Геометрические построения на плоскости циркулем с ограничением

Теорема Й. Все геометрические задачи на построение, разрешимые циркулем и линейкой, могут быть точно решены и одним циркулем, описывающим окружности, радиусы которых не превышают некоторого наперед заданного отрезка.

Рассмотрим общий метод решения конструктивных задач на построение одним циркулем, растворы ножек которого ограничены сверху отрезком R. геометрия плоскость циркуль линейка Представим задачу решенной одним циркулем в классическом смысле, при свободном пользовании циркулем, когда на раствор ножек никаких ограничений не накладывается. В результате получена некоторая фигура Ф, состоящая из одних только окружностей, взятых в конечном числе. Обозначим через R₁ наибольший из радиусов всех окружностей, составляющих фигуру Ф. Если R₁R, то указанное построение может быть выполнено одним циркулем с ограниченным раствором ножек.

Пусть теперь R₁>R. Возьмем натуральное число n таким, чтобы R₁/2ⁿR. Если все отрезки, данные в задачи, в том числе и отрезки, определяющие радиусы заданных окружностей, уменьшить в 2ⁿ раз и затем провести решение данным циркулем, то в результате получим фигуру Ф', подобную фигуре Ф с коэффициентом подобия, равным ½². Все окружности фигуры Ц' могут быть начерчены данным циркулем. При этом, если среди данных в условии задачи имеется некоторая фигура Ц₁ в плоскости чертежа, то одну точку этой фигуры нужно взять за центр подобия и построить ей подобную фигуру Ф'₁ с коэффициентом подобия ½ⁿ.

При решении задач на построение число n обычно бывает неизвестным, т.к. данным циркулем нельзя построить фигуру Ф, а значит неизвестен радиус R₁ наибольшей из окружностей. Учитывая это обстоятельство, решение задачи данным циркулем с ограниченным раствором проводим до тех пор, пока не придём к окружности с радиусом r₁>R. Определяем натуральное число n₁ так, чтобы r₁2ⁿR. Уменьшаем данные отрезки в 2ⁿ раз и повторно начинаем решение данной задачи; в результате она будет полностью решена и построена фигура Ф' или снова придем к окружности радиуса r₂>R. Определяем натуральное число n₂ так, чтобы r₂2ⁿR, и снова уменьшаем все отрезки в 2ⁿ раз и в третий раз начинаем решение задачи и т. д. После конечного числа шагов фигура будет построена.

Теорема ЙЙ. Все геометрические задачи на построение, разрешимые циркулем и линейкой, могут быть точно решены и одним циркулем, описывающим окружности, радиусы которых не меньше длины некоторого наперед заданного отрезка.

Общий метод решения задач на построение одним циркулем, описывающим окружности, радиусы которых не меньше R, совпадает с общим методом решения задач на построение одним циркулем, растворы ножек которого ограничены сверху отрезком R. Различие этих методов заключается в том, что данные в условии задачи отрезки нужно не уменьшать, а наоборот, увеличивать в n раз.

Многими учеными рассматривались геометрические построения циркулем с постоянным раствором, которым можно описывать окружности только радиуса R.

Циркулем с постоянным раствором, равным R, можно провести прямую, перпендикулярную к отрезку АВ и проходящую через один из его концов, если только |AB|<2R; можно отрезок R увеличить в 2,3,4,… раз. Если |AB|<2R и |AB|?R, то можно строить точки прямой АВ, меняя при этом каждый раз положение симметричных точек. Однако этим циркулем не можем делить отрезки и дуги на равные части, находить пропорциональные отрезки и т. д.

Таким образом, с помощью одного циркуля с постоянным раствором невозможно решить все задачи на построение, которые можно решить циркулем и линейкой. [14].