Непрерывность и иррациональные числа. 
Сечения Дедекинда

Реферат на тему:

" Непрерывность и иррациональные числа. Сечения Дедекинда"

Студентки 408 группы 4 курса механико-математического факультета МГУ им. Ломоносова Мильчевской Владиславы Юрьевны Москва

1. История иррациональности до Дедекинда

2. Рассуждения Дедекинда

2.1 Рациональные числа и рациональные точки на числовой прямой

2.2 Непрерывность области вещественных чисел или неявное понятие точной верхней грани

2.3 Вычисления с вещественными числами

2.4 Анализ бесконечно малых или «о переменных величинах, о функциях, о пределах»

3. Дальнейшее развитие теории Список используемой литературы иррациональный арифметический число дедекинд

1. История иррациональности

" Открытие" иррациональных чисел само по себе — неоднозначный с исторической точки зрения факт. Неоднозначный в том смысле, что неясно, кто же «открыл» их первым. Считается, что неявным образом иррациональность была воспринята уже в 750−690гг. до н.э. в Индии, когда местный математик Манава выяснил, что квадратные корни некоторых натуральных чисел, таких как 2 и 61, не могут быть явно выражены.

Первое доказательство существования иррациональных чисел приписывают пифагорейцу Гиппасу из Метапонта (примерно 500гг. до н. э.), который нашел это доказательство, изучая длины сторон пентаграммы. Пифагорейцы считали, что существует некоторая малая неделимая единица длины, которой, неформально говоря, можно все измерить (то есть, она входит в любой отрезок целое число раз). Однако Гиппас на примере гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника показал, что это не так. Доказательство следующее:

§ Отношение длины гипотенузы к длине катета равнобедренного прямоугольного треугольника может быть выражено как a: b, где a и b выбраны наименьшими из возможных.

§ По теореме Пифагора a? = 2b?.

§ Так как a? четное, a должно быть четным (так как квадрат нечетного числа был бы нечетным).

§ Поскольку a: b несократима, b обязано быть нечетным.

§ Так как a четное, обозначим a = 2y.

§ Тогда a? = 4y? = 2b?.

§ b? = 2y?, следовательно b? четное, тогда и b четно.

§ Однако было доказано, что b нечетное. Противоречие.

Это отношение впоследствии было названо невыразимым (отношение несоизмеримых величин). Существует известная легенда, что другие пифагорейцы выбросили Гиппаса за борт (считают, что свое открытие он совершил во время морского похода) за «создание элемента вселенной, который отрицает доктрину, что все сущности во вселенной могут быть сведены к целым числам и их отношениям». Однако смерть математика не прервала надолго изучение греками иррациональностей, хотя и поставила перед пифагорейцами серьезную проблемы, разрушив предположение о неразделимости чисел и геометрических объектов.

Феодор Киренский (конец V — начало VI века до н.э.) доказал иррациональность корней из натуральных чисел от 1 до 17, исключая 1, 4, 9 и 16. На этом он остановился, так как имеющаеся в его распоряжении алгебра не позволяла доказать иррациональность корня из 17. Предположительно, он, как и Гиппас, для своих доказательств пользовался пифагорейской теорией четных и нечетных чисел. Позже Евдокс Книдский развил теорию пропорций, которая принимала во внимание как рациональные, так и иррациональные отношения. Величина в его теории стала считаться не числом, а обозначением сущностей, таких как отрезки прямых, углы, площади, объемы, промежутки времени — которые могут меняться непрерывно в современном понимании этих слов. Числа же могли меняться лишь скачками (от 4 к 5, например). Убрав из уравнений количественные значения (никакое количественное значение не сопоставлялось величине), Евдокс при определении дроби смог охватить как отношения соизмеримых величин, так и несоизмеримых, и тем самым избежал ловушки, состоящей в необходимости назвать иррациональную величину числом. Его теория дала греческим математикам необходимое логическое обоснование для работы с несоизмеримыми и позволила совершить огромный прогресс в геометрии.

