Определение и основные свойства делимости

Единицу области целостности К будем обозначать 1. Целое число 6 делится на целое число 2 потому, что существует целое число 3, такое что 6 = 2−3. Отталкиваясь от этого примера, дадим общее определение понятию делимости в произвольной области целостности.

Определение 3.2. Пусть К — область целостности и а, b е К. Будем говорить, что элемент а делится на элемент Ь, и писать а: Ь, если существует элемент q е К, такой что a = bq. При этом b называется делителем элемента, а и, а называется кратным Ь.

Легко доказать, что отношение «делится» на области целостности К рефлексивно (а: а) и транзитивно (если а: b и b: с, то а: с). Из делимости слагаемых на элемент d вытекает делимость суммы на d.

Обратим внимание на то, что 0: 0, и если а: 0, то а = 0. Вместе с тем в соответствии с определением 3.1 элемент 0 не является делителем нуля.

Рассмотрим примеры.

• 1. В кольце целых чисел делителями числа 2 являются 1,-1, 2 и-2.
• 2. В кольце Z + Zi имеем 2 = (1 + 0(1 — 0- Очевидно, 2: ±1, ±i, ±(1 + 0, ±(1 -0, ±2, ±2i.

Докажем, что других делителей нет. Пусть а = а + Ы при целых а и b является делителем числа 2. Тогда 2 = а • (3 при некотором (3 е Z + Zi. Но тогда 2² = | а |² • | (31². Таким образом, целое число | а ² — а² + Ь² является делителем числа 4, т. е. совпадает с одним из чисел 1, 2, 4. Если а² + b² = 1, то либо а = ±1, Ь = 0, либо а = 0, b = ±1, откуда либо, а = ±1, либо а — ±i. Если а² + Ь²- 4, то либо а = ±2, Ь = 0, либо, а = 0, b = ±2, откуда либо, а = ±2, либо, а = ±2i. Если же а² + Ь² = 2, то либо а = ±(1 + 0, либо, а = ±(l-i).

Упражнение 3.1. Докажите, что 3: ±1, ± i, ±3, ±3i и других делителей нет.

Множество всех делителей единицы (обратимых элементов) области целостности К относительно умножения образует группу, которая называется мультипликативной группой области целостности и обозначается К" .

Рассмотрим примеры.

• 1. Группа делителей единицы в кольце целых чисел есть Z* = {1,-1}.
• 2. Докажем, что группа делителей единицы в кольце целых комплексных чисел есть (Z + Z0* = {1, -1, i, -i}. Поскольку 1 = = 1 • 1 = (-1) • (-1) = i • (-г), то числа ±1 и ±i являются делителями единицы. Докажем, что других нет. Пусть е — делитель единицы. Тогда существует, а е Z + Zi, такое что 1 = еа. Отсюда получаем 1= |ш|² = |е|² — |ос|² и |е|² = 1. Пусть е = х + yi, х, у

e Z. Тогда х² +у² — 1, откуда либо х² — 1, у = 0, либо х = 0, у² — 1. Следовательно, либо е = ±1, либо г — ±i.

• 3. Группа делителей единицы в произвольном поле Р состоит из всех элементов поля, отличных от нуля, и совпадает с мультипликативной группой поля Р* = Р {0}. В частности, Q* = Q {0}.
• 4. Группа делителей единицы в кольце многочленов (Z[x])* = Z* = {1, -1}. В кольце многочленов Q[x] группа делителей единицы (Q[x])* = Q*= Q {0}. В кольце многочленов РС[лг] над областью целостности К группа делителей единицы совпадает с группой делителей единицы К*. В частности, в кольце многочленов Р[х] над полем Р группа делителей единицы (обратимых элементов) есть (Р[х])* = Р* = Р {0}.

Определение 3.3. Пусть К — область целостности и а, b е К. Элемент а называется ассоциированным с элементом Ъ, если существует делитель единицы е е К, такой что a — eb.

Легко доказать, что отношение ассоциированности элементов является отношением эквивалентности на области целостности К, т. е. оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. В силу этого если элементы а и b ассоциированы, то будем писать а ~ ~ Ь. По этому отношению множество К распадается на непересекающиеся классы ассоциированных элементов. Класс элементов, ассоциированных с элементом а, будем обозначать К_а.

Лемма 3.1 (критерий ассоциированности элементов). В области целостности К элементы aub ассоциированы тогда и только тогда, когда аЪиЬа.

Доказательство. (=>) Пусть а ~ Ь. По определению, это означает существование делителя единицы 8 е К*, такого что а — гЪ. Отсюда следует, что а: Ь. Но b — е^_1а, откуда b: а.

(<=) Пусть а :ЬиЫ а. Если предположить, что а — 0, то из условия b: а следует, что Ь = 0. Следовательно, а~Ъ. При а Ф 0 имеем.

Следовательно, q является делителем единицы и из равенства a = bq заключаем, что а ~ Ь. Лемма доказана.

Примеры.

• 1. В кольце целых чисел Z класс элементов, ассоциированных с числом 2, состоит из чисел К₂ = {2, —2}. Аналогично К₃ = {3, -3}, К_₅ = {5, -5}, КJ = {1, -1}, К₀ = {0}.
• 2. В кольце целых комплексных чисел К₂ = {2, -2, 2i, —2г>, Кj = {1, -1, г, -i}, K_1+i = {1 + i, -1-i, -1 + i, 1-г}.
• 3. В поле Р лишь два класса ассоциированных элементов: К₀ = {0}иК_г=Р*.
• 4. В кольце многочленов Z[x] имеем классы ассоциированных элементов К₂ = {2, -2}, К_2х2+3 = {2х² + 3, -2х² -3}. В кольце многочленов Р[х] над полем Р классы ассоциированных элементов К₀ = {0}, К_г = Р*, К_х = {ахае Р*}, К_т = {а •/(*) | а е Р*>, № е РМ.