Построение и анализ многофакторной эконометрической модели

Условие задачи По статистическим данным для 9 предприятий общественного питания за год построить линейную двухфакторную модель, которая характеризует зависимость между уровнем рентабельности (%), относительным уровнем затрат оборота (%) и трудоемкостью предприятий. Прогнозные значения факторов выбрать самостоятельно. Сделать экономический анализ характеристик взаимосвязи.

Исходные данные.

№ п/п.	Рентабельность.	Затраты оборота.	Трудоемкость.
	2,32.	38,8.
	2,19.	39,9.	101,1.
	2,83.	30,1.	153,8.
	2,75.	31,7.
	2,59.	17,2.	124,8.
	2,27.	39,7.	103,6.
	2,05.	36,9.
	1,95.	38,2.	108,7.
	2,08.	40,1.	106,5.

Построение и анализ классической многофакторной линейной эконометрической модели Спецификация модели. Идентификация переменных Многофакторная линейная эконометрическая модель устанавливает линейную зависимость между одним показателем и несколькими факторами.

Y — рентабельность — результирующий показатель;

Х1 — затраты оборота — показатель-фактор;

Х2 — трудоемкость — показатель-фактор.

Таблица 5. Исходные данные и элементарные превращения этих данных для оценки модели.

№ п/п.	Y.	X1.	X2.	Y*X1.	Y*X2.	X1*X2.	Y*Y.	X1*X1.	X2*X2.
	2,32.	38,8.		90,016.	264,48.		5,382.	1505,44.
	2,19.	39,9.	101,1.	87,381.	221,41.		4,796.	1592,01.	10 221,2.
	2,83.	30,1.	153,8.	85,183.	435,25.		8,009.	906,01.	23 654,4.
	2,75.	31,7.		87,175.	401,5.		7,563.	1004,89.
	2,59.	17,2.	124,8.	44,548.	323,23.		6,708.	295,84.
	2,27.	39,7.	103,6.	90,119.	235,17.		5,153.	1576,09.
	2,05.	36,9.		75,645.	243,95.		4,203.	1361,61.
	1,95.	38,2.	108,7.	74,49.	211,97.		3,803.	1459,24.	11 815,7.
	2,08.	40,1.	106,5.	83,408.	221,52.		4,326.	1608,01.	11 342,3.
		312,6.	1077,5.	717,965.	2558,5.		49,94.	11 309,1.
Средн.	2,34.	34,733.	119,722.	79,7739.	284,28.		5,549.	1256,57.	14 646,1.

Оценка тесноты связи между показателем Y и факторами Х1 и Х2, а также межу факторами. (Диаграмма рассеяния)

Связь обратная.

Связь тесная прямая.

Прозноз.

1) Отношение Х1 и У.

r=-0,5.

2) Отношение Х1 и Х2.

r=-0,4.

3) Отношение У и Х2.

r=0,5.

Парные коэффициенты корреляции, корреляционная матрица Для оценки тесноты связи между показателем Y и факторами Х1 и Х2, а также между факторами вычисляем парные коэффициенты корреляции, а потом составляем корреляционную матрицу, учитывая ее особенности:

• — корреляционная матрица является симметричной;
• — на главной диагонали размещены единицы.

Парные коэффициенты корреляции вычисляем по формулам:

— среднее квадратическое отклонение показателя Y;

— среднее квадратическое отклонение фактора X1;

— среднее квадратическое отклонение фактора X2;

— дисперсия показателя Y;

— дисперсия показателя X1;

— дисперсия показателя X2;

— коэффициент ковариации признаков Y и Х1;

— коэффициент ковариации признаков Y и Х2;

— коэффициент ковариации признаков X1 и Х2;

Таблица 6. Расчет парных коэффициентов корреляции.

