Прогнозирование на основе регрессионных моделей

По имеющимся исходным данным выявить и оценить на основе регрессионных моделей производственные связи. Провести расчет прогнозных значений показателей, когда уровень факторных показателей на 30% превышают средние величины исходных данных.

Исходные данные представлены в таблице:

Необходимо определить тесноту связи между данными признаками. Для этого вначале воспользуемся коэффициентом корреляции рангов Спирмэна. Этот показатель основан на корреляции не самих значений коррелируемых признаков, а их рангов. Для его расчета присвоим ранги значениям соответствующих признаков, затем найдем их разность d. Эти вычисления отразим в нижеследующих таблицах. Далее вычислим непосредственно сам коэффициент, который равен:, (n — число наблюдаемых пар значений признаков.)

Расчетные таблицы для определения коэффициента корреляции рангов Спирмэна

Из выше приведенного можно сказать о сильной обратной связи между удоем молока и себестоимостью, т. е. при увеличении удоя себестоимость молока снижается.

Так как значение коэффициента отрицательно, следовательно, имеем обратную связь между расходом кормов на 1 корову и себестоимостью молока.

Имеется обратная зависимости между удельным весом чистопородных коров в стаде и себестоимостью молока.

Полученное значение коэффициента корреляции рангов Спирмэна свидетельствует о сильной прямой связи между удоем молока и расходом кормов на 1 корову, т. е. при увеличении расхода кормов в пересчете на 1 корову увеличивается и удой молока на среднегодовую корову.

Значение положительно, поэтому имеемхарактеризует сильную прямую связь между удоем молока и удельным весом чистопородных коров в стаде и показывает, что вариация результативного признака на 89,3% обусловлена вариацией факторного признака (согласно коэффициенту Спирмэна).

О сильной прямой зависимости между расходом кормов в пересчете на 1 корову и удельным весом чистопородных коров в стаде говорит значение коэффициента. Чем выше удельный вес, тем выше расход кормов.

Но следует иметь в виду, что, поскольку коэффициент Спирмэна учитывает разность только рангов, а не самих значений признаков, он менее точен по сравнению с линейным коэффициентом корреляции. Воспользуемся последним.

Воспользуемся программным пакетом Stata 7.

Корреляционная матрица имеет вид:

. corr ud korm ves sst

(obs=20)

| ud korm ves sst

——————-+—————————————————-;

ud | 1.0000

korm | 0.8851 1.0000

ves | 0.9401 0.8290 1.0000

sst | -0.7875 -0.6497 -0.7587 1.0000

· ud — удой молока на среднегодовую корову,

· korm — расход кормов на 1 корову,

· ves — удельный вес чистопородных коров в стаде,

· sst — себестоимость молока за 1 кг.

Можно сделать вывод, что присутствует обратная связь между себестоимостью и удоем молока (r?=?-?0,79), себестоимостью и удельным весом (r?=?-?0,76), себестоимостью и расходом кормов (r?=?-?0,65).Имеется сильная прямая связи между удоем молока и расходом кормов (r?=?0,89), удоем молока и удельным весом (r?=?0,94), расходом кормов и удельным весом (r?=?0,83). Если сравнивать значения, полученные линейным коэффициентом корреляции и ранговым коэффициентом Спирмэна, то расхождения не превысят 8%. В большинстве же своем погрешность составляет около 1%.

Теперь проверим коэффициенты корреляции на значимость:

. pwcorr ud korm ves sst

| ud korm ves sst

——————-+—————————————————-;

ud | 1.0000

korm | 0.8851 1.0000

ves | 0.9401 0.8290 1.0000

sst | -0.7875 -0.6497 -0.7587 1.0000

Все коэффициенты значимы.

Построим модель.

Так как значения удоя молока и значения других показателей отличаются на порядок, то будем использовать вместо переменной «удой молока» переменную натурального логарифма удоя молока.

