Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений

Министерство образования и науки, молодежи и спорта Украины Харьковский национальный университет имени В. Н. Каразина Лабораторная работа № 2

Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений Выполнила:

студентка группы МП-31

Кальницкая Б.М.

Проверил:

доц. Скорик В.А.

Харьков 2014

Постановка задачи

I. Найти решение систем линейных алгебраических уравнений Ах=b, найти А-1, вычислить det A.

1. Методом Гаусса с выбором ведущего элемента в строке.

2. Методом Гаусса с выбором ведущего элемента в столбце.

3. Методом Гаусса с выбором ведущего элемента в матрице. На печать вывести исходную матрицу A, вектор b, решение x, невязку, det A, А-1. Сравнить полученые результаты.

II. Найти решение систем линейных алгебраических уравнений Ах=b, вычислить det A.

1. Методом факторизации.

Напечать вывести исходную матрицу A, вектор b, решение x, невязку, вычислить det A. Сравнить полученые результаты.

Вариант № 4

А =, b =

Метод Факторизации Теорема.

Пусть

Тогда, А представима единственным образом в виде где

— нижнетреугольная,

— верхнетреугольная;

.

При этом решение сводится к решению двух систем

Листинг программы

#include «stdafx.h»

#include

#include

#include

using namespace std;

const int n = 4;

int main ()

{

int i = 0, j = 0, k = 0, m = 0;

double A[n][n], B[n][n], C[n][n], f[n], x[n], y[n], r[n], Ax[n], max = -1;

cout << «Our matrix A is: «<< endl;

for (i = 0; i

{

for (j = 0; j

{

A[0][0] = 0.11;

A[0][1] = -0.17;

A[0][2] = 0.72;

A[0][3] = -0.34;

A[1][0] = 0.81;

A[1][1] = 0.12;

A[1][2] = -0.91;

A[1][3] = 0.17;

A[2][0] = 0.17;

A[2][1] = -0.18;

A[2][2] = 1;

A[2][3] = 0.28;

A[3][0] = 0.13;

A[3][1] = 0.17;

A[3][2] = -0.99;

A[3][3] = 0.35;

B[i][j] = 0;

C[i][j] = 0;

x[i] = 0;

y[i] = 0;

printf («%.4f», A[i][j], ««);

}

cout << endl;

}

cout << «Our string f is: «<< endl;

for (int i = 0; i

{

f[0] = 0.17;

f[1] = 1;

f[2] = 0.21;

f[3] = 2.71;

printf («%.0f», f[i], ««);

}

cout << endl;

for (int i = 0; i < n; i++)

{

for (int j = i; j < n; j++)

{

double s = 0;

for (int k = 0; k < i; k++)

s += B[j][k] * C[k][i];

B[j][i] = A[j][i] - s;

s = 0;

for (int k = 0; k < i; k++)

s += B[i][k] * C[k][j];

C[i][j] = (A[i][j] - s) / B[i][i];

}

}

cout << «Our matrix B is: «<< endl;

for (int i = 0; i

{

for (int j = 0; j

{

printf («%.4f», B[i][j], ««);

}

cout << endl;

}

cout << «Our matrix C is: «<< endl;

for (int i = 0; i

{

for (int j = i; j

{

printf («%.4f», C[i][j], ««);

}

cout << endl;

}

for (int i = 0; i < n; i++)

{

double s = 0;

for (int k = 0; k < i; k++)

s += B[i][k] * y[k];

y[i] = (f[i] - s) / B[i][i];

}

for (int i = n — 1; i >= 0; i—)

{

double s = 0;

for (int k = i + 1; k < n; k++)

s += C[i][k] * x[k];

x[i] = y[i] - s;

}

cout << «Vector x» << endl;

for (int i = 0; i

{

cout << x[i] << ««;

}

cout << endl;

for (int i = 0; i

{

double s = 0;

for (int j = 0; j

{

s += A[i][j] * x[j];

}

Ax[i] = s;

r[i] = Ax[i] - f[i];

}

cout << «Nevazka» << endl;

for (int i = 0; i

{

printf («%1.18fn», r[i]);

