полигон и кривую закона нормального распределения (3).

(1.3)

где m — математическое ожидание, в качестве математического ожидания берется среднее арифметическое простой статистической совокупности (определяется по формуле);

(1.4)

у — среднее квадратическое отклонение (определяется по формуле).

(1.5)

Численно, m = 649,542 и у = 4,844 568.

Рисунок 2 — Кривая закона нормального распределения

2. Проверка нормальности распределения по критерию ч² (Пирсона)

Схема применения критерия ч² к оценке согласованности теоретического и статистического распределений сводится к следующему:

Определяется мера расхождения ч² по формуле:

(1.6)

где p_i — нормированная вероятность экспериментального распределения;

f(x_icp) — вероятность теоретического распределения (в данном случае нормального закона, формула (1.3))

Получаем ч²=8,59

Определяется число степеней свободы r как число разрядов k минус число наложенных связей s:

r = k — s.

r=9−3=6

По r и ч² с помощью таблицы Д1 приложения определяется вероятность (Р=0,01) того, что величина, имеющая распределение ч² с r степенями свободы, превзойдет данное значение ч²(8,59<12,59).

Так как эта вероятность относительно велика (~ 80 — 90%), то гипотезу о нормальности распределения можно считать непротиворечащей опытным данным.

3. Определение систематической погрешности

3.1 Определение абсолютной погрешности средства измерений

Определяем абсолютную погрешность средства измерения по формуле:

(1.7)

где К — класс точности средства измерений (значение берем из таблицы 1);

г — предел допускаемой приведенной погрешности в процентах нормирующего значения;

xN — нормирующее значение, выраженное в единицах измеряемой величины.

Нормирующее значение для средств измерений с безнулевой шкалой (диапазоном преобразования) равен разности верхнего и нижнего пределов измерений (xВ — xН);, т. е. диапазону измерений.

=900−200

=1*700/100=7

3.2 Определение относительной погрешности измерений

Относительная погрешность средства измерений определяется по формуле (1.8):

(1.8)

где x — измеренное значение (среднее для данного измерения),

Д — значение абсолютной погрешности (таблица 2).

Получаем значения относительной погрешности средства измерения для пяти выборок (таблица 2).

Таблица 2. Значение относительной погрешности для пяти выборок

3.3 Определение методической погрешности

Методическая погрешность, обусловленная лучистым теплообменом между термопреобразователем и стенкой, определяется по формуле (1.9):

(1.9)

где С0 = у*108 — константа излучения;

у = 5,67*10−8 Вт/(м2*К4) — постоянная Стефана — Больцмана;

еT — коэффициент черноты поверхности термоприемника; (еT — 0,94)

бk — коэффициент конвективной теплоотдачи между термометром и измеряемой средой (Вт/м2*К) (бk -550);

Чтобы приблизить температуру внутренней стенки трубы к температуре газового потока, ее необходимо покрывать тепловой изоляцией 2 (рисунок 3). При равных условиях погрешность измерения, обусловленная влиянием теплообмена излучением, тем больше, чем выше измеряемая температура газового потока.

Погрешность измерения, обусловленную лучистым теплообменом, можно также значительно уменьшить посредством экранирующих устройств.

В качестве примера на рисунке 4 показана схема установки термоприемника в трубопроводе, через который протекает газовый поток. На этой схеме термоприемник 1, установленный вдоль оси трубопровода, находится внутри экрана 2, изготовленного из листового металла. В этом случае теплообмен излучением происходит между термоприемником и поверхностью экрана, имеющего более высокую температуру tЭ, чем температура внутренней стенки tВС.

3.4 Определение допускаемого отклонения термо-ЭДС

Допускаемое отклонение термо-ЭДС термоэлектрического термометра определяется по формуле (1.11):

(1.10)

где a, b, c - коэффициенты, определяемые из таблицы 5.

dE/dt-коэффициент преобразования термопары.

= (3+0,0075*(790,44−400))*0,0168=0,6 639 мВ По формуле (1.11) получаем значения относительных допускаемых отклонений для термопары для пяти исследуемых выборок (таблица 4).