Рассмотрим в качестве результативного фактора себестоимость молока за 1 кг, поскольку важен расчет именно себестоимости и определение от каких факторов и насколько она зависит. Удой молока, расход кормов на 1 корову и удельный вес чистопородных коров в стаде могут повлиять на значение себестоимости.

Приведем графики зависимости себестоимости от каждого из факторов:

От логарифма удоя молока

От расхода кормов на 1 корову

От удельного веса чистопородных коров в стаде

Графики демонстрируют нам обратную зависимость между результативным фактором — себестоимостью и объясняющим фактором, что подтверждается значениями коэффициентов корреляции.

Вначале рассмотрим линейную модель по всем факторам:

. reg sst lnud korm ves

Source | SS df MS Number of obs = 20

——————-+——————————————— F (3, 16) = 10.37

Model | .31 800 232 3 .10 600 077 Prob > F = 0.0005

Residual | .16 350 718 16 .102 192 R-squared = 0.6604

——————-+——————————————— Adj R-squared = 0.5968

Total | .4 815 095 19 .2 534 261 Root MSE = .3 197

——————————————————————————————————————-;

sst | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]

——————-+———————————————————————————————-;

lnud | -.2 305 787 .1 162 704 -1.98 0.065 -.4 770 609 .159 036

korm | .26 417 .25 775 1.02 0.321 -.28 223 .81 057

ves | -.138 .24 772 -0.01 0.996 -.52 651 .52 376

_cons | 2.88 534 .7 538 614 2.77 0.014 .4 904 194 3.686 649

——————————————————————————————————————-;

Хотя у этой модели и достаточно хороший коэффициент детерминации и согласно F-критерию Фишера оно значимо, параметры при переменных lnud, korm, ves не значимы по t-критерию Стьюдента с P-значениями 0.065, 0.321 и 0.996. Значит, эта модель не подходит.

Построим модель вида:

. reg sst lnud1 korm1 ves1

Source | SS df MS Number of obs = 20

——————-+——————————————— F (3, 16) = 10.32

Model | .31 744 654 3 .10 581 551 Prob > F = 0.0005

Residual | .16 406 296 16 .1 025 393 R-squared = 0.6593

——————-+——————————————— Adj R-squared = 0.5954

Total | .4 815 095 19 .2 534 261 Root MSE = .3 202

——————————————————————————————————————-;

sst | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]

——————-+———————————————————————————————-;

lnud1 | 14.46 292 6.110 319 2.37 0.031 1.509 625 27.41 622

korm1 | -5.633 853 5.967 609 -0.94 0.359 -18.28 462 7.16 912

ves1 | .6 831 225 6.892 859 0.10 0.922 -13.92 909 15.29 533

_cons | -1.33 304 .6 029 802 -2.21 0.042 -2.611 301 -.547 791

——————————————————————————————————————-;

Видим что коэффициент детерминации хорош — 0,659 и по F-критерию Фишера уравнение значимо. Но параметры при переменных korm1, ves1 не значимы по t-критерию Стьюдента с P-значениями 0.359 и 0.922. Значит, эта модель не подходит.

Будем рассматривать различные комбинации переменных при включении в модель. Построим модель вида:

. reg sst lnud korm1 ves1

Source | SS df MS Number of obs = 20

——————-+——————————————— F (3, 16) = 10.09

Model | .31 497 211 3 .1 049 907 Prob > F = 0.0006

Residual | .16 653 739 16 .1 040 859 R-squared = 0.6541

——————-+——————————————— Adj R-squared = 0.5893

Total | .4 815 095 19 .2 534 261 Root MSE = .3 226

——————————————————————————————————————-;

sst | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]

——————-+———————————————————————————————-;

lnud | -.2 065 493 .898 758 -2.30 0.035 -.3 970 775 -.160 212

korm1 | -5.156 249 5.939 941 -0.87 0.398 -17.74 836 7.435 864

ves1 | 1.94 516 6.895 036 0.16 0.876 -13.52 231 15.71 134

_cons | 2.109 487 .8 816 345 2.39 0.029 .2 405 058 3.978 469

——————————————————————————————————————-;

Так же как и в предыдущих моделях, значение R-квадрата хорошее, уравнение значимо по F-критерию Фишера, но одновременно с этим параметры при переменных korm1, ves1 с P-значениями 0.398 и 0.876 соответственно не значимы по t-критерию Стьюдента. Также отбросим эту модель.

