Корни Xi, Хг действительны и одного знака

Если корни Xi, Х2 действительны и одного знака, то коэффициенты преобразования действительны, и мы переходим от действительной плоскости х, у к действительной плоскости ?, т). Разделив второе уравнение системы (5.7) на первое, получим.

Интегрируя это уравнение, находим.

Условимся понимать под Х2 корень характеристического уравнения с большим модулем, что не нарушает общности рассуждений. Тогда, поскольку в рассматриваемом случае корни Xj, Х2 действительны и одного знака, г > 1, и мы имеем дело с интегральными кривыми параболического типа.

Все интегральные кривые (кроме оси Г), которой соответствует С = оо) касаются в начале координат оси ?, которая также является интегральной кривой уравнения (5.9). Начало координат является особой точкой.

Рис. 5.3. Особая точка типа «узел» на плоскости канонических координат 5, Г).

Выясним теперь направление движений изображающей точки вдоль фазовых траекторий. Если Xi, Х2 отрицательны, то |<;|, |т)| убывают с течением времени. Изображающая точка приближается к началу координат, никогда, однако, не достигая его. В противном случае это противоречило бы теореме Коши, которая утверждает, что через каждую точку фазовой плоскости проходит лишь одна фазовая траектория.

Такую особую точку, через которую проходят интегральные кривые, подобно тому, как семейство парабол у — сх'

(г > 0) проходит через начало координат, называют узлом (рис. 5.3).

Состояние равновесия типа «узел» при Xj, Х2 < 0 устойчиво по Ляпунову, так как изображающая точка по всем интегральным кривым движется по направлению к началу координат. Это устойчивый узел. Если же Х1Д2 > 0, то |$|, |т]| возрастают с течением времени и изображающая точка удаляется от начала координат. В этом случае особая точка — неустойчивый узел.

На фазовой плоскости х, у общий качественный характер поведения интегральных кривых сохранится, но касательные к интегральным кривым не будут совпадать с осями координат. Угол наклона этих касательных будет определяться соотношением коэффициентов а, р, у, 8 в преобразовании (5.8).