Таблица 4 — Значения относительных допускаемых отклонений для термопары для пяти исследуемых выборок

3.5 Расчет суммарной систематической погрешности

После определения отдельных составляющих систематической погрешности рассчитывается суммарная систематическая погрешность по формулам.

Абсолютная погрешность (таблица 7):

; (1.11)

Относительная погрешность (таблица 7):

. (1.12)

Таблица 5 — Значение суммарных систематических погрешностей для пяти выборок

4. Расчет статистических характеристик

Расчет статистических характеристик также выполняется для каждой статистической совокупности из пяти.

Наилучшей оценкой для математического ожидания является выборочное среднее арифметическое:

(1.13)

Выборочное среднее арифметическое для пяти выборок

Оценкой дисперсии случайной величины является выборочная дисперсия:

(1.14)

Значения дисперсии для пяти выборок

Величина у является оценкой среднего квадратического отклонения выборки (СКО).

5. Отсев аномальных значений

Между результатом, содержащим промах и результатом, заслуживающим доверия бывает трудно провести границу и назвать результаты, содержащие явные промахи. При малом числе измерений хорошие результаты дает критерий Романовского, основанный на распределении Стьюдента.

Критерий Романовского применяется при числе наблюдений n?20.

Пусть произведено n+1 измерений. При этом n результатов не вызывают сомнения, а один кажется нарушающим этот ряд. Этот результат обозначим через х_n+1. Найдем для ряда х₁, …х_n среднее арифметическое и среднюю квадратическую погрешность.

Исходя из степени достоверности q = 1-p, которая должна быть обеспечена, вычисляют соотношение |(m — x_i+1)/у| = в и сравнивают с критерием в_т, выбранным из таблицы. Если в? в_т, то результат х_i+1 считается промахом и отбрасывается.

Таблица 6. Значения m и в

в_т=3,08.

Вывод: исходя из того что в_расч<�в_табл по всем пяти колонкам можно сделать вывод что нет ни одного аномального значения.

6. Интервальная оценка

Для построения доверительного интервала необходимо задаться доверительной вероятностью в — вероятностью, с которой диапазон практически возможных значений ошибки, возникающей при замене истинного значения на среднее арифметическое, будет ± е, то есть с вероятностью в неизвестное значение параметра а попадет в интервал гистограмма температура распределение пирсон

Здесь е является абсолютной случайной погрешностью:

Д_С = е

В зависимости от вида функции распределения случайной ошибки можно построить точный или приближенный доверительный интервал. В том случае, когда случайная величина x распределена по закону, отличному от нормального, строят приближенный доверительный интервал.

t_в=3,08

7. Проверка однородности дисперсий

Экспериментаторы часто планируют получение выборок одинакового объема, однако, если в опытах обнаруживаются промахи, то после их исключения объемы выборок оказываются различными. В этом случае проверка однородности нескольких дисперсий, найденных по выборкам различного объема используют критерий Кохрена.

(1.15)

Gрасч > Gтабл гипотеза об однородности дисперсий принимается

8. Регрессионный анализ полиномиальной модели

8.1 Метод наименьших квадратов

Метод наименьших квадратов (МНК) — основной метод статистической обработки результатов с целью получения математического описания объекта. Цель метода — получение регрессионной зависимости y=f(X₁), которая с достаточной точностью описывала бы результат эксперимента. График зависимости y=f(X₁) — это искомая кривая. Значениям фактора Х₁, равным Х₁₁, Х₁₂, …, Х_1N, соответствуют точки на кривой. Эти точки являются значениями выходной величины, рассчитанными по уравнению регрессии f=(X1).

(1.16)

Находим значение коэффициентов регрессии a, b, c:

a = 0.0002 b = -0.1689 c = 46.0609

Уравнение модели в соответствии с найденными коэффициентами примет вид:

Y=-0,0002x²-0.1689 x+46.0609

На рисунке 3 представлен график зависимости у=f(x) полученной нами модели и точки зависимости Д_М(T_t) по рассчитанным значениям Д_М и средним значениям T_t для всех пяти заданных совокупностей данных.