Построим модель вида:

. reg sst lnud1 korm ves1

Source | SS df MS Number of obs = 20

——————-+——————————————— F (3, 16) = 10.60

Model | .32 029 999 3 .10 676 666 Prob > F = 0.0004

Residual | .16 120 951 16 .1 007 559 R-squared = 0.6652

——————-+——————————————— Adj R-squared = 0.6024

Total | .4 815 095 19 .2 534 261 Root MSE = .3 174

——————————————————————————————————————-;

sst | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]

——————-+———————————————————————————————-;

lnud1 | 15.74 117 6.497 854 2.42 0.028 1.966 333 29.516

korm | .27 978 .25 644 1.09 0.291 -.26 386 .82 341

ves1 | .207 899 6.780 318 0.00 0.998 -14.35 284 14.39 442

_cons | -1.732 706 .8 136 604 -2.13 0.049 -3.457 589 -.78 235

——————————————————————————————————————-;

R-квадрат хорош- 0,665, уравнение значимо согласно F-критерию Фишера. Но при этом параметры при переменных korm, ves1 с P-значениями 0.291 и 0.998 соответственно не значимы по t-критерию Стьюдента. Также отбросим эту модель.

Рассмотрим модель:

. reg sst lnud1 korm1 ves

Source | SS df MS Number of obs = 20

——————-+——————————————— F (3, 16) = 10.31

Model | .31 738 225 3 .10 579 408 Prob > F = 0.0005

Residual | .16 412 725 16 .1 025 795 R-squared = 0.6591

——————-+——————————————— Adj R-squared = 0.5952

Total | .4 815 095 19 .2 534 261 Root MSE = .3 203

——————————————————————————————————————-;

sst | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]

——————-+———————————————————————————————-;

lnud1 | 14.53 007 7.378 598 1.97 0.066 -1.111 856 30.172

korm1 | -5.544 031 5.927 707 -0.94 0.364 -18.11 021 7.22 147

ves | -.1 462 .2 454 -0.06 0.953 -.53 485 .5 056

_cons | -1.322 613 .969 369 -1.36 0.191 -3.377 583 .7 323 579

——————————————————————————————————————-;

Как и в предыдущих моделях, несмотря на значимость уравнения и хорошее значение коэффициента детерминации, эту регрессионную модель мы также отбросим, так как в ней незначимы параметры при переменных lnud1, korm1, ves согласно t-критерию Стьюдента.

Рассмотрим модель:

. reg sst lnud lnud2 korm korm2 ves ves2

Source | SS df MS Number of obs = 20

——————-+——————————————— F (6, 13) = 4.52

Model | .32 557 159 6 .5 426 193 Prob > F = 0.0109

Residual | .15 593 791 13 .1 199 522 R-squared = 0.6761

——————-+——————————————— Adj R-squared = 0.5267

Total | .4 815 095 19 .2 534 261 Root MSE = .3 463

——————————————————————————————————————-;

sst | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]

——————-+———————————————————————————————-;

lnud | -5.729 043 9.44 621 -0.61 0.555 -26.13 634 14.67 825

lnud2 | .341 597 .5 910 669 0.58 0.573 -.9 353 253 1.618 519

korm | .132 344 .388 671 0.34 0.739 -.707 327 .972 016

korm2 | -.1 134 .4 041 -0.28 0.783 -.9 865 .7 596

ves | .150 622 .364 293 0.41 0.686 -.636 385 .937 629

ves2 | -.1 446 .3 466 -0.42 0.683 -.8 934 .6 042

_cons | 23.57 414 36.19 652 0.65 0.526 -54.62 369 101.772

——————————————————————————————————————-;

Эта модель также не подходит, поскольку параметры при всех переменных не значимы согласно t-критерию Стьюдента.

