Помощь в написании студенческих работ
Антистрессовый сервис

Асимптотическое исследование нелинейных нелокальных моделей типа реакция — диффузия — адвекция с пограничными и внутренними слоями

Диссертация: Асимптотическое исследование нелинейных нелокальных моделей типа реакция — диффузия — адвекция с пограничными и внутренними слоями
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Важным вопросом, как с теоретической, так и с прикладной точки зрения, является вопрос об устойчивости контрастных структур как стационарных решений соответствующих параболических задач (в смысле Ляпунова). Для одномерных задач этот вопрос был решен в работе. А. Б. Васильевой, В. Ф. Бутузова, работах, S. Angenent., J. Mallet-Paret и L. Peletier, J. Hale и К. Sakamoto и др. Устойчивость… Читать ещё >

Асимптотическое исследование нелинейных нелокальных моделей типа реакция — диффузия — адвекция с пограничными и внутренними слоями (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Содержание

  • Глава 1. Начальные задачи для сингулярно возмущенных интегродифференциальных уравнений
    • 1. Задача Коши для сингулярно возмущенного интегродифференциального уравнения типа Вольтерра
    • 2. Задача Коши для сингулярно возмущенного интегродифференциального уравнения Фредгольма
  • Глава 2. Краевые задачи для обыкновенных сингулярно возмущенных интегро диф ф еренциальных уравнений типа реакция-диффузия
    • 1. Пограничные слои в нелинейных краевых задачах для обыкновенного сингулярно возмущенного интегродифференциального уравнения
    • 2. Внутренние слои в нелинейной краевой задаче для обыкновенного сингулярно возмущенного интегро-дифференциального уравнения типа реакциядиффузия
  • Глава 3. Краевые задачи для сингулярно возмущенных интег-родифференциальных уравнений эллиптического типа
    • 1. Постановка задачи
    • 2. Формальная асимптотика решения
    • 3. Существование и асимптотическая устойчивость решения типа ступеньки
  • Глава 4. Движущиеся фронты в интегропараболическом уравнении реакция-диффузия-адвекция
    • 1. Постановка задачи
    • 2. Формальное асимптотическое разложение решения с внутренним переходным слоем
    • 3. Обоснование формального асимптотического разложения решения с движущимся внутренним переходным слоем (фронтом)
    • 4. Пример

Актуальность темы

.

Математические задачи для уравнения реакция-диффузия-адвекция имеют много важных практических приложений в химической кинетике, синергетике, астрофизике [34, 35], биологии, теории фазовых переходов и многих других областях естествознания. Во многих важных случаях решения этих задач имеют внутренние и пограничные слои (см. работу [1] и приведенные в ней ссылки). С точки зрения приложений наибольший интерес представляют решения с внутренними слоями, которые принято называть контрастными структурами. Контрастная структура типа ступеньки характеризуется наличием внутренних переходных слоев, локализованных в окрестности некоторых точек (в двумерном случае — в малых окрестностях некоторых замкнутых кривых), в, которых происходят резкие переходы, решения из окрестности одной части семейства решений вырожденного уравнения (т. е. уравнения, которое получается из исходного при обращении малого параметра в нуль) в окрестность другой части этого семейства.

В теории сингулярных возмущений контрастные структуры ранее исследовались в нелинейных эллиптических краевых задачах с малыми параметрами при старших производных, рассматриваемых в ограниченных областях. Впервые существование контрастных структур в сингулярно возмущенных задачах для обыкновенных дифференциальных уравнений было доказано в работах А. Б. Васильевой и В. Ф. Бутузова [2−5]. Результат по существованию двумерных контрастных структур типа ступеньки принадлежит П. Файфу (Р. Fife) и У. Гринли (W. Greenlee) [6]. Асимптотические разложения решений типа контрастной структуры по малому параметру можно построить на основе метода пограничных функций [2, 34−36]. Для одномерных задач это сделано в [2−5, 7, 34−35] и ряде других работ, для некоторых двумерных задачв [8, 9, 36]. Обширная библиография по этой проблематике содержится в [7].