По формуле.	Мастер функций.
Дисперсия У.	Ср. кв. отклон. У.	Дисперсия У.	Ср. кв. отклон. У.
0,89 133 333.	0,298 552 061.	0,89 133 333.	0,298 552 061.
Дисперсия Х1.	Ср. кв. отклон. Х1.	Дисперсия Х1.	Ср. кв. отклон. Х1.
50,16 666 667.	7,8 284 312.	50,16 666 667.	7,8 284 312.
Дисперсия Х2.	Ср. кв. отклон. Х2.	Дисперсия Х2.	Ср. кв. отклон. Х2.
312,6 550 617.	17,68 205 479.	312,6 550 617.	17,68 205 479.
Ковариация УХ1.	Ковариация УХ1.
— 1,386 333 333.	— 1,386 333 333.
Ковариация УХ2.	Ковариация УХ2.
4,524 851 852.	4,524 851 852.
Ковариация Х1Х2.	Ковариация Х1Х2.
— 70,76 962 963.	— 70,76 962 963.

Коэффициенты парной корреляции

rух1.	— 0,655 601 546.	rух1.	— 0,655 601 546.
rух2.	0,857 139 597.	rух2.	0,857 139 597.
rух1×2.	— 0,565 075 617.	rух1×2.	— 0,565 075 617.

Корреляционная матрица.
	— 0,655 601 546.	0,857 139 597.
— 0,655 601 546.		— 0,565 075 617.
0,857 139 597.	— 0,565 075 617.

Коэффициенты частичной корреляции В многомерной модели коэффициенты парной корреляции измеряют нечистую связь между факторами и показателем. Поэтому при построении двухфакторной модели целесообразно оценить связь между показателем и одним фактором при условии, что влияние другого фактора не считается. Для измерения такой чистой связи вычисляют коэффициенты частичной корреляции.

Формула частичного коэффициента корреляции между признаками Хi и Xjимеет вид:

где — алгебраические дополнения соответствующих элементов корреляционной матрицы.

Во время построения двухфакторной модели коэффициенты частичной корреляции рассчитываются по формулам:

Для проверки полученных коэффициентов рассчитаем их матричным методом по формуле:

где — элементы матрицы обратной корреляционной матрицы R.

Таблица 7. Расчеты коэффициентов частичной корреляции.

По определению.	Матричный метод.
ryx1 (x2).	— 0,402 981 473.	— 0,402 981 473.
ryx2 (x1).	0,781 189 003.	0,781 189 003.
rx1x2 (y).	— 0,5 029 869.	— 0,5 029 869.
Корреляционная матрица, R.	Матрица, обратная корреляционной, C.
y.	x1.	x2.
y.		— 0,655 601 546.	0,857 139 597.	4,499 910 061.	1,13 212 031.	— 3,2 173 175.
x1.	— 0,655 601 546.		— 0,565 075 617.	1,132 120 315.	1,75 392 563.	0,2 071 546.
x2.	0,857 139 597.	— 0,565 075 617.		— 3,21 731 751.	0,2 071 546.	3,76 939 603.

Значения коэффициентов, полученные двумя методами, совпали.

Выводы о том, являются ли факторы ведущими и возможной мультиколлнеарности С помощью полученных корреляционной матрицы и коэффициентов частичной корреляции можно сделать выводы о значимости факторов и проверить факторы на мультиколлинеарность — линейную зависимость или сильную корреляцию.

• 1) Поскольку коэффициент парной корреляции между затратами оборота и рентабельностью rух1 = -0,655 601 546 и соответствующий коэффициент частичной корреляции ryx1 (х2) = - 0,402 981 473, это значит, что затраты оборота имеют обратное среднее влияние на рентабельность.
• 2) Поскольку коэффициент парной корреляции между трудоемкостью и рентабельностью rух2=0,857 139 597, а соответствующий коэффициент частичной корреляции rух2 (х1)= 0,781 189 003, то это свидетельствует о том, что трудоемкость существенно влияет на рентабельность.
• 3) Поскольку коэффициент парной корреляции между рентабельностью и затратами оборота = -0,565 075 617, а соответствующий коэффициент частичной корреляции rх1×2 (у) = -0,5 029 869 то можно сказать, что существует средняя обратная корреляционная зависимость.

