Расчет и анализ нерекурсивных цифровых фильтров

Содержание Исходные данные Решение Выводы Литература

Исходные данные

Тип фильтра — ФНЧ;

Порядок фильтра — N=12, N=16

Граничные частоты: представлены в нормированном виде.

Методы расчета:

Метод частотной выборки;

Метод разложения в ряд Фурье;

Метод наименьших квадратов;

Порядок расчета:

По исходным данным и заданному методу рассчитать заданный тип фильтра, определив импульсную характеристику. По определенной импульсной характеристике построить таблицу. Т.к. в нашем случае фильтры с линейной ФЧХ, то требуется рассчитать только половину расчетов и выяснить симметрична или ассиметрична полученная характеристика.

По полученной импульсной характеристике выполнить контрольный расчет АЧХ и ФЧХ и оценить точность аппроксимации (посчитать абсолютную погрешность). Значения АЧХ И ФЧХ представить в виде таблицы и графика. Значения абсолютной погрешности вывести в виде таблицы и найти максимальное по модулю значение.

Сравнить точность аппроксимации всех методов и сделать выводы.

2. Решение

Рассчитаем фильтр методом частотной выборки для N=12.

Рассчитаем импульсную характеристику фильтра:

Перед тем, как рассчитывать импульсную характеристику фильтра этим методом надо выбрать способ дискретизации. Выбор производится, исходя из соображения в каком способе отсчеты расположены ближе к граничным частотам.

Частоты в 1 способе выбираются согласно формуле:

Частоты в 2 способе выбираются согласно формуле:

Подставляя в формулы 1 и 2 N=12, получим следующие значения:

Очевидно, что 1 способ дискретизации более подходит, т.к. уже на первом шаге дискретизации он не дает такого отклонения, как 2 способ.

Обозначим w₁=w_ГП, w₂=w_ГЗ.

Аппроксимирующая функция:

Импульсная характеристика (представляется в виде таблицы):

График АЧХ:

Представим АЧХ в виде таблицы из 5 строк и 10 столбцов:

Оценим точность аппроксимации.

Для этого представим абсолютную погрешность в виде таблицы 5 на 10 элементов:

Видим, что для фильтра нижних частот с такими н.у. и при N=12 абсолютная погрешность аппроксимации метода частотной выборки равна 0.255 002.

Рассчитаем фильтр методом разложения в ряд Фурье для N=12.

Представим АЧХ в виде таблицы из 5 строк и 10 столбцов:

Оценим точность аппроксимации.

Для этого представим абсолютную погрешность в виде таблицы 5 на 10 элементов:

Видим, что для фильтра нижних частот с такими н.у. и при N=12 абсолютная погрешность аппроксимации метода разложения в ряд Фурье равна 0.285 909.

График ФЧХ:

Представим ФЧХ в виде таблицы 5 на 10 строк:

Рассчитаем фильтр методом наименьших квадратов для N=12.

Метод наименьших квадратов заключается в следующем:

Это условие эквивалентно следующей системе уравнений:

; m=0,1,k

С помощью этих коэффициентов получаем набор отсчетов импульсной характеристики, и зная то, что она симметрична (видно из таблиц импульсной характеристики) можем ее построить.

График АЧХ:

Представим АЧХ в виде таблицы из 5 строк и 10 столбцов:

Оценим точность аппроксимации.

Для этого представим абсолютную погрешность в виде таблицы 5 на 10 элементов:

Видим, что для фильтра нижних частот с такими н.у. и при N=12 абсолютная погрешность аппроксимации метода наименьших квадратов равна 0.285 909.

График ФЧХ:

Представим ФЧХ в виде таблицы 5 на 10 строк:

Рассчитаем фильтр методом частотной выборки для N=16.

Аппроксимирующая функция:

Импульсная характеристика (представляется в виде таблицы):

График АХЧ:

Представим АЧХ в виде таблицы из 5 строк и 10 столбцов:

Оценим точность аппроксимации.

Для этого представим абсолютную погрешность в виде таблицы 5 на 10 элементов:

Видим, что для фильтра нижних частот с такими н.у. и при N=16 абсолютная погрешность аппроксимации метода частотной выборки равна 0.327 083.

График ФЧХ:

Представим ФЧХ в виде таблицы 5 на 10 строк:

Рассчитаем фильтр методом разложения в ряд Фурье для N=16.

Импульсная характеристика (представляется в виде таблицы) Представим АЧХ в виде таблицы из 5 строк и 10 столбцов:

Оценим точность аппроксимации. Для этого представим абсолютную погрешность в виде таблицы 5 строк на 10 столбцов.

Видим, что для фильтра нижних частот с такими н.у. и при N=16 абсолютная погрешность аппроксимации метода разложения в ряд Фурье равна 0.231 067.

График ФЧХ:

Представим ФЧХ в виде таблицы 5 на 10 элементов:

Рассчитаем фильтр методом наименьших квадратов для N=16.

Метод наименьших квадратов заключается в следующем:

Это условие эквивалентно следующей системе уравнений:

; m=0,1,k

С помощью этих коэффициентов получаем набор отсчетов импульсной характеристики, и, то, что она симметрична (видно из таблиц импульсной характеристики) можем ее построить.

импульсный фильтр аппроксимация

График АЧХ:

Представим АЧХ в виде таблицы из 5 строк и 10 столбцов:

Оценим точность аппроксимации.

Для этого представим абсолютную погрешность в виде таблицы 5 строк на 10 столбцов:

Видим, что для фильтра нижних частот с такими н.у. и при N=12 абсолютная погрешность аппроксимации метода наименьших квадратов равна 0.224 135.

График ФЧХ:

Представим ФЧХ в виде таблицы 5 на 10 элементов:

Выводы При повышении порядка фильтра точность аппроксимации возрастает.

Максимальная точность аппроксимации достигается с помощью метода наименьших квадратов, а минимальная получается с помощью метода частотной выборки.

В дискретных отсчетах значения АЧХ совпадают с идеальными значениями.

Самую большую точность аппроксимации получается при применении метода наименьших квадратов при порядке N=16.