}

max = 0;

for (int i = 0; i

{

if (max< fabs (r[i]))

{

max = fabs (r[i]);

}

}

printf («n ||Ax-f||=%1.18fn», max);

double det = 1;

for (int i = 0; i

{

det *= B[i][i];

}

cout << «Determinant:» << endl;

cout << det << endl;

return 0;

}

Распечатка результатов

Our matrix A is:

0.1100 -0.1700 0.7200 -0.3400

0.8100 0.1200 -0.9100 0.1700

0.1700 -0.1800 1.0000 0.2800

0.1300 0.1700 -0.9900 0.3500

Our string f is:

0.1700 1.0000 0.2100 2.7100

Our matrix B is:

0.1100

0.8100 1.3718

0.1700 0.0827 0.2619

0.1300 0.3709 -0.1614 0.4259

Our matrix C is:

1.0000 -1.5455 6.5455 -3.0909

1.0000 -4.5282 1.9490

1.0000 2.4600

1.0000

Vector x

-5.0073 -79.3203 -14.8955 5.99 673

Nevazka

-0.527

0.1 110

-0.2 470

0.444

||Ax-f||=0.2 470

Determinant:

0.168 305

Метод Гаусса Пусть, матрица, невырожденная.

Рассмотрим систему

= - известный n-мерный вектор

=; = - неизвестный Метод Гаусса решения систем линейных уравнений с выбором главного или ведущего элемента матрицы.

Рассмотрим 1 шаг:

.

Если то меняем местами и строки:

то: .

Если то меняем местами и столбцы:

то: .

Делим 1-ю строку полученной матрицы на элемент :

Исключаем из всех уравнений, кроме 1-го, т. е.:

,

В результате получим матрицу

.

Пусть проделано k-1 шагов:

.

Рассмотрим k-й шаг:

k.1. .

k.2. Если то меняем местами и строки:

о .

k.3. Если то меняем местами и столбцы:

то; .

k.4. Делим k-ю строку полученной матрицы на элемент :

k.5. Исключаем из всех уравнений, кроме k-го, т. е.

В результате получим матрицу

.

После n-го шага получаем матрицу Решение находим следующим образом:

Метод Гаусса с выбором главного элемента в строке матрицы.

Рассмотрим k-й шаг,

k.1.

k.2. См. предыдущий метод.

k.3. См. предыдущий метод.

k.4. См. предыдущий метод.

k.5. См. предыдущий метод.

Решение находим следующим образом:

Метод Гаусса с выбором главного элемента в столбце матрицы.

Рассмотрим k-й шаг,

k.1.

k.2. См. предыдущий метод.

k.3. См. предыдущий метод.

k.4. См. предыдущий метод.

k.5. См. предыдущий метод.

Решение находим следующим образом:

Нахождение обратной матрицы Нахождение матрицы предложенными модификациями метода Гаусса повторет модификации метода Гаусса для решения СЛАУ, в которых n+1 меняется на 2n.

При этом в результате проделанных n шагов получаем матрицу В первой и третьей модификациях:

Для второй модификации:

Вычисление определителя Метода Гаусса с выбором ведущего элемента в матрице.

, p = 1, s = 1 — знак определителя на текущем шаге

1-й шаг Если

Если, меняем местами 1-ю и строки.

Если меняем и 1-й столбцы.

Выносим элемент за знак определителя Зануляем все элементы первого столбца за исключением первого элемента.

Пусть проделан (k-1) шаг:

где .

Если то

k-й шаг

k.1.

Если

k.2.Если, меняем местами k-ю и строки.

k.3. Если меняем и k-й столбцы.

Выносим элемент за знак определителя Зануляем все элементы k-го столбца начиная с (k+1)-го элемента.

n-й шаг:

.

Метод Гаусса с выбором главного или ведущего элемента матрицы в строке Рассмотрим k-й шаг:

k.1.

Если

k.2. См. предыдущий метод.

k.3. См. предыдущий метод.

k.4. См. предыдущий метод.

k.5. См. предыдущий метод.