Общий вид линейной двухфакторной модели и её оценка в матричной форме В общем виде многофакторная линейная эконометрическая модель записывается так:

В матричной форме модель и ее оценка будут записаны в виде:

и ,.

где У — вектор столбец наблюдаемых значений показателя;

У — вектор столбец оцененных значений фактора;

Х — матрица наблюдаемых значения факторов;

А — вектор столбец невидимых параметров;

А — вектор столбец оценок параметров модели;

е — вектор столбец остатков (отклонений).

2,32.	1,0.	38,8.
2,19.	1,0.	39,9.	101,1.
2,83.	1,0.	30,1.	153,8.
2,75.	1,0.	31,7.
Y=.	2,59.	X=.	1,0.	17,2.	124,8.
2,27.	1,0.	39,7.	103,6.
2,05.	1,0.	36,9.
1,95.	1,0.	38,2.	108,7.
2,08.	1,0.	40,1.	106,5.

1,0.	1,0.	1,0.	1,0.	1,0.	1,0.	1,0.	1,0.
Xtrans=.	38,8.	39,9.	30,1.	31,7.	17,2.	39,7.	36,9.	38,2.
114,0.	101,1.	153,8.	146,0.	124,8.	103,6.	119,0.	108,7.

Оценка параметров модели 1МНК в матричной форме

Предположим, что все предпосылки классической регрессионной модели выполняются и осуществим оценку параметров модели по формуле:

Алгоритм вычисления параметров модели Вычисляем матрицу моментов Xt*X, но сначала найдем транспонированную матрицу Хt.

1,0.	1,0.	1,0.	1,0.	1,0.	1,0.	1,0.	1,0.	1,0.
Xtrans=.	38,8.	39,9.	30,1.	31,7.	17,2.	39,7.	36,9.	38,2.	40,1.
114,0.	101,1.	153,8.	146,0.	124,8.	103,6.	119,0.	108,7.	106,5.

Xt*X.

	312,6.	1077,5.
312,6.	11 309,14.	36 788,2.
1077,5.	36 788,24.

Вычисляем матрицу ошибок

17,645 098.	— 0,201 192.	— 0,0881.
— 0,2 011 917.	0,3 254.	0,74.
— 0,880 866.	0,737.	0,52.

Находим матрицу-произведение Xt*Y.

21,03.

717,965.

2558,482.

Вычисляем вектор оценок параметров модели как произведение матрицы на матрицу Xt*Y.

По формуле.	Регрессия коэффициенты.
1,2 597 249.	а0.	У — пересечение.	1,25 972.
— 0,106 048.	а1.	Х1.	— 0,0106.
0,12 072.	а2.	Х2.	0,1 207.

Таким образом, оценка эконометрической модели имеет вид.

y=1,2 597 249−0,106 048+0,12 072×2.

Коэффициенты множественной детерминации и корреляции для оцененной модели Расчет коэффициентов множественной детерминации и корреляции Для оценки степени соответствия полученной модели наблюдаемым данным, то есть предварительной оценки адекватности модели, вычисляем коэффициенты множественной детерминации и множественной корреляции.

Коэффициент множественной корреляции является степень соответствия оцененной модели фактическим данным и рассчитывается как коэффициент корреляции между y и .

Квадрат коэффициента множественной корреляции называется коэффициентом множественной детерминации. Коэффициент множественной детерминации характеризует часть дисперсии показателя у, что объясняется регрессией, т. е. вариацией факторов, которые входят в модель:

Коэффициент множественной корреляции удобно рассчитывать как корень из коэффициента множественной детерминации, т. е.

Алгоритм вычисления коэффициентов множественной детерминации и корреляции:

• 1. Скопируем с итогового листа инструмента анализа Регрессия — Регрессия значения столбцов Предсказанное У и Остатки в таблицу 8.
• 2. Вычислим среднее значение у расчетного
• 3. В третий столбец введем формулу общих отклонений у-уср. и просчитаем ее для всех наблюдений.
• 4. Вычислим суммы квадратов общих отклонений и отклонений, которые не объясняются регрессией (остатков).