Рисунок 5 — Линейная зависимость Д_М(T_t) от T_t

9. Определение суммарной погрешности измерения температуры

При проведении многократных измерений случайная погрешность может быть уменьшена во много раз.

Однако погрешность усредненного результата будет определяться не этой весьма малой случайной погрешностью, а не зависящей от числа усредняющих отсчетов систематической погрешностью.

Согласно ГОСТ 8.207−76 погрешность результата измерения определяется по следующим правилам:

— если границы неисключенной систематической погрешности Дсист и оценка СКО результата измерения у связаны соотношением: то следует пренебречь систематической составляющей погрешности и учитывать только случайную погрешность результата. При этом доверительные границы погрешности результата Д = tву, где tв — коэффициент Стьюдента, зависящий от доверительной вероятности в и числа проведенных измерений n;

— если же имеет место неравенство

то, наоборот, следует пренебречь случайной составляющей и результат характеризовать лишь границами его суммарной систематической погрешности Д = Дсист.

При этом доверительные границы погрешности результата

Д = ,

где t_в — коэффициент Стьюдента, зависящий от доверительной вероятности в и числа проведенных измерений n.

Таблица 7. Определение суммарной погрешности

Отсюда делаем вывод, что для данной последовательности измерений справедливо неравенство: .

Поэтому следует пренебречь случайной составляющей и результат характеризовать лишь границами его суммарной систематической погрешности Д = Д_Cист.

10. Расчет количества тепла, переносимого газом в единицу времени и погрешности такого измерения

Определить удельное теплосодержание и погрешность.

Удельное теплосодержание газа определяется по формуле:

где с — удельная теплоемкость газа,

G — массовый расход газа, кг/с;

t — температура газа в°С.

Косвенные измерения предполагают наличие функциональной связи:

Y = f(x₁, x₂, …, x_n)

Погрешность косвенного измерения:

Абсолютная погрешность:

;

Относительная:

.

СКО функции:

Таблица 8. Расчет количества тепла для пяти выборок

Анализируя полученную погрешность можно сделать вывод, что она достаточна высокая, на это могло повлиять большая погрешность расхода газа и условия эксплуатации прибора.

Заключение

Согласно ГОСТ 8.207 — 76 оформление результатов измерений при симметричной доверительной погрешности результаты измерений представляют в форме

где — результат измерения.

Кроме того, из результата измерения следует исключить методическую погрешность, поэтому получаем следующие результаты по измерениям.

Тогда результаты, полученные при проведении расчетов по пяти выборкам, будут иметь вид:

первая выборка: (411,94±25,26) 0,95;

вторая выборка: (498,42±25,29) 0,95єС;

третья выборка: (575,51±25,31) 0,95єС;

четвертая выборка: (653,28±25,34) 0,95єС;

пятая выборка: (720,38±25,34) 0,95єС;

В результате проведенного статистического анализа мы определили значимость систематической погрешности в данных измерениях, и выяснили, что для данных измерений не существенной будет величина случайной ошибки. То есть для данных измерений точность снимаемых показаний не будет зависеть от количества измерений, достаточно будет однократного измерения, но результат необходимо корректировать с учетом условий эксплуатации прибора и исключать методическую погрешность прибора.

Была построена модель зависимости Д_М(T_t), адекватно описывающая методическую погрешность для данных измерений. Анализируя полученную модель можно сделать вывод, что погрешность измерений будет увеличиваться с увеличением измеряемой величины, т. е. данный прибор корректно использовать для измерения величин в низком диапазоне.

Список источников

1 Гмурман В. Е. «Теория вероятности и математическая статистика». М. Высш. Шк., 1998 — 479 с.

2 Карпенко С. Л., Рудковский А. В. Метрология, стандартизация и сертификация: Методические указания по выполнению курсовой работы для студентов специальности 210 200 «Автоматизация технологических процессов и производств» всех форм обучения. — Красноярск: СибГТУ, 2005. — 35 с.

3 Клюев А. С. проектирование систем автоматизации и контроля «ЛЕНАТОМиздат», 1990

4 ГОСТ 8.207−76 «Прямые измерения с многократными наблюдениями. Методы обработки результатов наблюдений».