Важным вопросом, как с теоретической, так и с прикладной точки зрения, является вопрос об устойчивости контрастных структур как стационарных решений соответствующих параболических задач (в смысле Ляпунова). Для одномерных задач этот вопрос был решен в работе. А. Б. Васильевой [10], В. Ф. Бутузова [10], работах [33−35, 37, 38], S. Angenent., J. Mallet-Paret и L. Peletier [12], J. Hale и К. Sakamoto [13] и др. Устойчивость периодической контрастной структуры типа ступеньки в пространственно двумерном случае была впервые получена в работе [36] путем исследования спектра сингулярно возмущенной двумерной задачи на? собственные значения. Вопросы устойчивости и локальной единственности решений сингулярно возмущенных нелинейных эллиптических задач, а так же важная проблема формирования контрастных структур в сингулярно возмущенных параболических задачах, были решены В. Ф. Кутузовым и И. В. Неделько с помощью предложенного ими метода параметрических барьеров [14, 15]:

Наиболее эффективным методом доказательства существования контрастных структур и оценки. остаточных членов асимптотических разложений является асимптотический метод дифференциальных неравенств Н. Н. Нефедова [7, 8]. Суть его состоит в том, что верхнее и нижнее решения конструируются путем модификации формальной асимптотики. Рассматривая эллиптическую задачу как стационарную задачу для соответствующего параболического уравнения, этим методом можно также доказать устойчивость по Ляпунову и локальную единственность решения исходной задачи.

В настоящее время большой интерес вызывают более сложные модели, которые включают эффекты обратной связи или нелокального взаимодействия. Различные направления теории нелокальных нелинейных моделей интенсивно разрабатываются как у нас в стране, так и за рубежом. Как правило, эти модели представлены сингулярно возмущенными интегродифференци-альными уравнениями, описывающими важные для. приложений процессы, в которых необходимо принять во внимание последствия или задержку, во многих областях естествознания, в частности, в задачах динамики реакторов, моделях генетики популяций, химической кинетике [16], теории фазовых переходов [17−19], социологии [20] и многих других областях [1, 21−24]. Так модели, обладающие наследственными свойствами, описываются практически только интегродифференциальными уравнениями [23, 24]. В частности, например, в теории фазовых переходов при рассмотрении теоретической модели процесса разделения фаз в двойной полимерной смеси возникает следующая задача для уравнения Кана-Хилиарда (Cahn-Hilliard) [17−19] ut = A [/(w)-?2 Aw], />0,.

1) f^ = 0> = u (x, y,0) = g (x, y), где u (x, y, t) — концентрация одной из компонент смеси, Q — ограниченная область с гладкой границей, п — единичный вектор внешней нормали к границе области ЭП, /(и) = W'(u), где W (u) — двойная потенциальная яма, едиапазон межмолекулярных сил. Простыми вычислениями [18] эта задача сводится к задаче для нелокального уравнения реакция-диффузия ut = £2Ди — f{u) + f (u)0, Q.

2) ди = 0, О, у) е 8Q, и (х, у, 0) = g (x, у). дп.

Изучение новых моделей, подобных приведенной выше, требует развития соответствующих методов математической физики, адекватных сложности задач.

Целью настоящей работы является развитие асимптотических методов исследования нелокальных уравнений типа реакция-диффузия-адвекция, ишроко используемых в математической физике, позволяющих эффективно исследовать широкий круг нелинейных нелокальных моделей, а именно:

— разработка методов построения асимптотических приближений решений с пограничными и внутренними слоями (контрастными структурами) для широкого класса нелинейных сингулярно возмущенных интегродифференци-альных задач.

— развитие асимптотического метода дифференциальных неравенств для указанного класса задач как эффективного средства доказательства теорем существования, оценки остаточных членов асимптотик, исследования устойчивости решений и определения локальной области влияния устойчивых решений, имеющих пограничные и внутренние слои.