Метод Гаусса с выбором главного или ведущего элемента матрицы в столбце Рассмотрим k-й шаг:

k.1.

Если

k.2. См. предыдущий метод.

k.3. См. предыдущий метод.

k.4. См. предыдущий метод.

k.5. См. предыдущий метод.

Листинг программы

#include «stdafx.h»

#include

#include

#include

using namespace std;

const int n = 4;

void Print (double array[n][n])

{

for (int i = 0; i < n; i++)

{

for (int j = 0; j < n; j++)

{

printf («%.4f», array[i][j]," «);

}

cout << endl;

}

}

void buldMatrA (double A[n][n])

{

for (int i = 0; i < n; i++)

{

for (int j = 0; j < n; j++)

{

A[0][0] = 0.11;

A[0][1] = -0.17;

A[0][2] = 0.72;

A[0][3] = -0.34;

A[1][0] = 0.81;

A[1][1] = 0.12;

A[1][2] = -0.91;

A[1][3] = 0.17;

A[2][0] = 0.17;

A[2][1] = -0.18;

A[2][2] = 1;

A[2][3] = 0.28;

A[3][0] = 0.13;

A[3][1] = 0.17;

A[3][2] = -0.99;

A[3][3] = 0.35;

}

}

}

void Gauss_Matr (double A[n][n], double f[n])

{

int P[n];

for (int i = 0; i < n; i++)

P[i] = i;

double max=-1;

int line = 0, column= 0;

double d, x[n], r[n], Ax[n];

double A₁[n][n+1]; // создаём расширенную матрицу

for (int i = 0; i < n; i ++)

{

for (int j = 0; j < n; j++)

{

A₁[i][j] = A[i][j];

}

A₁[i][n] = f[i];

}

cout << endl;

cout << «This is a matrix A₁[n][n+1] «<< endl;

for (int i = 0; i < n; i++)

{

for (int j = 0; j < n+1; j++)

{

printf («%.4f», A₁[i][j]," «);

}

cout << endl;

}

for (int k = 0; k < n; k++)

{

max = fabs (A₁[k][k]);

line = k;

column = k;

for (int i = k; i < n; i++)

{

for (int j = k; j < n; j++)

{

if (fabs (A₁[i][j]) > max)

{

max = fabs (A₁[i][j]);

line = i;// нахождение макс элемента и его позиции

column = j;

}

}

}

if (line ≠ k)// меняем строки местами

{

for (int j = k; j < n+1; j++)

{

swap (A₁[k][j], A₁[line][j]);

}

}

if (column ≠ k)// меняем столбцы местами

{

for (int i = 0; i < n; i++)

{

swap (A₁[i][k], A₁[i][column]);

}

swap (P[k], P[column]);

}

d = A₁[k][k];

for (int j = k; j < n+1; j++)// деление к-й строки на макс элемент

{

A₁[k][j] = (double) A₁[k][j] / d;

}

for (int i = 0; i < n; i++)

{

if (i ≠ k)

{

d = A₁[i][k];

for (int j = k; j < n+1; j++)

{

A₁[i][j] -= d*A₁[k][j];

}

}

}

}

cout << endl;

for (int i = 0; i < n; i++)

{

x[P[i]] = A₁[i][n];

}

cout<<" Root" <

for (int i = 0; i < n; i++)

{

printf («%.4f», x[i], ««);

cout << endl;

}

buldMatrA (A);

cout<

for (int i=0; i

{

double s=0;

for (int j=0; j

{

s+=A[i][j]*x[j];

}

Ax[i]=s;

r[i] = Ax[i]-f[i];

}

cout<<" Nevazka" <

for (int i=0; i

{

printf («%1.17fn», r[i]);

}

max=0;

for (int i=0; i

{

if (max< fabs (r[i]))

{

max=fabs (r[i]);

}

}

printf («n ||Ax-f||=%1.18fn», max);

}

void Gauss_column (double A[n][n], double f[n])

{

double max;

int line = 0, column = 0;// позиции максимального элемента

double d, x[n], r[n], Ax[n];

double A₁[n][n+1]; // создаём расширенную матрицу

for (int i = 0; i < n; i ++)

