Прямоугольный диэлектрический волновод

1. Теория диэлектрического прямоугольного волновода

2. Решение основных уравнений

3. Полученные результаты

4. Вывод

Приложение А

Приложение Б

Целью данной работы является то, что нам надо было решить уравнения Максвелла, дисперсионные уравнения, размеры волновода, а также такие составляющие как сопротивление в волноводе, коэффициент дисперсии, длину волны критическую, фазовую и групповые скорости. Значения мощностей предельных и допустимых, коэффициенты распространения волны. Также надо построить поля для волн H_x, H_z, E_y.

1. Теория диэлектрического прямоугольного волновода

Плоская диэлектрическая пластина с параметрами _0а толщиной 2d в направлении координаты x, бесконечно протяженная вдоль координаты y и оси z (рис. 1.1) помещена в воздухе. При z<0 пластина обрывается и входит в рупор, также бесконечно протяженный вдоль оси y и создающий электромагнитное поле, излучаемое вдоль оси z. В результате воздействия этого поля в пластине и вокруг неё создается волна, параметры которой необходимо определить.

Рис. 1.1

В рупоре, где осуществляется возбуждение пластины, вектор Пойтинга возбуждающего поля может иметь различное направление относительно нормали к пластине, совпадающей с осью x. Если угол, составленный вектором Пойтинга и осью x, меньше угла полного внутреннего отражения, то в соответствии с анализом подобных процессов волна, попавшая изнутри диэлектрика на границу раздела диэлектрик — воздух, преломится на границе и выйдет в воздух. Если угол, составленный вектором Пойтинга и осью x, равен или больше угла полного внутреннего отражения, то такая волна отразится от границы раздела с воздухом и, попав под тем же углом на другую границу раздела, вновь отразится от нее. Этот процесс будет продолжаться по мере продвижения волны вдоль оси z. В результате в диэлектрической пластине возникает волна обычного волнового типа, распространяющаяся в пластине с фазовой скоростью, превышающей скорость света в диэлектрике c. То есть в пластине будет распространяться быстрая волна. В соответствии с явлением полного внутреннего отражения в воздухе у поверхностей пластины образуется медленная волна, распространяющаяся вдоль оси z, с фазовой скоростью, меньшей скорости света в воздухе c₀.. обе волны (внутренняя и внешняя) образуют единое электромагнитное поле с одной и той же фазовой скоростью _ф, удовлетворяющей неравенству

(1.1)

та к как с<c₀, соблюдение этого равенства возможно.

Таким образом, волна, обладающая фазовой скоростью _ф внутри и вне диэлектрика, по отношению к скорости света в диэлектрике может быть быстрой, а по отношению к скорости света в воздухе — медленной.

Бесконечно протяженная пластина представляет собой идеализацию реальных волновых систем, однако это существенно упрощает анализ и позволяет наглядно проследить процессы, происходящие в волноводах медленных волн.

2. Решение основных уравнений

Чтобы вычислить основные параметры надо решить уравнения Максвелла

(2.1)

(2.2)

равенство векторов выполняется, если выполняется равенство проекций:

(2.3)

подставляя экспоненциальные составляющие в дифференциальные уравнения, и, решая их, получим подставляя полученное выражение в уравнение максвелла, получим

(2.4)

(2.5)

приравнивая уравнения (1.1) и (1.4), (1.5) получим

(2.6)

(2.7)

Произведя некоторые преобразования, т. е. сделать замену ²=²-², где =², получим систему уравнений

(2.8)

так как волна типа H, то E_z=0, E_x=0, H_z=0, H_y=0

и тогда система уравнений (2.8) получится такая

(2.9)

(2.10)

пусть ² =², тогда для H_z получим так как тогда

но, тогда поскольку здесь участвует две среды, то уравнения для H_z можно записать для диэлектрика

(2.11)

а для воздуха ,

Но коэффициент не удовлетворяет условия теоремы единственности и тогда для воздуха уравнение примет вид

(2.12)

подставим полученные значения для H_z в уравнения в (2.9) и (1.10) получаем

(2.13)

(2.14)

для определения поперечных волновых чисел ₁, ₂ необходимо применить граничные условия на границе диэлектрик воздух. Составляющие H_x, E_y, определяющие вектор Пойтинга, ориентированный вдоль оси z, изменяется по закону sin (d), т. е. представляет собой нечетные функции по координате x.

Получаем

(2.15)

(2.16)

где _{1= 2=0}

чтобы получить дисперсионные уравнения необходимо почленно разделить (2.16) на (2.17), находим

(2.17)

умножим обе части уравнения (2.17) на d получаем трансцендентное уравнение, связывающее поперечные волновые числа ₁, ₂

(2.18)

(2.19)

помножим (2.19) на d²

(2.20)

введем обозначение тогда получаем

(2.21)

Соотношение (2.21) представляет собой уравнение окружности в координатах ₁d, d радиуса R. Решая совместно трансцендентное уравнение (2.18) и уравнение (2.21) находим значения поперечных волновых чисел ₁, ₂. Решаем уравнения с помощью ЭВМ. Точки пересечения окружностей с кривыми (2.18) дают значения ₁, ₂, откуда для заданной полутолщины пластины d определяют поперечные волновые числа (смотри приложение Б).

Волна типа H₁₀ может существовать только при R>0, а существование волн H_m0 будет

(2.22)

подставляя значения R из выражения (2.20), получаем при заданных параметрах пластины это выражение позволяет получить значения критической частоты

(2.23)

из уравнения (2.23) возможно найти толщину пластины, путем простейших выводов формул и решения промежуточных уравнений получили

(2.24)

зная критическую длину можно найти коэффициент дисперсии

(2.25)

где в одном случае _min, а в другом _max

вычислив коэффициент дисперсии можно найти ряд параметров, найдем длину волны в волноводе

(2.26)

(2.27)

теперь найдем в волноводе волновое сопротивление

(2.28)

фазовую и групповую скорость можно найти также при помощи коэффициента дисперсии

(2.29)

(2.30)

зная значения ₁ и ₂ можно вычислить значения коэффициента распространения волны H₁₀

(2.31)

вычислим предельную мощность волновода, зная толщину диэлектрика и коэффициент дисперсии

(2.32)

где Е_пр=30 кВ/см у каждого волновода есть своя предельная мощность

(2.33) где gизменяется от 4 до 5

3. Полученные результаты

Результаты получены для двух длин волн ₁ и ₂ распишем полученные значения

Вывод

Проделав данную работу, я ознакомился с таким понятием как диэлектрический волновод, познал, как распространяется волна в волноводе. Также приобрел навык расчета уравнений Максвелла, уравнений Гельмгольца, дисперсионных уравнений. прямоугольного волновода и рассчитал все положенные параметры расчета.

диэлектрический волновод максвелл дисперсионный

1. Вольман В. И. Техническая электродинамика. — М.: Связь, 1971 486 с.

2.Федоров Н. Н. Основы электродинамики. — М.: Высшая школа, 1980, 399 с.

3.Никольский В. В., Никольская Т. И. Электродинамика и распространение радиоволн. — М.: Наука, 1989, 540 с.

4.Никольский В. В. Теория электромагнитного поля. — М.: Высшая школа, 1964, 379 с.

Приложение А

Структура электрического поля в прямоугольном волноводе с длиной волны H₁₀.

Приложение Б

Решение трансцендентных уравнений