Расчет статической характеристики

При известной стандартизирующей функции и функции Грина можно найти выходную функцию вычислением интеграла, представляющим собой основное соотношение, связывающее выход объекта при заданном начальном состоянии с входными воздействиями:

(1).

Выходная величина Q (x, t) находится как сумма четырёх составляющих:

Q (x, t)=Q₁(x, t)+Q₂(x, t)+Q₃(x, t)+Q₄(x, t), (2).

где Q₁(x, t), Q₂(x, t), Q₃(x, t), Q₄(x, t) находятся как:

Q₁(x, t) =; (3).

Q₂(x, t) =; (4).

Q₃(x, t)=; (5).

Q₄(x, t) = -. (6).

Получим:

Q (x, t)=Q₁(x, t)+Q₂(x, t)+Q₃(x, t)+Q₄(x, t)= + + +;

=.

=.

Если k=1.2:

₁(x, t) = ;

+ (8).

Q₂(x, t)==.

=.

При k=1.2:

Q₂(x, t)=.

(9).

Q₃(x, t)=.

Замена :

(10).

Q₃(x, t)=.

= (11).

Q₄(x, t) = ;

Замена.

(12).

Q₄(x, t)=.

(13).

Тогда выходная величина с учетом (8), (9), (11), (13) имеет решение:

Q (x, t)= ;

(14).

Выражение (14) является статической характеристикой нагрева стержня. Построим графики выходной распределенной величины в при t=0,1 © и t=1 (с):

Рисунок 1 — Температура стержня при t=0,1c.

Рисунок 2 — Температура стержня при t=1 c.

Расчет динамической характеристики

Динамическая характеристика находится по интегральной передаточной функции, которая рассчитывается как пространственная композиция от произведения континуальной передаточной функции на преобразованную по Лапласу стандартизирующую функцию с выделенным из нее входным воздействием. Так как стандартизирующая функция содержит входное воздействие f (x, t):

;(15).

; (16).

.

(17).

Интегральную передаточную функцию представим в виде:

. (18).

Слагаемые, и найдем как:

; (19).

Замена :

; (20).

Замена :

. (21).

Из уравнений (19), (20), (21) получим:

(22).

Для выбранной выходной переменной построим ЛАЧХ. При этом необходимо получить частотную форму записи передаточной функции (22), для чего произведем замену р=j.

(23).

Найдем ЛАЧХ по выражению:

. (24).

Для построения характеристики используем программу MathCad:

Рисунок 3 — График логарифмической амплитудно-частотной характеристики Аппроксимируя полученную ЛАЧХ ее стандартными типовыми наклонами получаем 0 дб/дек и +20 дб/дек, что соответствует форсирующему звену. Тогда передаточная функция будет иметь вид:

;(25).

найдем Т, при условии: T=1/ щ, где Т — период, с.

щ — частота аппроксимированной ЛАЧХ, Гц.

T=1/ щ= 1/0.4=2.5 ©.

График ЛАЧХ пересекает ось Y в точке 18, тогда усиление равно:

20lgk =-4.08, откуда k=10^-4.08/20=0.625 (26).

С помощью аппроксимации передаточная функция запишется в виде:

(27).

Моделирование стержня в среде Elcut

Смоделируем нагрев стержня при граничных условиях g₁=10, g₂=25. Построим двумерную модель стержня в виде прямоугольника длиной L=9м и высотой h=0.5 м, зададим значения граничных условий на ребрах модели и выберем свойства материала стержня (сталь 20). Решение задачи получим в виде цветовой шкалы, а также графика температуры:

Стержень нагревается от 283 до 298 К.