Рассмотрим модель:

. reg sst lnud2 korm2 ves2

Source | SS df MS Number of obs = 20

——————-+——————————————— F (3, 16) = 10.39

Model | .31 819 188 3 .10 606 396 Prob > F = 0.0005

Residual | .16 331 762 16 .1 020 735 R-squared = 0.6608

——————-+——————————————— Adj R-squared = 0.5972

Total | .4 815 095 19 .2 534 261 Root MSE = .3 195

——————————————————————————————————————-;

sst | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]

——————-+———————————————————————————————-;

lnud2 | -.150 021 .79 436 -1.89 0.077 -.318 418 .18 377

korm2 | .28 .263 1.07 0.302 -.277 .838

ves2 | 2.49e-06 .227 0.11 0.914 -.457 .507

_cons | 1.258 054 .4 178 871 3.01 0.008 .3 721 731 2.143 935

——————————————————————————————————————-;

И в этой модели параметры при переменных не значимы по t-критерию Стьюдента. Отбрасываем эту модель.

Воспользуемся процедурой пошагового отбора регрессоров при построении множественной регрессии. При этом из исходного набора объясняющих переменных будут включаться в число регрессоров в первую очередь те переменные, которые имеют больший уровень значимости. Вначале включим в набор переменных переменную, а затем переменную .

. sw reg sst lnud korm ves korm1 ves1 lnud2 korm2 ves2, pe (0.05)

begin with empty model

p = 0.0000 < 0.0500 adding lnud

Source | SS df MS Number of obs = 20

——————-+——————————————— F (1, 18) = 31.70

Model | .30 711 968 1 .30 711 968 Prob > F = 0.0000

Residual | .17 438 982 18 .968 832 R-squared = 0.6378

——————-+——————————————— Adj R-squared = 0.6177

Total | .4 815 095 19 .2 534 261 Root MSE = .3 113

——————————————————————————————————————-;

sst | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]

——————-+———————————————————————————————-;

lnud | -.1 672 727 .297 095 -5.63 0.000 -.22 969 -.1 048 553

_cons | 1.703 191 .241 499 7.05 0.000 1.19 582 2.210 561

——————————————————————————————————————-;

В итоге получили модель. Это уравнение значимо согласно F-критерию Фишера, и параметр при переменной lnud и константа значимы по t-критерию Стьюдента. 63,78% суммы квадратов отклонений переменной sst от среднего значения объясняется переменными модели. А при увеличении удоя молока на 2,72% себестоимость снижается на 0,17%.

. sw reg sst lnud1 korm ves korm1 ves1 lnud2 korm2 ves2, pe (0.05)

begin with empty model

p = 0.0000 < 0.0500 adding lnud1

Source | SS df MS Number of obs = 20

——————-+——————————————— F (1, 18) = 32.04

Model | .30 830 369 1 .30 830 369 Prob > F = 0.0000

Residual | .17 320 581 18 .962 254 R-squared = 0.6403

——————-+——————————————— Adj R-squared = 0.6203

Total | .4 815 095 19 .2 534 261 Root MSE = .3 102

——————————————————————————————————————-;

sst | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]

——————-+———————————————————————————————-;

lnud1 | 11.2229 1.982 717 5.66 0.000 7.57 366 15.38 843

_cons | -1.38 311 .2 443 161 -4.25 0.000 -1.5516 -.5 250 216

——————————————————————————————————————-;

Получили модель. Это уравнение значимо по F-критерию Фишера, и параметр при переменной lnud1 и константа значимы по t-критерию Стьюдента. 64,03% суммы квадратов отклонений переменной sst от среднего значения объясняется переменными модели.

Сделаем выбор между этими двумя моделями. Представим критерии выбора модели в следующей таблице:

Из данной таблицы видно, что по всем критериям гиперболическая модель лучше линейной.