{

for (int j = 0; j < n; j++)

{

A₁[i][j] = A[i][j];

}

A₁[i][n] = f[i];

}

cout << endl;

for (int k = 0; k < n; k++)

{

max = fabs (A₁[k][k]);

line = k;

column = k;

for (int i = k; i < n; i++)

{

if (fabs (A₁[i][k]) > max)

{

max = fabs (A₁[i][k]);

line = i;// нахождение макс элемента и его позиции

}

}

if (line ≠ k)// меняем строки местами

{

for (int j = k; j < n+1; j++)

{

swap (A₁[k][j], A₁[line][j]);

}

}

d = A₁[k][k];

for (int j = k; j < n+1; j++)// деление к-й строки на макс элемент

{

A₁[k][j] = (double) A₁[k][j] / d;

}

for (int i = 0; i < n; i++)

{

if (i ≠ k)

{

d = A₁[i][k];

for (int j = k; j < n+1; j++)

{

A₁[i][j] -= d*A₁[k][j];

}

}

}

}

cout << endl;

cout<<" Root" <

for (int i = 0; i < n; i++)

{

x[i] = A₁[i][n];

printf («%.4f», x[i], ««);

cout << endl;

}

buldMatrA (A);

cout<

for (int i=0; i

{

double s=0;

for (int j=0; j

{

s+=A[i][j]*x[j];

}

Ax[i]=s;

r[i] = Ax[i]-f[i];

}

cout<<" Nevazka" <

for (int i=0; i

{

printf («%1.18fn», r[i]);

}

max=0;

for (int i=0; i

{

if (max< fabs (r[i]))

{

max=fabs (r[i]);

}

}

printf («n ||Ax-f||=%1.18fn», max);

}

void Gauss_Line (double A[n][n], double f[n])

{

int P[n];

for (int i = 0; i < n; i++)

P[i] = i;

double max;

int line = 0, column= 0;// позиции максимального элемента

double d, x[n], r[n], Ax[n];

double A₁[n][n+1]; // создаём расширенную матрицу

for (int i = 0; i < n; i ++)

{

for (int j = 0; j < n; j++)

{

A₁[i][j] = A[i][j];

}

A₁[i][n] = f[i];

}

cout << endl;

for (int k = 0; k < n; k++)

{

max = fabs (A₁[k][k]);

line = k;

column = k;

for (int j = k; j < n; j++)

{

if (fabs (A₁[k][j]) > max)

{

max = fabs (A₁[k][j]);

column = j;

}

}

if (column≠ k)// меняем столбцы местами

{

for (int i = 0; i < n; i++)

{

swap (A₁[i][k], A₁[i][column]);

}

swap (P[k], P[column]);

}

d = A₁[k][k];

for (int j = k; j < n+1; j++)// деление к-й строки на макс элемент

{

A₁[k][j] = (double) A₁[k][j] / d;

}

for (int i = 0; i < n; i++)

{

if (i ≠ k)

{

d = A₁[i][k];

for (int j = k; j < n+1; j++)

{

A₁[i][j] -= d*A₁[k][j];

}

}

}

}

cout << endl;

for (int i = 0; i < n; i++)

{

x[P[i]] = A₁[i][n];

}

cout<<" Root" <

for (int i = 0; i < n; i++)

{

printf («%.4f», x[i], ««);

cout << endl;

}

buldMatrA (A);

cout<

for (int i=0; i

{

double s=0;

for (int j=0; j

{

s+=A[i][j]*x[j];

}

Ax[i]=s;

r[i] = Ax[i]-f[i];

}

cout<<" Nevazka" <

for (int i=0; i

{

printf («%1.18fn», r[i]);

}

max=0;

for (int i=0; i

{

if (max< fabs (r[i]))

{

max=fabs (r[i]);

}

}

printf («n ||Ax-f||=%1.18fn», max);

}

void Determinant (double A[n][n])

{

double max, p = 1;

int s = 1;

int line = 0, column= 0;// позиции максимального элемента

double d;

for (int k = 0; k < n; k++)