Научная новизнаВсе основные результаты работы являются новыми.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Методы, разработанные в диссертации, могут быть использованы для исследований проблем асимптотической устойчивости и локальной единственности решений новых классов нелинейных интегродифференци-альных сингулярно возмущенных задач, а также для исследования прикладных нелинейных нелокальных задач, в частности, в таком важном с точки зрения практики вопросе как нахождение области локализации внутреннего переходного слоя (фронта) и определение скорости его движения (либо установление его устойчивости).

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинаре МГУ по малому параметру (руководители: профессора А. Б. Васильева, В. Ф. Бутузов, Н.Н. Нефедов), на научных семинарах факультета ВМ и К (руководитель: профессор И.А. Шишмарев), кафедры математики физического факультета МГУ, НИВЦ МГУ (руководители: профессора А. Б. Бакушинский, А. В. Тихонравов и А.Г. Ягола), на международной конференции «Теория и приложения методов малого параметра», посвященной 90-летию со дня рождения академика А. Н. Тихонова (Обнинск, 1996) [48], на международной конференции «Асимптотики решений дифференциальных уравнений», посвященной 70-летию академика A.M. Ильина (Уфа, 2002) [49], на международных конференциях «Nonlinear partial differential equations» (Алушта, 2003, 2005) [50, 51], на международной конференции, посвященной 100-летию А. А. Андронова (Нижний Новгород, 2001) [42], на международных конференциях «Математические идеи П. Л. Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания» (Обнинск, 2002, 2004, 2008) [52−54], на седьмой Крымской международной математической школе «Метод функций Ляпунова и его приложения» (Алушта 2004) [55], на VI международном конгрессе по математическому моделированию (Нижний Новгород, 2004) [57], на международной конференции «Tikhonov and contemporary mathematics» (Москва, 2006) [57], на международной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», посвященной памяти И. Г. Петровского (Москва, 2007) [58], на-Тихоновских чтениях (Москва- 2002, 2006, 2008), на Ломоносовских чтениях (Москва, 2006, 2008) [59, 60], на вторых — шестых (1994;1998) [61−65], восьмых (2000) [66], десятых (2002) [67], одиннадцатых (2003) [68], пятнадцатых — семнадцатых (2005;2008) [69, 70] математических чтениях РГСУ (МГСУ), на международной конференции Science Links Moscow-Berlin-Paris Workshop 2008, посвященной 50-тию сотрудничества МГУ им. М. В. Ломоносова с Гумбольдтским университетом (Берлин, Германия).

Публикации Основные результаты, полученные автором и изложенные в диссертации, опубликованы в работах [33−47]. По материалам диссертации опубликованы 15 научных работ и сделано 29 докладов на научных конференциях. Результаты, содержащиеся в работах, выполненных в соавторстве, и включенные в диссертацию, получены автором лично и включены в диссертацию с согласия и одобрения соавторов этих работ.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на параграфы (некоторые параграфы, в свою очередь, разбиты на пункты), заключения и списка литературы, содержащего 70 наименований. Нумерация формул своя в каждом параграфе (пункте). В работе для формул принята двойная нумерация: первое число — номер параграфа (пункта параграфа), второе — порядковый номер формулы в параграфе (пункте параграфа). Объем диссертации составляет 198 страниц, включая 8 страниц цитированной литературы.

Основные результаты работы, полученные лично автором:

1. Построены асимптотические приближения решений для следующих новых классов нелинейных сингулярно возмущенных задач:

— Начальные задачи с нелинейными интегральными операторами типа Вольтерра и Фредгольма, в том числе в случае смены устойчивости корня вырожденного уравнения.

— Краевые задачи для обыкновенных интегродифференциальных уравнений с пограничными и внутренними слоями (контрастными структурами типа ступеньки).

— Краевые задачи для эллиптических интегродифференциальных уравнений с пограничными и внутренними слоями (двумерными контрастными структурами типа ступеньки).