• 5. Вычислим коэффициент множественной детерминации .
• 6. Рассчитаем коэффициент множественной корреляции R.
• 7. Для проверки полученных коэффициентов скопируем с итогового листа Регрессия значения ячеек R-квадрат и Множественный R. Значения совпали.

Таблица 8. Расчет коэффициентов и.

Факт.	Предска-занное Y.	Остатки.	Y.	Y-Y.
2,48.	2,22 446.	0,955 378.	2,224 462.	— 0,0167.
2,62.	2,5 707.	0,1 329 312.	2,57 069.	— 0,1467.
2,88.	2,79 719.	0,328 127.	2,797 187.	0,4933.	По формуле.	Регрессия.
2,68.	2,68 606.	0,639 415.	2,686 058.	0,4133.	R-квадрат.
2,52.	2,5839.	0,60 977.	2,583 902.	0,2533.	0,78.	0,78.
2,74.	2,8 937.	0,1 806 303.	2,8 937.	— 0,0667.	Коеф. мн. корреляций.
2,56.	2,30 497.	— 0,254 971.	2,304 971.	— 0,2867.	0,88.	0,88.
2,68.	2,16 684.	— 0,2 168 438.	2,166 844.	— 0,3867.
2,55.	2,12 014.	— 0,401 364.	2,120 136.	— 0,2567.
2,3367.	2,3367.
0,17 827.	0,8022.

Разложение коэффициента множественной детерминации на коэффициенты отдельной детерминации Для определения доли влияния каждого фактора на показатель используют коэффициенты отдельной детерминации.

Коэффициентом отдельной детерминации для фактора называется произведение коэффициента корреляции между фактором и показателем У на стандартизованный параметр регрессии :

.

Сумма коэффициентов отдельной детерминации равняется коэффициенту множественной детерминации:

Во время анализа двухфакторной модели коэффициенты отдельной детерминации рассчитываются по формулам:

Теперь рассчитаем коэффициенты отдельной детерминации по этим формулам. Полученное значение совпало с тем, которое рассчитали ранее.

Таблица 9. Расчет коэффициентов отдельной детерминации.

d12	0,1649.
d22	0,6128.
R2	0,7778.

Предварительные выводы об адекватности модели С помощью полученных коэффициентов множественной детерминации, корреляции и отдельной детерминации можно сделать предварительные выводы об адекватности модели.

• 1) Поскольку коэффициент множественной детерминации R² = 0,7778, то это свидетельствует про то, что вариация общих затрат на предприятиях на 77,78% определяется вариацией затрат оборота и трудоемкостью и на 22,22% вариацией показателей, которые не учитываются в модели.
• 2) Поскольку коэффициенты отдельной детерминации d1=0,1649, то это свидетельствует о том, что вариация общих затрат на предприятиях на 16,49% определяется вариацией затрат оборота
• 3) Коэффициент множественной корреляции R² = 0,7778 характеризует сильную связь между общими затратами и факторами, которые их обуславливают.

Оценка дисперсионно-ковариационной матрицы оценок параметров модели Оценка дисперсии отклонений Вычислим оценку дисперсии отклонений по формуле.

.

где — сумма квадратов отклонений;

n — количество наблюдений;

m — количество факторов модели.

Полученное значение проверим копированием с итогового листа Регрессии значение ячейки Остаток с таблицы дисперсийного анализа. Значения совпали.

Таблица 10. Оценка дисперсии остатков.

По формуле.	Регрессия.
MS.
0,297 117.	Остаток.	0,297 117.

Расчет дисперсии и ковариации оценок параметров модели

Для получения оценок ковариаций и дисперсий оценок параметров модели необходимо сложить ковариационную матрицу по формуле:

Таблица 11. Оценка ковариационной матрицы оценок параметров модели.

17,6451.	— 0,201 192.	— 0,8 809.	0,5243.	— 0,006.	— 0,003.
0,297 117.	— 0,20 119.	0,32 538.	0,737.	— 0,006.	1E-04.	2E-05.
— 0,8 809.	0,7 365.	0,522.	— 0,0026.	2E-05.	2E-05.

