Несинусоидальные периодические напряжения и токи в линейных электрических цепях

Санкт-Петербургский государственный политехнический университет Институт энергетики и транспортных систем Кафедра «Теоретические основы электротехники»

Расчетное задание

по дисциплине «Теоретические основы электротехники»

Несинусоидальные периодические напряжения и токи в линейных электрических цепях

Выполнил студент гр. 23 211/1 Цуркан К.В.

Руководитель Е. А. Бобков Санкт-Петербург

На входе цепи действует периодическое напряжение

Рис. 1.График входного сигнала Здесь х=12(номер расчетного задания), соответственно Um=600 В, Т=0.02 с.

Необходимо отметить, что предложенное tимп=0.05Tx, было заменено на tимп=0.02Tx, чтобы избежать сигналов, которые невозможны.

Зададим значения сопротивлений резисторов, емкости конденсаторов и индуктивности катушек для цепи:

1)R1=10 Ом, R2=20 Ом, R3=80 Ом, R4=30 Ом, R5=40 Ом, R7=60 Ом, R9=70 Ом;

2)С1=1 нФ, С5=5 нФ, С8=3 нФ, С10=9 нФ, С11=7 нФ;

3)L2=5 нГн, L3=10нГн, L6=15 нГн, L7=20нГн, L8=25 нГн.

Из графика входного сигнала имеем:

Решение задачи представим отдельными этапами, и все расчеты будут сделаны с помощью математического пакетаMatCad.

Этап 1. Разложение периодической функции входного напряжения u (t) в ряд Фурье.

Постоянная составляющая ряда Фурье равна:

В функция фурье напряжение ток Для определения амплитуды и начальной фазы к-ой гармоники вначале получаем выражения для вычисления коэффициентов и :

Для к-й гармоники частоты находим:

Результаты этих вычислений для нескольких гармоник сведены в таблице№ 1

Обращаясь к графику сигнала входного напряжения можно сделать вывод о наличии симметрии кривой относительно оси абсцисс, при которой выполняется условие:

Таким образом, ряд Фурье не содержит постоянной составляющей и четных гармоник, так как для них не удовлетворяется приведенное ранее условие симметрии. По этой причине нужно рассчитать всего 10 гармоник.

Рис. 2.Дискретный спектр амплитуд входного напряжения

В соответствии с условием задачи заданное напряжение заменяем приближенным напряжением с учетом десяти членов ряда Фурье

где Для сравнения с графиком входного напряжения на рисунке № 3 представлена кривая напряжения при учете первых десяти нечетных гармоник:

Их 1 и 3 рисунков видно, что графики входного напряжения практически совпадают.

Этап 2. Расчет гармонических составляющих токов при действии на входе цепи напряжения из 10 составляющих.

Рис. 3.График изменения входного напряжения в течение одного периода Рис. 4.Исходная схема Согласно принципу наложения, наш этап распадается на подэтапы расчета токов для каждой гармоники в отдельности. Для ясности, будем эти подэтапы выделять указанием угловой частоты соответствующей гармоники.

Расчет будем проводить, основываясь на законах Киргофа и комплексном методе. Запишем комплексные сопротивления в общем виде:

1).

Как видно из предыдущих выкладок, постоянная составляющая напряжения равна 0, соответственно и ток равен 0 .

2). Определение реакции цепи от воздействия первой гармоники напряжения.

В В

Преобразуем цепь и составим уравнения по законам Киргофа.

По первому закону Киргофа составим q-1=5−1=4 уравнения:

1) —=0

2) + I2+ - - - - - - =0

3) I5+ I6- I4=0

5) I9+ I10- I8=0

ПовторомузаконуКиргофасоставимp-q=1=11−5+1=7 уравнений:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

Рис. 5.Эквивалентная схема

Полученную систему уравнений рассчитаем с помощью умножения матриц:

Получили токи и их действующие значения для каждой ветви:

Сделаем проверку баланса мощностей. Полная мощность равна:

ВА Активная мощность:

Вт Реактивная мощность:

Видим, что баланс мощностей выполняется. Далее выполним расчет мгновенных значений токов и напряжений.

Соответственно токи запишутся в следующем виде:

Расчет мгновенных напряжений.

Найдем действующие и амплитудные значения напряжений:

Рассчитаем начальные фазы для каждого напряжения:

В итоге имеем:

В;

В;

В;

В;

В;

В;

В;

В;

В;

В;

В;

3). Определение реакции цепи от воздействия третьей гармоники напряжения.

Далее все расчеты будут аналогичными предыдущим, поэтому приведем только расчет токов и напряжений для каждой гармоники, без записи уравнений Киргофа.

В В

Токи и их действующие значения для каждой ветви:

Сделаем проверку баланса мощностей. Полная мощность равна:

ВА

Активная мощность:

Вт Реактивная мощность:

Видим, что баланс мощностей выполняется. Далее выполним расчет мгновенных значений токов и напряжений.

Соответственно токи запишутся в следующем виде:

Расчет мгновенных напряжений.

Найдем действующие и амплитудные значения напряжений:

Рассчитаем начальные фазы для каждого напряжения:

В итоге имеем:

В;

В;

В;

В;

В;

В;

В;

В;

В;

В;

В;

4). Определение реакции цепи от воздействия пятой гармоники напряжения.

В В

Токи и их действующие значения для каждой ветви:

Сделаем проверку баланса мощностей. Полная мощность равна:

ВА

Активная мощность:

Вт Реактивная мощность:

Видим, что баланс мощностей выполняется. Далее выполним расчет мгновенных значений токов и напряжений.

Соответственно токи запишутся в следующем виде:

Расчет мгновенных напряжений.