— Начально-краевые задачи для параболических интегродифференциальных уравнений с пограничными и движущимися внутренними слоями (фронтами).

2. С использованием асимптотического метода дифференциальных неравенств, развитого для указанных выше классов задач, доказаны теоремы существования, обоснованы асимптотические решения, доказана устойчивость этих решений и определена локальная области влияния устойчивых решений, имеющих пограничные и внутренние слои.

В заключение автор выражает глубокую признательность профессору Николаю Николаевичу Нефёдову за постоянное внимание к работе и полезные обсуждения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Показать весь текст

Список литературы

  1. Рао С. V. Nonlinear Parabolic and Elliptic Equations. New York: Plenum, 1992.
  2. А.Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М.: Высшая школа, 1990.
  3. А.Б. К вопросу о близких к разрывным решениях в системе с малым параметром при производных условно устойчивого типа // Дифференциальные уравнения. 1972. Т. 8. N 9. С. 1560−1568.
  4. В.Ф., Васильева А. Б. Об асимптотике решения типа контрастной структуры // Математические заметки. 1987. Т. 42. N 6. С. 831−841.
  5. А.Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973.
  6. П., Гринли В. Внутренние переходные слои для эллиптических краевых задач с малым параметром // Успехи мат. наук. 1974. Т. 29. N 4. С. 103−131.
  7. В.Ф., Васильева А. Б., Нефедов Н. Н. Контрастные структуры в сингулярно возмущенных задачах // Фундаментальная и прикладная математика. 1998. Т.4. N 3. С. 799−851.
  8. Н.Н. Метод дифференциальных неравенств для некоторых классов нелинейных сингулярно возмущенных задач с внутренними слоями // Дифференциальные уравнения. 1995. Т. 31. N 7. С. 1132−1139.
  9. Н.Н. Метод дифференциальных неравенств для некоторых сингулярно возмущенных задач в частных производных // Дифференциальные уравнения. 1995. Т. 31. N 4. С. 719−722.
  10. А.Б. Об устойчивости контрастных структур // Математическое моделирование. 1991. Т. 3. N4. С. 114—123.
  11. В.Ф. О неустойчивости контрастных структур типа всплеска // Математические модели и методы в социальных науках. Труды вторых математических чтений МГСУ. М.: МГСУ, 1994. С. 14−18.
  12. Angenent S., Mallet-Paret J., Peletier L. Stable transition layers in a semilinear boundary value problems // J. Diff. Equations. 1987. V. 67. N 2. P. 212−242.
  13. Hale J. K., Sakamoto K. Existence and stability of transition layers// Japan J. of Appl. Math. 1988. V. 5. N 3. P. 367−405.
  14. В.Ф., Неделько И. В. О глобальной области влияния устойчивых решений с внутренними слоями в двумерном случае // Известия РАН (серия математическая). 2002. Т. 66. N 1. С. 3−42.
  15. В.Ф., Неделько И. В. О формировании контрастной структуры типа ступеньки в параболической системе с разными степенями малого параметра // Доклады РАН. 2003. Т. 390. N 1. С. 15−18.
  16. Raquepas J., Dockery J. Dynamics of a reaction-diffusion equation with nonlocal inhibition // Physica D. 1999. V. 134. P. 94−110.
  17. Novick-Cohen A. The Cahn-Hilliard equation: Mathematical and Modelling Perspectives // Advances in Math. Sci. and Appl. 1998. V. 8, 965−985.
  18. Rubinstein J., Sternberg P. Nonlocal reaction-diffusion equations and nuclea-tion // IMA J. Appl. Math. 1992. V. 48. P. 249−264.
  19. Okada K. Intermediate dynamics of internal layers for a nonlocal reaction-diffusion equation // Hiroshima Math. J. 2005. V. 35. P. 263−308.
  20. А.П. Моделирование системы «власть-общество». М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006.
