Механика и Ее модели

Рассмотрим движения шарика, который прикреплен к пружине с жестко закрепленным концом. Пусть rкоордината шарика вдоль оси пружины, которая лежит на горизонтальной плоскости. Предполагаем, что направление движения шарика совпадает с осью пружины. Дано mмасса шарика, Lдлина пружины в ненапряженном состоянии. Схема движения представлена на рисунке 8Рис. 8 Запишем второй закон Ньютона. Предполагаем, что плоскость является идеально гладкой, и пренебрегаем сопротивлением воздуха. Также учитываем, что масса шарика уравновешена реакцией плоскости. На шарик действует единственная сила, действующая в направлении оси r- сила упругости пружины. Найдем силу упругости пружины с помощью закона Гука. Суть закона: для растяжения (сжатия) пружины необходимо приложить силуF=-kr, где k

— параметр, который характеризует упругие свойства пружины, а r

— величина растяжения или сжатия пружины относительно нейтрального состояния. Предполагаем, что плоскость является идеально гладкой, и пренебрегаем сопротивлением воздуха. Учитываем, что масса шарика уравновешена реакцией плоскостии на шарик действует только сила упругости пружины. По закону Гука запишем уравнение движения шарика, .Полученное уравнение описывает гармонические колебания с собственной частотойи имеет общее решение.

Значения c1и c2находятся из начальных условийr (0)=r0, v (0)=v0Получаем, при Получили одинаковые уравнения. Замечание: Необходимо использовать только те подходы, которые не будут иметь противоречий с другими фундаментальными законами природы. Поэтому следует проводить проверку противоречивости для подтверждения построения правильной модели. Проверим правильность построенной модели с использованием второго закона Ньютона, а именно с помощью закона сохранения энергии. Точка крепления пружины является неподвижной, тогда стенка не совершает никакой работы над системой «пружина-шарик», следовательно, полная механическая энергия Eбудет постоянной. Такая кинетическая энергия определяется движением шарика при условии, что пружина невесома:.Найдем потенциальную энергию, которая содержится в пружине. Для этого определим ее работу, которая необходима для растяжения пружины на величину r. Полагаем, что величина является неизменной, тогда. Учитывая, что, и, дифференцируя интеграл энергии по t, получаем. Получили необходимую зависимость, которая подтверждаетправильность полученных выводов. В данной главы были представлены примеры построения математических моделей в области механики. Таких моделей существует достаточно много. Использование их в механике дает возможность получения достоверных результатов, которые применяются в дальнейших исследованиях объектов и в построении более совершенных моделей.

Заключение

.

В курсовой работе рассмотрены основные понятия, касающиеся моделей и математического моделирования. Представлены различные классификации типов моделей и даны их основные характеристики. Представлена также классификация методов математического моделирования, выявлены их достоинства и недостатки. Рассмотрены основные характеристики построенной модели, а именно адекватность, чувствительность, устойчивость, экономичность и универсальность. Для получения значимых результатов по построенной модели эти характеристики должны выполняться в совокупности. Также представлена классификация основных видов описания математических моделей, а именно с помощью:

вектор — функций, неявных функцийобыкновенных дифференциальных уравнений, дифференциальных уравнений с частными производными, вычислительного алгоритма, вероятностного (стохастического) описания. По результатам проведенного исследования можно сделать следующие выводы:

1) Механика — это наука о движении и равновесии тел и сплошных сред под действием сил различной природы, а также о взаимодействиях, процессах, взаимосвязях сопутствующих этим движениям.

2) Основная задача механики

— разработка методов управления системами с помощью построение математических моделей.

3) Предмет исследования механики — области всесторонних знаний окружающей природы, например, прогнозпогоды, связан расчётом сложных движений атмосферы, с переносом тепла и влаги; система кровообращения человека в здоровом состоянии и состоянии болезни, конструирование новых материалов.

4) Первостепенным методом современной механики является создание и исследование математических моделей изучаемых объектов. 5) Модель

— это схемаисследуемого объекта или явления, которая дает более простое и наглядное представление о нем, чем оригинал, при этом учитывает его основные характеристики.

6) Математическая модель представляет собой математическое описание исследуемого объекта с использованием термином и законов высшей математики. 7) Основной характеристикой математической моделиявляется получение таких результатов, которые отражают существенные свойства исследуемого объекта или явления. В противном случае построенная модель не соответствует реальному наблюдаемому процессу и требует корректировки.