Средние века ознаменовались принятием таких понятий как нуль, отрицательные числа, целые и дробные числа. Арабские математики первыми стали считать отрицательные числа алгебраическими объектами наряду с положительными, что положило начало развитию алгебры. Они также соединили древнегреческие понятия «величины» и «числа» в единую, более общую идею вещественных чисел. Персидский математик Аль Махани (примерно 800 гг. н.э.) в своих комментариях к Десяти Элементам Евклида исследовал и классифицировал квадратичные и кубические иррациональности. Он также ввел арифметический подход к множеству иррациональных чисел:

" результат сложения иррациональной величины и рациональной, результат вычитания рациональной величины из иррациональной, результат вычитания иррациональной величины из рациональной."

Египетский математик Абу Камил (ок. 850 г. н. э. — ок. 930 г. н. э.) был первым, кто счел приемлемым признать иррациональные числа решением квадратных уравнений или коэффициентами в уравнениях — в основном, в виде квадратных или кубических корней, а также корней четвёртой степени. В X веке иракский математик Аль Хашими вывел общие доказательства (а не наглядные геометрические демонстрации) иррациональности произведения, частного и результатов иных математических преобразований над иррациональными и рациональными числами. Ал Хазин (900 г. н. э. — 971 г. н. э.) приводит следующее определение рациональной и иррациональной величины:

Пусть единична величина содержится в данной величине один или несколько раз, тогда эта [данная] величина соответствует целому числу… Каждая величина, которая составляет половину, или треть, или четверть единичной величины, или, сравненная с единичной величиной составляет три пятых от нее, это рациональная величина. И в целом, всякая величина, которая относится к единичной как одно число к другому, является рациональной. Если же величина не может быть представлена как несколько или часть (l/n), или несколько частей (m/n) единичной длины, она иррациональная, то есть невыразимая иначе как с помощью корней.

Многие из этих идей были позже переняты европейскими математиками после перевода на латынь арабских текстов в XII веке. Аль Хассар, арабский математик из Магриба, специализировавшийся на исламских законах о наследстве, в XII веке ввел современную символьную математическую нотацию для дробей, разделив числитель и знаменатель горизонтальной чертой. Та же нотация появилась затем в работах Фибоначчи в XIII веке. В течение XIV—XVI вв. Мадхава из Сангамаграмы и представители Карельской школы астрономии и математики исследовали бесконечные ряды, сходящиеся к некоторым иррациональным числам, например, к р, а также показали иррациональность некоторых тригонометрических функций. Джестадева привел эти результаты в книге Йуктибхаза.

В XVII веке в математике прочно укрепились комплексные числа, вклад в изучение которых внесли Абрахам де Муавр (1667—1754) и Леонард Эйлер (1707—1783). Когда теория комплексных чисел в XIX веке стала замкнутой и чёткой, стало возможным классифицировать иррациональные числа на алгебраические и трансцендентные (доказав при этом существование трансцендентных чисел), тем самым переосмыслив работы Евклида по классификации иррациональных чисел. По этой теме в 1872 были опубликованы работы Вейерштрасса, Гейне, Кантора и Дедекинда. Хотя ещё в 1869 году Мерэ начал рассмотрения, схожие с Гейне, именно 1872 год принято считать годом рождения теории. Вейерштрасс, Кантор и Гейне обосновывали свои теории при помощи бесконечных рядов, в то время как Дедекинд работал с (ныне так называемым) Дедекиндовым сечением множества вещественных чисел, разделяя все рациональные числа на два множества с определёнными характеристическими свойствами. Это разделение мы и будем сейчас рассматривать.

2. Рассуждение Дедекинда Сам Дедекинд утверждает, что его рассуждения относятся к осени 1858 года, когда он, будучи профессором Союзного Политехникума в Цюрихе, впервые вынужден был излагать студентам элементы дифференциального исчисления, и при этом столкнулся с отсутствием действительно научного обоснования арифметики. Для объяснения того, что мы сейчас называет конечными пределами (в данном случае имеются в виду пределы числовых последовательностей), он использовал для наглядности геометрические рассуждения и иллюстрации. Однако, этот способ изучения дифференциального исчисления, с его точки зрения, не может претендовать на научность.