  21. Bates, P., Zhao, G. Existence, uniqueness and stability of the stationary solution to a nonlocal evolution equation arising in population dispersal // J. Math. Anal. Appl. 2007. Y. 332. N 1, P. 428−440.
  22. Bates, P., Chen, F. Spectral analysis of traveling waves for nonlocal evolution equations // SIAM J. Math. Anal. 2006. V. 38. N. 1. P. 116−126.
  23. Kot M., Lewis M., Driessche P. Dispersal data and the spread of invading organisms // Ecology. 1996. V. 77. N 7. P. 2027−2042.
  24. Medlock J., Kot M. Spreading disease: Integro-differential equations old and new // Mathematical Biosciences. 2003. V. 184. N 2. P. 201−222.
  25. Butuzov V.F., Nefedov N.N., Schneider K.R. Singularly perturbed boundary value problems in case of exchange of stabilities // J. Math. Analys. and Appl. 1999. V. 229. P. 543−562.
  26. П.П., Кошелев А. И., Красносельский M.A. и др. Интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.
  27. Fife P., Hsiao L. Generation and Propagation of Internal Layers // Nonlinear Anal. 1988. Y. 12. N 1. P. 19−41.
  28. Perko L. Differential Equations and Dynamical Systems. New York: Springer, 2001.
  29. Amann H. Periodic Solutions of Semilinear Parabolic Equations, Nonlinear Analysis: a Collection of Papers in Honor of Erich Rothe. New York: Academic, 1978, pp. 1−29.
  30. Sattinger D. Monotone Methods in Elliptic and Parabolic Boundary Value Problems //Indiana Univ. Math. J. 1972. V. 21. N 11. P. 979−1001.
  31. Fife P., Tang M. Comparision Principles for Reaction-Diffusion systems: Irregular Comparision Functions and Applications to Question of Stability and Speed Propagation of Disturbances // J. Diff. Equations. 1981. V. 40, P. 168 185.
  32. H.H., Омельченко O.E., Рекке Л. Стационарные внутренние слои в интегро-дифференциальной системе реакция-адвекция-диффузия // Журнал вычислительной математики и математической физики, 2006, т. 46. N 4. с. 623−645.
  33. А.Г. Неустойчивость контрастных пространственных структур типа «всплеска» в системе реакции-диффузии // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1992. Т. 31. N 3. С. 443−452.
  34. А.Б., Никитин А. Г., Петров А. П. Асимптотический метод исследования контрастных структур и его приложения к теории гидромагнитного динамо // Математическое моделирование. 1995. Т. 7. N 2, С. 61 -71.
  35. Vasil’eva, A. Nikitin and A. Petrov Stability of contrasting solutions of nonlinear hydromagnetic dynamo equations and magnetic fields reversals in galaxies // Geophys. Astrophys. Fluid Dynamics. 1995. V. 78. P. 261 279.
  36. А.Б., Никитин А. Г. К вопросу об устойчивости периодических контрастных структур в пространственно двумерном случае // Дифференциальные уравнения. 1996. Т. 32. N 10. С. 1355−1361.
  37. А.Г. О главной собственной функции одной сингулярно возмущенной задачи Штурма-Лиувилля // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1999. Т. 39. N 4. С. 558−591.
  38. А.Г., Петров А. П. О предельном переходе по малому параметру для собственных значений сингулярно возмущенной задачи Штурма-Лиувилля // Дифференциальные уравнения. 1999. Т. 35, N 6. с. 843−845
  39. Н.Н., Никитин А. Г. Асимптотический метод дифференциальных неравенств для сингулярно возмущенных интегро-дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. 2000. Т. 36. N 10. С. 13 981 404.
  40. Н.Н., Никитин А. Г. Асимптотическая устойчивость контрастных структур типа ступеньки в сингулярно возмущённых интегродифференциальных уравнениях в двумерном случае // Математическое моделирование. 2001. Т. 13. N 12. С. 65−74.
  41. Н.Н., Никитин А. Г., Ур аз гиль дина Т. А. Задача Коши для интег-ро-дифференциального уравнения Вольтерра // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2006. Т. 46. N 5. С. 805−812.