Проверим регрессию на автокорреляцию остатков:

. regdw sst lnud1, t (lnud1) force

Source | SS df MS Number of obs = 20

——————-+——————————————— F (1, 18) = 32.04

Model | .30 830 369 1 .30 830 369 Prob > F = 0.0000

Residual | .17 320 581 18 .962 254 R-squared = 0.6403

——————-+——————————————— Adj R-squared = 0.6203

Total | .4 815 095 19 .2 534 261 Root MSE = .3 102

——————————————————————————————————————-;

sst | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]

——————-+———————————————————————————————-;

lnud1 | 11.2229 1.982 717 5.66 0.000 7.57 366 15.38 843

_cons | -1.38 311 .2 443 161 -4.25 0.000 -1.5516 -.5 250 216

——————————————————————————————————————-;

Durbin-Watson Statistic = 2.460 766

Проверка на автокорреляцию дает удовлетворительное значение статистики Дарбина-Уотсона 2,46 (автокорреляция отсутствует), так как, где (табличное значение). Это означает, что ошибки независимы между собой.

Построим график остатков регрессии от оцененной зависимой переменной:

. fit sst lnud1

Source | SS df MS Number of obs = 20

——————-+——————————————— F (1, 18) = 32.04

Model | .30 830 369 1 .30 830 369 Prob > F = 0.0000

Residual | .17 320 581 18 .962 254 R-squared = 0.6403

——————-+——————————————— Adj R-squared = 0.6203

Total | .4 815 095 19 .2 534 261 Root MSE = .3 102

——————————————————————————————————————-;

sst | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]

——————-+———————————————————————————————-;

lnud1 | 11.2229 1.982 717 5.66 0.000 7.57 366 15.38 843

_cons | -1.38 311 .2 443 161 -4.25 0.000 -1.5516 -.5 250 216

——————————————————————————————————————-;

. rvfplot, c (m)

Можно предположить наличие гетероскедастичноти, поскольку разброс значений остатков увеличивается с ростом значений себестоимости молока. Проверим этот факт с помощью теста Бреуша-Пагана:

. hettest

Cook-Weisberg test for heteroskedasticity using fitted values of sst

Ho: Constant variance

chi2(1) = 0.01

Prob > chi2 = 0.9328

Тест Бреуша-Пагана подтверждает наличие гетероскедастичности, потому что гипотеза о постоянстве дисперсий отклоняется.

Скорректируем стандартные ошибки по Навье-Весту, учитывая гетероскедастичность:

. newey sst lnud1, lag (0) force

Regression with Newey-West standard errors Number of obs = 20

maximum lag: 0 F (1, 18) = 60.26

Prob > F = 0.0000

——————————————————————————————————————-;

| Newey-West

sst | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]

——————-+———————————————————————————————-;

lnud1 | 11.2229 1.445 712 7.76 0.000 8.18 557 14.26 023

_cons | -1.38 311 .1 784 612 -5.82 0.000 -1.413 244 -.6 633 776

——————————————————————————————————————-;

Изменились доверительные интервалы для параметров переменных модели.

Итак, имеем модель: ,

(sst-себестоимость молока за 1 кг, руб) ;

lnud-логарифм удоя молока на среднегодовую корову, кг.

Себестоимость не зависит ни от расхода кормов на 1 корову, ни от удельного веса чистопородных коров в стаде. Выявлена обратная пропорциональность между себестоимостью молока и логарифмом удоя молока, а следовательно, и просто удоем молока. Стандартная ошибка переменной составляет 1.4457, а константы — 0.1785. Доверительный интервал? для??? переменной —? [?8.1856?;?14.2602?], для константы? -? [?-1.4132?;?-0.6634?].

Рассчитаем прогнозные значения показателей, когда уровень факторных показателей на 30% превышает средние величины исходных данных. Средний показатель удоя молока на среднегодовую корову равен 3476.5 кг. Превышение этого значения на 30% составляет 4519.45 кг. Прологарифмируя, получим: lnud = 8.416. Тогда, согласно модели, себестоимость при таком значении удоя молока составит 0,296 руб. за 1 кг.