В связи с этим Дедекинд решил найти строгое и чисто арифметическое обоснование для начал анализа бесконечных, а именно, для основного понятия этого раздела — непрерывности. Сам ученый утверждает, что открыл настоящее арифметическое объяснение 24 ноября 1858 года, но решился опубликовать его только после прочтения статьи ученого Гейне, (E. Heine, Crelle’s Journal. Bd. 74), так как изложение самого Дедекинда показалось ему более «простым по форме и более точно выдвигающим настоящее ядро вопроса.»

2.1 Рациональные числа и рациональные точки на числовой прямой Перейдем к описанию некоторых свойств рациональных чисел. Они, безусловно, хорошо известны были и до Дедекинда, и нет непосредственной необходимости определять их заново, однако, это нужно для полного и строгого описания системы. Дедекинд обозначает рациональные числа буквой «R», мы будем придерживаться того же обозначения, хотя в современной математике под множеством «R» обычно подразумевают все действительный числа.

С точки зрения сравнения рациональных чисел (,, , при этом мы понимаем как) система R обладает следующими свойствами:

· Если,, то .

Как говорит Дедекинд, «не опасаясь отголоска геометрических представлений, будем это выражать так: b лежит между обоими числами a и c», при этом речь не идет о геометрической интерпретации, а только о словесном обозначении этого свойства.

· Если a и b суть два различных числа, то всегда существует бесконечное множество чисел, лежащих между a и b.

· Если, а есть определенное число, то все числа системы R распадаются на два класса и, каждый из которых содержит бесконечно много индивидуумов (здесь: рациональных чисел). Класс — числа, меньшие а, класс — большие. Само число, а может быть отнесено к любому из двух классов. Тогда оно является либо наибольшим числом в первом классе, либо наименьшим во втором. В любом случае, каждое число первого класса не больше любого числа из второго.

Такие свойства рациональных чисел можно легко ассоциировать с расположение точек на прямой (прямую обозначим через L). Я позволю себе не переписывать, как это сделал Дедекинд, аналогичные свойства для точек, замечу только, что, если все слова «число, а больше числа b» заменить на «точка, а лежит правее точки b», то искомые свойства получатся.

Однако это всего лишь свойства двух систем, и, как известно, отождествить их нельзя. Квадратный корень из двух, например, не является рациональным числом, но как длину диагонали квадрата со стороной единица, его, конечно, можно отложить на действительной прямой. И точек, не соответствующих никакому рациональному числу? на прямой бесконечно много (домножим корень и двух на любое рациональное). Для того, чтобы область R приобрела ту же полноту, что я прямая, ее нужно дополнить новыми числами, но тогда иррациональные числа должны бить определены посредством рациональных, как пишет Дедекинд. В сущности, система R от прямой L отличается «дырками», то есть, R не непрерывна. Нам же надо четко определить, что такое непрерывность. Для этого заметим, что каждая точка р прямой L производит разбиение этой прямой на два множества: слева и справа от точки p. Также, очевидно, если все точки прямой распадаются на два класса такого рода, то существует единственная точка p, их разделяющая. Дедекинд не доказывает этот принцип и утверждает, что никто его доказать не в состоянии, поэтому единственный выход — принять его достаточно ясным и использовать. Также отметим, что, в принципе, точка p задает два сечения Дедекинда: в зависимости от того, куда входит сама точка, — но мы не будем их отличать, и назовем несущественно различными. Убедимся, что существует бесконечное множество сечений, которые не могут быть произведены рациональным числом. Пусть D — положительное целое число, но не квадрат другого целого, тогда существует такое число, что В качестве класса возьмем все положительные рациональные числа, такие, что их квадрат больше D, в качестве, очевидно, будут все отрицательные рациональные и положительные рациональные числа, такие, что их квадрат меньше D. Это сечение не производится, очевидно, никаким рациональным числом. Позволю себе не приводить доказательство этого факта, относящегося к элементарным рассуждениям теории чисел.