  42. Н.Н., Никитин А. Г. Задача Коши для интегро-дифференциального уравнения Фредгольма // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2007. Т. 47. N 4. С. 655−664.
  43. Nefedov N.N., Nikitin A.G., Recke L. Moving Internal Layers in the Singular Perturbed Integro-Parabolic Reaction-Diffusion-Advection Equations // Preprint Nr. 2007−22. Humboldt University of Berlin, Institute of Mathematic. P. 1−17.
  44. Nikitin A. Boundary and internal layers in the integro-differential equations // Nonlinear Partial Differential Equations. International Conference. (Book of Abstracts). P. 148. Alushta, 2003.
  45. Nefedov N.N., Nikitin A. Singular perturbed integro-differential equations with balanced nonlinearly // Nonlinear Partial Differential Equations. International Conference (Book of Abstract). P. 67. Alushta, 2005.
  46. А.Г. Контрастные структуры в сингулярно возмущенных интегро-дифференциальных уравнениях // Седьмая Крымская международная математическая школа. Метод функций Ляпунова и его приложения (Тезисы докладов). С. 114. Алушта, 2004.
  47. Nikitin A.G. Contrast structures in the integro-differential equations with balanced nonlinearity // VI International Congress on Mathematical Modeling. Book of Abstract. P. 523. Nizhny Novgorod, 2004.
  48. А.Г. Нелокальные сингулярно возмущенные уравнения «реакция-диффузия-адвекция» // Ломоносовские чтения 2008. Подсекция «Теоретическая и математическая физика» (Сборник расширенных тезисов докладов). С. 156−161. Москва, 2008.
  49. А.Б., Никитин А. Г. Об устойчивости контрастных структур в пространственно двумерном случае // Математические модели и методы в социальных науках (Труды вторых математических чтений МГСУ). С. 2425, М.: МГСУ, 1994.
  50. А. Г., Петров А. П. Структура спектра сингулярно возмущенной задачи Штурма-Лиувилля // Математические методы и приложения (Труды третьих математических чтений МГСУ). С. 60−62. М.: МГСУ, 1995.
  51. А. Г. О главной собственной функции сингулярно возмущенной задачи Штурма-Лиувилля // Математические методы и приложения (Труды четвертых математических чтений МГСУ). С. 25−28. М.: МГСУ, 1996.
  52. А. Г., Давыдова М. А. Устойчивость контрастной структуры типа «ступеньки» в случае слабой зависимости правой части от первой производной // Математические методы и приложения (Труды пятых математических чтений МГСУ). С. 50−54. М.: МГСУ, 1997.
  53. Н. Н., Никитин А. Г. Асимптотика решения сингулярно возмущенной интегро-дифференциальной краевой задачи // Математические методы и приложения (Труды шестых математических чтений МГСУ). С. 22−23. М.: МГСУ, 1999.
  54. А.Г. Сингулярно возмущенные интегро-дифференциальные уравнения в критическом случае // Математические методы и приложения (Труды десятых математических чтений МГСУ). С. 20−23. М.: МГСУ, 2003.
  55. А.Г. О корректности вырожденных задач для сингулярно возмущенных интегро-дифференциальных уравнений // Математические методы и приложения (Труды одиннадцатых математических чтений МГСУ). С. 37. М.: МГСУ, 2004.
  56. Н. Н., Никитин А. Г. Начальная задача для интегродифференциального уравнения Фредгольма с малым параметром при производной // Математические методы и приложения (Труды пятнадцатых математических чтений РГСУ). С. 92−96. М.: РГСУ, 2007.
  57. Н. Н., Никитин А. Г., Рекке Л. Движущиеся фронты в сингулярно возмущенной интегро-параболической задаче реакция-диффузия-адвекция // Математические методы и приложения (Труды шестнадцатых математических чтений РГСУ). С. 123−132. М.: РГСУ, 2008.
Заполнить форму текущей работой

Сессия? Спокойно!