{

max = fabs (A[k][k]);

line = k;

column = k;

for (int i = k; i < n; i++)

{

for (int j = k; j < n; j++)

{

if (fabs (A[i][j]) > max)

{

max = fabs (A[i][j]);

line = i;// нахождение макс элемента и фикс позиции

column = j;

}

}

}

if (line ≠ k)// меняем строки местами

{

for (int j = k; j < n; j++)

{

swap (A[k][j], A[line][j]);

}

s *= -1;

}

if (column ≠ k)// меняем столбцы местами

{

for (int i = k; i < n; i++)

{

swap (A[i][k], A[i][column]);

}

s *= -1;

}

d = A[k][k];

for (int j = k; j < n; j++)// деление к-й строки на макс элемент

{

A[k][j] = (double) A[k][j] / d;

}

p = p*d;

for (int i = k+1; i < n; i++)

{

d = A[i][k];

for (int j = k; j < n; j++)

{

A[i][j] -= d*A[k][j];

}

}

}

cout<

cout << endl;

}

void Multipluying (double A[n][n], double B[n][n])

{

double C[n][n];

double s = 0;

for (int i = 0; i < n; i++)

{

for (int j = 0; j < n; j++)

{

s = 0;

for (int k = 0; k < n; k++)

{

s = s + A[i][k]*B[k][j];

}

C[i][j] = s;

}

}

Print (C);

}

void Inverted_Gauss_Matr (double A[n][n])

{

double d;

int P[n];

int line, column;

double max;

for (int l = 0; l < n; l++)

P[l] = l;

double A₂[n][2*n]; // создаём расширенную матрицу

for (int i = 0; i < n; i ++)

{

for (int j = 0; j < n; j++)

{

A₂[i][j] = A[i][j];

}

}

for (int i = 0; i < n; i++)

{

for (int j = n; j < 2*n; j++)

{

if ((i+n) == j)

{

A₂[i][j] = 1;

}

else

{

A₂[i][j] = 0;

}

}

}

for (int i = 0; i < n; i++)

{

for (int j = 0; j < 2*n; j++)

{

printf («%.4f», A₂[i][j], «»);

}

cout << endl;

}

for (int k = 0; k < n; k++)

{

max = fabs (A₂[k][k]);

line = k;

column = k;

for (int i = k; i < n; i++)

{

for (int j = k; j < n; j++)

{

if (fabs (A₂[i][j]) > max)

{

max = fabs (A₂[i][j]);

line = i;// нахождение макс элемента и фикс позиции

column= j;

}

}

}

if (line ≠ k)// меняем строки местами

{

for (int j = k; j < 2*n; j++)

{

swap (A₂[k][j], A₂[line][j]);

}

}

if (column ≠ k)// меняем столбцы местами

{

for (int i = 0; i < n; i++)

{

swap (A₂[i][k], A₂[i][column]);

}

swap (P[k], P[column]);//менял тут!!!11

}

d = A₂[k][k];

for (int j = k; j < 2*n; j++)// деление к-й строки на макс элемент

{

A₂[k][j] = (double) A₂[k][j] / d;

}

for (int i = 0; i < n; i++)

{

if (i ≠ k)

{

d = A₂[i][k];

for (int j = k; j < 2*n; j++)

{

A₂[i][j] -= d*A₂[k][j];

}

}

}

}

double A_Inverted[n][n];

cout << endl << endl;

cout << «Inverted matrix is:» << endl;

for (int i = 0; i < n; i++)

{

for (int j = 0; j < n; j++)

{

A_Inverted[P[i]][j] = A₂[i][j+n];

}

}

cout << endl;

Print (A_Inverted);

cout << endl << «Check» << endl << endl;

Multipluying (A, A_Inverted);

}

void Inverted_Gauss_Line (double A[n][n])

{

double max;

int line = 0, column = 0;// позиции максимального элемента

double d;

int P[n];

for (int l = 0; l < n; l++)

P[l] = l;

double A₂[n][2*n]; // создаём расширенную матрицу

for (int i = 0; i < n; i ++)

