Расчет и исследование нерекурсивных и рекурсивных цифровых фильтров

МИНОБРНАУКИ РОССИИ ГОУ ВПО Пензенская государственная технологическая академия Факультет «ИПЭИС»

Кафедра «Информационные технологии и системы»

Контрольная работа

Дисциплина: «Цифровая обработка сигналов»

Тема: «Расчет и исследование нерекурсивных и рекурсивных цифровых фильтров»

Пенза 2012

1. Задание на работу

2. Ход работы

Расчет и исследование нерекурсивных фильтров Перечень решаемых задач:

расчет и исследование НЧ-фильтров;

расчет и исследование полосового фильтра.

1. Расчет и исследование НЧ-фильтров.

ФНЧ1

коэффициенты фильтра рассчитываются по формулам :

Таким образом, коэффициент ak (k=0,…, N) зависит от отношения частоты среза к частоте дискретизации. Поэтому при расчетах удобно использовать относительную частоту среза:

; .

Рассчитаем коэффициенты фильтра в соответствии с вариантом задания:

;

.

уравнение фильтра:

аналитическое выражение частотной характеристики фильтра :

Нд (w)=а0+2 ?ak cos (w к Тд) Нд (w)=0.1666+2[0,1326*cos (w Т)+0,0919*cos (w Т)+0,0531*cos (w Т)+ 0,0230* cos (w Т)+0,0053* cos (w Т)]

С помощью программы Matlab вычислить коэффициенты нерекурсивного фильтра нижних частот. Сопоставить (в табличной форме) расчетные и вычисленные с помощью программы Matlab коэффициенты фильтра, построить графики импульсного отклика, АЧХ и ФЧХ фильтра.

Рисунок 1 — Расчет коэффициентов фильтра с помощью Matlab

Рисунок 2 — Амплитуднои фазово-частотная характеристики фильтра Рисунок 3 — Импульсная характеристика фильтра Рисунок 4 — Структурная схема фильтра

Приведем в таблице коэффициенты фильтра расчетные и вычисленные в Matlab.

Таблица 1 — Коэффициенты фильтра

ФНЧ2:

коэффициенты фильтра :

а0=0,2222, а1=0,1705, а2=0,1045, а3=0,0459, а4=0091, а5=-0,0036

уравнение фильтра:

Аналитическое выражение частотной характеристики фильтра :

Нд (w)=а0+2 ?ak cos (w к Тд) Нд (w)=0.2222+2[0,1705*cos (w Т)+0,1045*cos (w Т)+0,0459*cos (w Т)+ 0,0091* cos (w Т)-0,0036* cos (w Т)]

С помощью программы Matlab вычислить коэффициенты нерекурсивного фильтра нижних частот. Сопоставить (в табличной форме) расчетные и вычисленные с помощью программы Matlab коэффициенты фильтра, построить графики импульсного отклика, АЧХ и ФЧХ фильтра.

Рисунок 5 — Расчет коэффициентов фильтра с помощью Matlab

Рисунок 6 — Амплитуднои фазово-частотная характеристики фильтра Рисунок 7 — Импульсная характеристика фильтра Рисунок 8 — Структурная схема фильтра

Приведем в таблице коэффициенты фильтра расчетные и вычисленные в Matlab.

Таблица 2 — Коэффициенты фильтра

По результатам расчета ФНЧ1 и ФНЧ2 рассчитать (без компьютера) коэффициенты полосового фильтра с частотами среза f c1 и fc2 (f c1 < fc2).

За основу берется ФНЧ с частотой среза в, которая соответствует верхней частоте среза искомого ПФ. Из спектра этого ФНЧ вычитается спектр другого ФНЧ с меньшей (нижней) частотой среза н. В результате останется спектр полосового фильтра с зоной прозрачности (пропускания) между н и в. Искомые коэффициенты ПФ рассчитываются по формуле:

ак, ПФ = ак, ФНЧ (в) — ак, ФНЧ (н)

Таким образом, коэффициенты полосового фильтра:

а0=0,2222−0,1666=0,056

а1=0,1705−0,1326=0,038

а2=0,1045−0,0919=0,013

а3=0,0459−0,0531=-0,007

а4=0,0091−0,0230=-0,014

а5=-0,0036−0,0053=-0,009

С помощью программы Matlab произвести расчет коэффициентов этого же полосового цифрового фильтра и построить графики его импульсной и частотной характеристик. Сопоставить (в табличной форме) расчетные и вычисленные с помощью программы Matlab коэффициенты полосового фильтра.

Рисунок 9 — Расчет коэффициентов фильтра с помощью Matlab

Рисунок 10 — Амплитуднои фазово-частотная характеристики фильтра Рисунок 11 — Импульсная характеристика фильтра Рисунок 12 — Структурная схема фильтра Приведем в таблице коэффициенты фильтра расчетные и вычисленные в Matlab.

Таблица 3 — Коэффициенты фильтра

Синтезировать входной сигнал в виде аддитивной смеси гармонического сигнала с шумом. Частота гармонического сигнала, амплитуда A=1, длительность. Шум — с нормальным распределением, нулевым средним значением и единичным стандартным отклонением. Произвести фильтрацию смеси сигнала с шумом, рассчитанным полосовым фильтром. Построить графики фильтруемой смеси и результата фильтрации.