Найдем действующие и амплитудные значения напряжений:

Рассчитаем начальные фазы для каждого напряжения:

В итоге имеем:

В;

В;

В;

В;

В;

В;

В;

В;

В;

В;

В;

5). Определение реакции цепи от воздействия седьмой гармоники напряжения.

В В

Токи и их действующие значения для каждой ветви:

Сделаем проверку баланса мощностей. Полная мощность равна:

ВА

Активная мощность:

Вт Реактивная мощность:

Видим, что баланс мощностей выполняется. Далее выполним расчет мгновенных значений токов и напряжений.

Соответственно токи запишутся в следующем виде:

Расчет мгновенных напряжений.

Найдем действующие и амплитудные значения напряжений:

Рассчитаем начальные фазы для каждого напряжения:

В итоге имеем:

В;

В;

В;

В;

В;

В;

В;

В;

В;

В;

В;

6). Определение реакции цепи от воздействия девятой гармоники напряжения.

В В

Токи и их действующие значения для каждой ветви:

Сделаем проверку баланса мощностей. Полная мощность равна:

ВА Активная мощность:

Вт Реактивная мощность:

Видим, что баланс мощностей выполняется. Далее выполним расчет мгновенных значений токов и напряжений.

Соответственно токи запишутся в следующем виде:

Расчет мгновенных напряжений.

Найдем действующие и амплитудные значения напряжений:

Рассчитаем начальные фазы для каждого напряжения:

В итоге имеем:

В;

В;

В;

В;

В;

В;

В;

В;

В;

В;

В;

7). Определение реакции цепи от воздействия одиннадцатой гармоники напряжения.

В В

Токи и их действующие значения для каждой ветви:

Сделаем проверку баланса мощностей. Полная мощность равна:

ВА Активная мощность:

Вт Реактивная мощность:

Видим, что баланс мощностей выполняется. Далее выполним расчет мгновенных значений токов и напряжений.

Соответственно токи запишутся в следующем виде:

Расчет мгновенных напряжений.

Найдем действующие и амплитудные значения напряжений:

Рассчитаем начальные фазы для каждого напряжения:

В итоге имеем:

В;

В;

В;

В;

В;

В;

В;

В;

В;

В;

В;

8). Определение реакции цепи от воздействия тринадцатой гармоники напряжения.

В В

Токи и их действующие значения для каждой ветви:

Сделаем проверку баланса мощностей. Полная мощность равна:

ВА Активная мощность:

Вт Реактивная мощность:

Видим, что баланс мощностей выполняется. Далее выполним расчет мгновенных значений токов и напряжений.

Соответственно токи запишутся в следующем виде:

Расчет мгновенных напряжений.

Найдем действующие и амплитудные значения напряжений:

Рассчитаем начальные фазы для каждого напряжения:

В итоге имеем:

В;

В;

В;

В;

)В;

В;

В;

В;

В;

В;

В;

9). Определение реакции цепи от воздействия пятнадцатой гармоники напряжения.

В В

Токи и их действующие значения для каждой ветви:

Сделаем проверку баланса мощностей. Полная мощность равна:

ВА Активная мощность:

Вт Реактивная мощность:

Видим, что баланс мощностей выполняется. Далее выполним расчет мгновенных значений токов и напряжений.

Соответственно токи запишутся в следующем виде:

Расчет мгновенных напряжений.

Найдем действующие и амплитудные значения напряжений:

Рассчитаем начальные фазы для каждого напряжения:

В итоге имеем:

В;

В;

В;

В;

)В;

В;

В;

В;

В;

В;

В;

10). Определение реакции цепи от воздействия семнадцатой гармоники напряжения.

В В

Токи и их действующие значения для каждой ветви:

Сделаем проверку баланса мощностей. Полная мощность равна:

ВА Активная мощность:

Вт Реактивная мощность:

Видим, что баланс мощностей выполняется. Далее выполним расчет мгновенных значений токов и напряжений.

Соответственно токи запишутся в следующем виде:

Расчет мгновенных напряжений.

Найдем действующие и амплитудные значения напряжений:

Рассчитаем начальные фазы для каждого напряжения:

В итоге имеем:

В;

В;

В;

В;

)В;

В;

В;

В;

В;

В;

В;

10). Определение реакции цепи от воздействия деветнадцатой гармоники напряжения.

В В

Токи и их действующие значения для каждой ветви:

Сделаем проверку баланса мощностей. Полная мощность равна:

ВА Активная мощность:

Вт Реактивная мощность:

Видим, что баланс мощностей выполняется. Далее выполним расчет мгновенных значений токов и напряжений.

Соответственно токи запишутся в следующем виде:

Расчет мгновенных напряжений.

Найдем действующие и амплитудные значения напряжений:

Рассчитаем начальные фазы для каждого напряжения:

В итоге имеем:

В;

В;

В;

В;

)В;

В;

В;

В;

В;

В;

В;

Этап 3. Построение графиков изменения входных напряжения и тока течение одного периода в 1 ветви.

Представим графики тока и напряжения в 1 ветви на нескольких графиках.

Рис. 6.График тока в 1 ветви, представленный через 1,3,5 гармоники.

Рис. 7.График тока в 1 ветви, представленный через 7,9,11 гармоники Рис. 8.График тока в 1 ветви, представленный через 13,15,17 гармоники Рис. 9.График тока в 1 ветви, представленный через19гармонику и суммарный ток Рис. 10.График напряжения в 1 ветви, представленный через 1,3,5 гармоники Рис. 11.График напряжения в 1 ветви, представленный через 7,9,11 гармоники Рис. 12.График напряжения в 1 ветви, представленный через 13,15,17 гармоники Рис. 13.График напряжения в 1 ветви, представленный через 19 гармонику и суммарное напряжение