{

for (int j = 0; j < n; j++)

{

A₂[i][j] = A[i][j];

}

}

for (int i = 0; i < n; i++)

{

for (int j = n; j < 2*n; j++)

{

if ((i+n) == j)

{

A₂[i][j] = 1;

}

else

{

A₂[i][j] = 0;

}

}

}

for (int k = 0; k < n; k++)

{

max = fabs (A₂[k][k]);

line = k;

column= k;

for (int j = k; j < n; j++)

{

if (fabs (A₂[k][j]) > max)

{

max = fabs (A₂[k][j]);

column= j;

}

}

if (column ≠ k)// меняем столбцы местами

{

for (int i = 0; i < n; i++)

{

swap (A₂[i][k], A₂[i][column]);

}

swap (P[k], P[column]);

}

d =A₂[k][k];

for (int j = k; j < 2*n; j++)// деление к-й строки на макс элемент

{

A₂[k][j] = (double) A₂[k][j] / d;

}

for (int i = 0; i < n; i++)

{

if (i ≠ k)

{

d = A₂[i][k];

for (int j = k; j < 2*n; j++)

{

A₂[i][j] -= d*A₂[k][j];

}

}

}

}

cout << endl;

double A_Inverted[n][n];

cout << endl;

cout << «Inverted matrix is:» << endl;

for (int i = 0; i < n; i++)

{

for (int j = 0; j < n; j++)

{

A_Inverted[P[i]][j] = A₂[i][j+n];

}

}

cout << endl;

Print (A_Inverted);

cout << endl << «Check» << endl << endl;

Multipluying (A, A_Inverted);

}

void Inverted_Gauss_Column (double A[n][n])

{

double max;

int line = 0, column = 0;// позиции максимального элемента

double d;

double A₂[n][2*n]; // создаём расширенную матрицу

int P[n];

for (int l = 0; l < n; l++)

P[l] = l;

for (int i = 0; i < n; i ++)

{

for (int j = 0; j < n; j++)

{

A₂[i][j] = A[i][j];

}

}

for (int i = 0; i < n; i++)

{

for (int j = n; j < 2*n; j++)

{

if ((i+n) == j)

{

A₂[i][j] = 1;

}

else

{

A₂[i][j] = 0;

}

}

}

for (int k = 0; k < n; k++)

{

max = fabs (A₂[k][k]);

line = k;

column = k;

for (int i = k; i < n; i++)

{

if (fabs (A₂[i][k]) > max)

{

max = fabs (A₂[i][k]);

line = i;// нахождение макс элемента и фикс позиции

}

}

if (line ≠ k)// меняем строки местами

{

for (int j = k; j < 2*n; j++)

{

swap (A₂[k][j], A₂[line][j]);

}

}

d = A₂[k][k];

for (int j = k; j < 2*n; j++)// деление к-й строки на макс элемент

{

A₂[k][j] = (double) A₂[k][j] / d;

}

for (int i = 0; i < n; i++)

{

if (i ≠ k)

{

d = A₂[i][k];

for (int j = k; j < 2*n; j++)

{

A₂[i][j] -= d*A₂[k][j];

}

}

}

}

double A_Inverted[n][n];

cout << endl;

cout << «Inverted matrix is:» << endl;

for (int i = 0; i < n; i++)

{

for (int j = 0; j < n; j++)

{

A_Inverted[i][j] = A₂[i][j+n];

}

}

cout << endl;

Print (A_Inverted);

cout << endl << «Check» << endl << endl;

Multipluying (A, A_Inverted);

}

void main ()

{

double A[n][n];

buldMatrA (A);

cout << «Our matrix A is:» << endl;

Print (A);

double f[n] = {0.17,1,0.21,2.71}; // это вектор свободных членов

cout << endl << «Our vector f is:» << endl;

for (int i = 0; i < n; i++)

{

printf («%.4f», f[i], ««);

}

cout<

cout << «Gauss method — max element in MATRIX» ;

Gauss_Matr (A, f);

cout << «Gauss method — max element in COLUMN» ;