Таким образом получается, что в классе нет наименьшего числа (речь о рациональных), а в — наибольшего. В том свойстве, что не все сечения производятся рациональными числам, и есть «неполнота» и разрывность этой области (в этой статье мы вслед за Дедекиндом позволяем себе называть областью множество рациональных чисел). Всякий раз, когда нам дано сечение, которое не может быть порождено рациональным числом, мы создаем новое иррациональное число. Существенно различные сечения мы определяем по тому, есть ли в них различные элементы, то есть такие, которые для одного сечения принадлежат к первому классу (где числа «меньше»), а для другого — ко второму. Однако это еще не точное определение: если такое число единственно, оно автоматически является наибольшим в первом классе одного сечения и наименьшим во втором классе другого. В этом случае, как мы уже определяли, сечения несущественно различны. Таким образом, существенно различными сечениями назовем те, в которых есть как минимум два различных элемента в несоответствующих классах. Благодаря тому, что существенно различным сечениям соответствуют различные числа в случае рациональных, в случае иррациональных мы может предположить то же по определению. Если отвлечься от терминологии Дедекинда и, присмотревшись, увидеть в таких сечениях смысл супремума или инфимума — точной верхней и нижней граней соответственно, — можно заключить, что наше предположение оправдано и правдоподобно. Из двух различных иррациональных чисел теми же очевидными рассуждениями с помощью сечений одно всегда оказывается больше, а другое меньше. Здесь надо отметить, что различные рациональные числа изначально у нас определялись по-другому (через понятие разности, которая должна была быть больше или меньше нуля).

2.2 Непрерывность области вещественных чисел или неявное понятие точной верхней грани Определив на вещественных числах — - отношение «больше-меньше», теперь мы можем утверждать, что полученная система, как пишет Дедекинд, «образует правильно распределенную область одного измерения». Под этими словами автор подразумевает следующее:

Доказательство вытекает непосредственно из определений предыдущих параграфов.

Дедекинд пишет: «Кроме этих свойств [три свойства из определения правильно распределенной области одного измерения] область обладает еще непрерывностью, то есть имеет место следующее предположение:

На этом месте стоит остановиться подробнее. Сам Дедекин неоднократно в своей статье отмечал, что строгого понятия непрерывности ему еще не было известно, и это дедало дальнейшее развитие анализа так называемыми рассуждениями «на пальцах». По сути, в пункте IV дано определение точной верхней (и одновременно нижней) грани, и за аксиому взят тот факт, что верхняя (или нижняя) грань единственна. В том курсе анализа, который читается сейчас, это утверждение доказывают, исходя, правда, из другого, как мне кажется, более наглядного определения точной верхней грани. Здесь же обычное определение неявно присутствует, но о том, что иррациональные числа могут быть получены как предел или супремум ограниченной последовательности рациональных, четко нигде не написано.

Эта, с моей точки зрения, основная мысль статьи Дедекинда, однако, не была так легко сформулирована в начале статьи из-за отсутствия устоявшейся аксиоматики в то время. Как строго объяснить начала анализа и создать четкую теорию вещественных чисел, предлагали многие: и Вейерштрасс, и Гейне, и Кантор, и Ш. Мере. Но сам Дедекинд отмечает, что в 1874 году к нему в руки попала статья Гейне, в которой объяснялась точка зрения автора на теорию вещественных чисел. Однако, сочтя изложение в статье более сложным, чем свое собственное, Дедекинд печатает рассматриваемое здесь рассуждение о сечениях.

Стоит отметить, однако, что в случае непрерывности изложение Дедекинда просто и легко доказывается. Приведу доказательство без изменений:

2.3 Вычисления с вещественными числами Намного сложнее обстоит дело с правилами вычисления для вещественных чисел. Чтобы задать вычисления с вещественными числами, то есть, свести их к вычислениям с рациональными, надо определить сечения, соответствующие данным вычислениям. Рассмотрим на примере простейшей арифметической операции — сложения.

Если с есть какое-либо рациональное число, то ты отнесем его к классу, если существуют два числа из и из, такие, что. Все остальные числа отнесем к классу. Это подразделение всех рациональных чисел на два класса образует сечение (,). Суммой двух чисел и, породивших соответственно разбиения и, назовем число, породившее разбиение (,). Аналогично определяются сложение, умножение и деление.

Таким образом Дедекинд пришел к тому действительному доказательству теорем и равенств, таких как, например,, которые раньше, по его мнению, строго доказаны не были.