7) Математические модели используются для моделирования объектови способов их взаимодействия, что требует введения основных понятий сил и полей, потоков тепла, диффузии и т. д. 8) Основным инструментомматематического моделирования являются разновидности дифференциальных уравнений и их системы. Как и в каждой развивающейся науке, в механике постоянно разрабатываются новые модели. Например, в середине XX века были созданы и ныне активно используются модели жидкостей и газов, взаимодействующих с электромагнитным полем, — магнитная гидродинамика, электрогидродинамика, гидродинамика намагничивающихся жидкостей. Между математиками и механиками нет чёткой границы. Своими работами механики развивают и математику, формулируя и решая новые математические задачи. У многих математиков предметом гордости являются результаты, имеющие отношение к механике. Особенность работы учёного — механика

— стремление понять внутренние механизмы изучаемого явления. Эта работа предшествует выбору модели, а её результаты позволяют механикам, полагаясь на интуицию, использовать и те модели, в которых для поставленных задач ещё не доказаны теоремы существования и единственности решений. Сложность современных математических моделей в механике, переплетение в них физических, геометрических и других характеристик процессов приводят к необходимости применения всех средств современной математики. В одних случаях для решения задачи достаточно применения существующих методов и подходов, в других — требуется разработка нового математического аппарата. Итак, поведем итоги:

Всамых простейших ситуациях для построения моделей требуется использование не одного, а нескольких фундаментальных законов. Прямое формальное применение фундаментальных законов к объекту, рассматриваемому как целое, не всегда возможно. В этих случаях требуется просуммировать элементарные акты взаимодействия между его частями, принимая во внимание свойства объекта. Одними и теми же моделями могут описываться совершенно разные по своей природе объекты, подчиняющиеся разным фундаментальным законам, и, наоборот, данному закону могут отвечать принципиально разные модели (например, линейные и нелинейные).Необходимо использовать все возможности для проверки правильного построения моделей (предельные переходы, другие фундаментальные законы).Таким образом, поставленная цель и задачи достигнуты в полном объёме. Список использованной литературы.

Алексеев Г. В. Классические методы математической физики: учебник / Г. В. Алексеев. — Владивосток: Изд-во Дальневосточного государственного университета, 2003. -.

416 с. Бардзокас Д. И. Математическое моделирование физических процессов в композиционных материалах периодической структуры / Д. И. Бардзокас, А.

И. Зобнин. — М.: Едиториал УРСС, 2003. -.

373 с. Бардзокас Д. И. Математическое моделирование в задачах механики свя-занных полей: в 2 т.

Т. 1: Введение в теорию термопьезоэлектричества / Д. И. Бардзокас, А. И. Зобнин, Н. А. Сеник.

— М.: Ком.

Книга, 2005. — 312 с. Бардзокас Д. И. Математическое моделирование в задачах механикисвя-занных полей: в 2 т.

Т. 2: Статические и динамические задачи электроупругости для составных многосвязных тел / Д. И. Бардзокас, А. И. Зобнин, Н.

А. Сеник. — М.: Ком.

Книга, 2005. — 376 с. Бардзокас Д. И.

Распространение волн в электромагнитоупругих средах / Д. И. Бардзокас, Б. А. Кудрявцев, Н.

А. Сеник. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 336 с. Вентцель Е. С. Исследование операций: задачи, принципы, методология.

— М.: Наука, 1980. — 208 с. Воронин А. В. Моделирование мехатронных систем. Учебное пособие. Издательство.

Томского политехнического университета. 2008 — 137 сДулов В. Г. Математическое моделирование в глобальных процессах естествознания / В. Г.

Дулов, В. М. Белолипецкий, В. А. Цибаров. -.

Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2005. — 248 с. Коробейников В.

П. Принципы математического моделирования / В. П. Коробейников. — Владивосток: Дальнаука, 1996. — 180 с.

Партон В. З. Электромагнитоупругость пьезоэлектрических и электропроводных тел / В. З. Партон, Б. А. Кудрявцев.

— М.: Наука, 1988. — 472 с. Самарский А.

А. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры / А. А.

Самарский, А. П. Михайлов. -.

М.: Физматлит, 2002. — 320 с. Семененко М. Г.

Введение

в математическое моделирование / М. Г.

Семе-ненко. — М.: Солон-Р, 2002. — 112 с.