Мы получили дисперсии оценок параметров модели, которые расположены по главной диагонали:

у =.	0,5243.	у =.	1E-04.	у =.	2E-05.

Вычисление стандартных ошибок параметров и выводы о смещенности оценок параметров модели.

Стандартные ошибки параметров модели рассчитаем по формуле, ,. Для получения стандартной ошибки оценки параметров а0 введем формулу возведения в степень 0,5. И аналогично получим стандартные ошибки оценок параметров а1 и а2. Для проверки полученных ошибок скопируем с итогового листа Регрессия значения ячеек столбца Стандартная ошибка. Значения совпали.

Сравним каждую стандартную ошибку с соответствующим значением оценки параметра с помощью формулы:

Таблица 12. Расчет стандартных ошибок оценок параметров модели. Выводы о смещении оценок параметров модели.

Регрессия.
По формуле.	Стандартная ошибка.	Выводы о смещённости оценок параметров модели.
0,72 406 211.	0,7 240 621.	57,47 779.	Оценка смещена.
0,983 242.	0,98 324.	— 92,717.	Оценка не смещена.
0,393 854.	0,39 385.	32,62 555.	Оценка смещена.

Проверка гипотез о статистической значимости оценок параметров модели на основе Fи t-критериев Проверка адекватности модели по критерию Фишера Проверку адекватности модели по критерию Фишера проведем по представленному алгоритму.

Шаг 1. Формулирование нулевой и альтернативной гипотез.

т. е. не один фактор модели не влияет на показатель.

Хотя бы одно значение отменно от нуля, т. е.

Шаг 2. Выбор соответствующего уровня значимости.

Уровнем значимости называется вероятность сделать ошибку 1-го рода, т. е. отвергнуть правильную гипотезу. Величина называется уровнем доверия или доверительной вероятностью.

Выбираем уровень значимости, т. е. доверительная вероятность — Р=0,95.

Шаг 3. Вычисление расчетного значения F-критерия.

Расчетное значение F-критерия определяется по формуле:

Для проверки полученного значения скопируем с итогового листа Регрессия расчетное значение F-критерия. Значения совпали.

Шаг 4. Определение по статистическим таблицам F-распределения Фишера критического значения F-критерия.

Критическое значение F-критерия находим по статистическим таблицам F-распределения Фишера по соответствующим данным:

доверительной вероятности Р=0,95;

степеней свободы.

Определяем табличное значение критерия =5,14.

Шаг 5. Сравнение расчетного значения F-критерия с критическим и интерпретация результатов.

Вывод о принятии нулевой гипотезы, т. е. об адекватности модели делаем с помощью встроенной логической функции ЕСЛИ.

Поскольку, то отвергаем нулевую гипотезу про незначимость факторов с риском ошибиться не больше чем на 5% случаев, т. е. с надежностью Р=0,95 можно считать, что принятая модель адекватна статистическим данным и на основе этой модели можно осуществлять экономический анализ и прогнозирование.

Проверка значимости оценок параметров модели по критерию Стьюдента Проверку гипотезы о значении каждого параметра модели проведем в соответствии с представленным алгоритмом.

Шаг 1. Формулирование нулевой и альтернативной гипотез.

— оценка j-го параметра является статистически незначимой, т. е. j-й фактор никак не влияет на показатель у;

— оценка j-го параметра является статистически значимой, т. е. j-й фактор влияет на показатель у.

Шаг 2. Выбор соответствующего уровня значимости.

Выбираем уровень значимости, т. е. доверительная вероятность — Р=0,95.

Шаг 3. Вычисление расчетного значения t-критерия.

Расчетное значение t-критерия определяется по формуле:

Во время анализа двухфакторной модели расчетные значения t-критерия определяются по формулам:

=-3,2333 =3,4264 =4,9937.

Для проверки полученного значения t-критерия скопируем с итогового листа Регрессия значения ячеек столбца t-статистика. Значения совпали.