Доказательство различных арифметический свойств, верных для рациональный чисел, также необходимо перенести на случай всех вещественных. Например, простейшее равенство вызывает опасение, что для его доказательства в случае любых действительных чисел придется делать массу отступлений (например, определять различные интервалы между вещественными числами) и производить операции с разного рода сложными структурами. Однако, это не совсем так. Дедекинд в качестве решения подобной проблемы утверждает, что непрерывностью обладают сами операции, и приводит это в форме общей теоремы, которую я позволю себе процитировать:

2.4 Анализ бесконечно малых или «о переменных величинах, о функциях, о пределах»

Из приведенной в предыдущем пункте цитаты видно, что язык пределов и функций в целом более удобен, чем предложенный Дедекиндом язык сечений. В следующей главе математик доказывает основные определения и теоремы из теории пределов, основываясь на построенной теории. Дав знакомое нам определение предела, Дедекинд доказывает следующее утверждение: «Если величина х возрастает постоянно, но не сверх всяких границ, то она стремится к некоторому пределу». Нам это известно как теорема о сходимости монотонной ограниченной последовательности.

Также, в статье приведено объяснение утверждения, которое в анализе читается как эквивалентность определений по Коши и по Гейне. Вот оно:

На этом автор останавливается.

С моей точки зрения, аппарат пределов, функций и точных граней несколько удобнее для практических целей, нежели теория сечений Дедекинда. Возможно, поэтому в современной математике им пользуются. Однако можно с уверенностью сказать, что человеку, привыкшему к определенной устоявшейся точке зрения, нелегко судить объективно. Несомненно, вклад Дедекинда в развитие математики велик, и было бы верхом неучтивости пытаться его приуменьшить.

3. Дальнейшее развитие теории В этом разделе я приведу не свое мнение насчет того, как именно изобретение немецкого ученого повлияло на ход математических рассуждений в мире, а скорее кратко повторю мнение переводчика, профессора С. О. Шатуновского, благодаря которому у меня была возможность читать статью по-русски.

Шатуновский отмечает, что, хотя это и не обозначено в статье явно, теория рациональных чисел строится на знаках, под которыми подразумеваются определенные смыслы, отражающие понятие числа. Говоря лингвистическим языком, в каждый конкретный знак или символ мы можем вложить любое денотативное значение. В тот момент, когда появляются новые смыслы, расширяется и система знаков. Так, когда стало недостаточно натуральных чисел и понадобилось вложить новое свойство в числовую систему — растянутость в обе стороны — придумали обозначать отрицательные числа знаком минус перед знаком числа. Новые символы ввели для обозначения дробей, и так далее.

Если сформулировать эту идею в более общем виде, расширяя ту или иную систему, мы «заполняет пустые места». Всякий раз, когда появляются новые свойства, их приходится описывать новыми объектами или знаками; и это тот самый фундамент, на котором, как мне кажется, должны держаться новые построения.

Создавать нечто, чего еще не было, и тем более, дополнять уже работающую, функциональную систему — опасное начинание. Важно, например, заполнить не все пустые места, или другая трудность: новая система может перестать обладать некоторыми свойствами предыдущей. В этом смысле подход Дедекинда наиболее естественный и наглядный. Во всех случаях, когда «не хватало» рациональных чисел, появились иррациональные, и система стала полна в том смысле, что для нее верно свойство непрерывности.

В качестве приложения к переводу статьи Дедекинда Шатуновский приводит доказательство Кантора существования трансцендентных чисел, как бы показывая тем самым, что это следующая ступень развития той же системы.

На меня это фундаментальное замечание переводчика и тот способ, которым Дедекинд расширил систему рациональных чисел, произвело большое впечатление. Сначала заметив только недостатки в сложной структуре сечений, каждое из которых имело два класса (когда можно было бы обойтись одним и говорить о точных верхних или нижних гранях), теперь я осознаю, что, именно так заданная, она наиболее наглядно демонстрирует тот факт, что наша главная задача — правильно расширить систему.

Список используемой литературы

· Р. Дедекинд, Непрерывность и иррациональные числа, Одесса 1923

· Википедия, статьи «Иррациональность», «Предел», «Вещественное число», «Дедекинд, Юлиус Вильгельм Рихард», «Гейне, Генрих»

· Лекции по истории математики, мехмат.