Gauss_column (A, f);

cout << «Gauss method — max element in LINE» ;

Gauss_Line (A, f);

cout << «Determinant:» << endl;

Determinant (A);

buldMatrA (A);

cout << «matrix A₂[n][2*n]» << endl;

Inverted_Gauss_Matr (A);

cout << «Matrix by lines» << endl;

Inverted_Gauss_Line (A);

cout << «Matrix by the column» << endl;

Inverted_Gauss_Column (A);

system («PAUSE»);}

Распечатка результатов

Our matrix A is:

0.1100 -0.1700 0.7200 -0.3400

0.8100 0.1200 -0.9100 0.1700

0.1700 -0.1800 1.0000 0.2800

0.1300 0.1700 -0.9900 0.3500

Our vector f is:

0.1700 1.0000 0.2100 2.7100

Gauss method — max element in MATRIX

This is a matrix A₁[n][n+1]

0.1100 -0.1700 0.7200 -0.3400 0.1700

0.8100 0.1200 -0.9100 0.1700 1.0000

0.1700 -0.1800 1.0000 0.2800 0.2100

0.1300 0.1700 -0.9900 0.3500 2.7100

Root

-5.0073

-79.3203

-14.8955

5.9967

Nevazka

-0.8

-0.89

0.86

-0.178

||Ax-f||=0.1 776

Gauss method — max element in COLUMN

Root

-5.0073

-79.3203

-14.8955

5.9967

Nevazka

0.3 469

-0.888

-0.916

0.0

||Ax-f||=0.3 469

Gauss method — max element in LINE

Root

-5.0073

-79.3203

-14.8955

5.9967

Nevazka

0.1 249

-0.2 442

-0.472

-0.888

||Ax-f||=0.2 442

Determinant:

0.168 305

matrix A₂[n][2*n]

0.1100 -0.1700 0.7200 -0.3400 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000

0.8100 0.1200 -0.9100 0.1700 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000

0.1700 -0.1800 1.0000 0.2800 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000

0.1300 0.1700 -0.9900 0.3500 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000

Inverted matrix is:

-1.4253 1.7694 0.2315 -2.4292

-28.4211 9.1371 -1.6455 -30.7307

-4.9593 1.5461 0.2594 -5.7760

0.3063 -0.7221 1.4468 2.3479

Check

1.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000

0.0000 1.0000 0.0000 0.0000

-0.0000 0.0000 1.0000 -0.0000

0.0000 0.0000 0.0000 1.0000

Matrix by lines

Inverted matrix is:

-1.4253 1.7694 0.2315 -2.4292

-28.4211 9.1371 -1.6455 -30.7307

-4.9593 1.5461 0.2594 -5.7760

0.3063 -0.7221 1.4468 2.3479

Check

1.0000 -0.0000 0.0000 0.0000

-0.0000 1.0000 -0.0000 -0.0000

0.0000 0.0000 1.0000 -0.0000

-0.0000 0.0000 -0.0000 1.0000

Matrix by the column

Inverted matrix is:

-1.4253 1.7694 0.2315 -2.4292

-28.4211 9.1371 -1.6455 -30.7307

-4.9593 1.5461 0.2594 -5.7760

0.3063 -0.7221 1.4468 2.3479

Check

1.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000

-0.0000 1.0000 0.0000 0.0000

-0.0000 0.0000 1.0000 -0.0000

-0.0000 -0.0000 0.0000 1.0000

линейный алгебраический уравнение гаусс Вывод В нашем случае более точным оказался метод Гаусса с выбором ведущего элемента в матрице, его невязка составила

||Ax-f||=0.1 776.

Потом идет метод Гаусса с выбором ведущего элемента в строке

||Ax-f||=0.2 442.

А уже после идут метод факторизации с невязкой

||Ax-f||=0.2 470

и метод Гаусса с выбором ведущего элемента в столбце с невязкой

||Ax-f||=0.3 469

соответственно. Так же было найдено решение системы

Root

-5.0073

-79.3203

-14.8955

5.9967

и определитель

Determinant:

0.168 305

значение которых совпало для всех методов.