Шаг 4. Определение по статистическим таблицам t-распределения Стьюдента критического значения t-критерия.

Критическое значение t-критерия находим по статистическим таблицам t-распределения Стьюдента по соответствующим данным:

доверительной вероятности Р=0,95;

степеней свободы.

Определяем табличное значение критерия =2,45.

Шаг 5. Сравнение рассчетного значения t-критерия с критическим и интерпритация результатов.

Выводы о принятии нулевой гипотезы, т. е. о значимости оценок параметров, и делаем с помощью встроенной логической функции ЕСЛИ. С надежностью Р=0,95 можно считать, что.

• — оценки 1-го и 2-го параметров модели значимые, т. е. оба фактора существенно влияют на показатель;
• — оценка 0-го параметра модели не является статистически значимой.

Таблица 13. Проверка гипотез о статистической значимости оценок параметров модели на основе Fи t — критериев.

F-критерий Фишера.
По формуле.	Регрессия.	Р=0.95.
F.	2,45.
10,4 997 302.	10,499 730.	Модель адекватна.

t-критерий Стьюдента.
По формуле.	Регрессия.	Р=0.95.
t-статистика.	5,14.
1,73 980 232.	1,739 802.	а0.	Параметр не значимый.
— 1,785 514.	— 1,7 855.	а1.	Параметр не значимый.
3,6 508 252.	3,6 508.	а2.	Параметр не значимый.

Построение интервалов доверия для параметров модели.

Интервалом доверия называется интервал, который содержит неизвестный параметр с заданным уровнем доверия.

Интервалы доверия для параметров находим аналогично процедуре тестирования нулевой гипотезы по t-критерию Стьюдента:

• — выбираем уровнем значимости =0,05 и соответственно уровень доверия будет составлять — Р=0,95;
• — для каждого параметра вычисляем нижнюю и верхнюю границы интервала доверия по формуле, при этом делаем абсолютную ссылку на табличное значение t-критерия :

где — стандартная ошибка параметров модели.

Для проверки полученных значений границ скопируем с итогового листа Регрессия значения ячеек столбцов Нижнее 95% и Верхнее 95%. Значения совпали.

Таблица 14. Доверительные интервалы для оценок параметров.

По формуле.	Регрессия.
Нижние 95%.	Верхние 95%.	Нижние 95%.	Верхние 95%.
— 0,5 119 912.	3,31 441.	— 0,511 991 215.	3,31 441 101.
— 0,3 466 383.	0,13 454.	— 0,34 663 831.	0,13 454 293.
0,243 469.	0,21 709.	0,243 469.	0,2 170 921.

Исходя из этого, 95% интервалы доверия для параметров модели имеют вид:

• -0,5 119 912?а0?3,31 441
• -0,3 466 383?а1?0,13 454
• 0,243 469?а2?0,21 709

Расчет прогнозного значения рентабельности на основании оцененной модели Так как оцененная модель является адекватной статистическим данным, то на основании этой модели можно осуществлять прогнозирование рентабельности для одного из предприятий объединения, деятельность которого исследовалась.

Точечный прогноз рентабельности Сделаем точечный прогноз рентабельности для одного из предприятий при условии того, что затраты оборота составят 7 г. о. и трудоемкость — 50 г. о., т. е., по формуле:

Хр
			1,25 972 494.
— 0,1 060 477.	2,297 243 652.
0,1 207 195.

Доверительный интервал для прогноза математического ожидания рентабельности Рассчитаем значения верхней и нижней границ прогнозного интервала, используя табл. значения критерия Стьюдента 2,45, по формуле:

Оценку дисперсий матожидания вычислим по формуле:

Интервальный прогноз матожидания рентабельности:

Стандартная ошибка матожидания.

0,524 265 941.	— 0,5 977 749.	— 0,26 172.
			— 0,5 977 749.	9,66765E-05.	2,18828E-05.
— 0,2 617 204.	2,18828E-05.	1,55121E-05.
0,16 690 155.	— 0,002.	— 0,716.		0,59 432 144.

Оценка дисперсионного прогноза