Рисунок 13 — Simulink-модель фильтрации смеси сигнала с шумом Рисунок 14 — Отфильтрованный сигнал Сгенерировать и профильтровать (рассчитанным полосовым фильтром) сигнал в виде последовательности знакоположительных прямоугольных импульсов амплитудой A=1, длительностью, следующих с частотой. Относительная длительность импульсов. Построить графики фильтруемой смеси и результата фильтрации.

Рисунок 15 — Simulink-модель фильтрации сигнала с шумом Рисунок 16 — Отфильтрованный сигнал Что называется нерекурсивным цифровым фильтром?

Нерукурсивный цифровой фильтра — это фильтр, который не имеет обратной связи.

Что является отличительной особенностью НЦФ?

Отличительной особенностью НЦФ является зависимость выходного сигнала y (n) только от входных сигналов в настоящий момент времени x (n) и предыдущие моменты x (n-k).

Что характеризует порядок НЦФ?

Его характеризует число задержек.

Чем обусловлена задержка выходного сигнала в НЦФ?

Тем, что выходной сигнал в момент времени n можно вычислить только тогда, когда станут известными «будущие» входные отсчеты. Это означает необходимость задержки выходного сигнала фильтра относительно входного.

Почему НЦФ называют фильтром с конечной импульсной характеристикой (КИХ — или FIRфильтром)?

Последовательность отсчетов, соответствующих весовым коэффициентам фильтра ak, конечна, поэтому НЦФ имеет конечный импульсный отклик и называется фильтром с конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтром или FIR (finite impulse response filtre) фильтром).

Что называется относительной частотой среза?

Относительная частота среза — это отношение верхней частоты (частоты среза) спектра аналогового сигнала к частота дискретизации сигнала, выраженное в радианах.

Что называется всечастотным фильтром?

Всечастотный фильтр (ВФ) — это фильтр, который пропускает без ослабления все частоты.

3. Расчет и исследование нерекурсивных фильтров

Перечень решаемых задач:

расчет и исследование НЧ-фильтров Баттерворта 2-го порядка;

расчет и исследование полосового фильтра Баттерворта 2-го порядка.

Порядок выполнения работы:

Произвести расчет ФНЧ1, ФНЧ2 и полосового рекурсивных фильтров по тем же исходным данным, что и для нерекурсивных фильтров (т.е. частоты среза и частоту дискретизации брать из таблицы 1), с теми лишь отличиями, что:

для всех вариантов принимать порядок фильтра N=2;

тип фильтра выбирать во всех случаях одинаковый — Баттерворта;

ручной расчет коэффициентов фильтра и не производить;

синтез фильтров производить только с помощью программы Matlab, по результатам синтеза записать аналитические выражения для импульсной и комплексной частотной характеристик всех синтезированных фильтров;

Рисунок 17 — Расчет коэффициентов фильтра с помощью Matlab

Рисунок 18 — Амплитуднои фазово-частотная характеристики фильтра Рисунок 19 — Импульсная характеристика фильтра Рисунок 20 — Структурная схема фильтра Аналитическое выражение для импульсной характеристики:

Аналитическое выражение для комплексной частотной характеристики:

Рисунок 21 — Расчет коэффициентов фильтра с помощью Matlab

Рисунок 22 — Амплитуднои фазово-частотная характеристики фильтра Рисунок 23 — Импульсная характеристика фильтра Рисунок 24 — Структурная схема фильтра Аналитическое выражение для импульсной характеристики:

Аналитическое выражение для комплексной частотной характеристики:

Рисунок 25 — Расчет коэффициентов фильтра с помощью Matlab

Рисунок 26 — Амплитуднои фазово-частотная характеристики фильтра Рисунок 27 — Импульсная характеристика фильтра Рисунок 28 — Структурная схема фильтра Аналитическое выражение для импульсной характеристики:

Аналитическое выражение для комплексной частотной характеристики:

произвести фильтрацию сигналов полосовым фильтром с помощью программы Matlab.

Рисунок 29 — Simulink-модель фильтрации смеси сигнала с шумом Рисунок 30 — Отфильтрованный сигнал Рисунок 31 — Simulink-модель фильтрации сигнала с шумом Рисунок 32 — Отфильтрованный сигнал

Выходной сигнал рекурсивного ЦФ в каждый момент времени зависит не только от входных сигналов, но и от выходных в предшествующие моменты времени.

Как влияет порядок фильтра на его характеристики (крутизну подъема или спада АЧХ, величину пульсаций)?

Порядок фильтра влияет на выраженность пика и величину вторичных «волн» проходной характеристики.

Как понять термин «бесконечная импульсная характеристика» фильтра?

Выходной сигнал РЦФ зависит и от выходных сигналов в предшествующие моменты времени. Поэтому импульсная характеристика такого фильтра является бесконечной.

Почему фильтры Баттерворта называют фильтрами с «максимально гладкой характеристикой»?

Потому что фильтры Баттерфорда обеспечивают максимально плоскую характеристику в зоне пропускания. Он имеет монотонную гладкую АЧХ во всем частотном диапазоне.

В чем смысл и полезность Z-преобразования для анализа и расчета цифровых фильтров?

В трансформации передаточной характеристики некоего ФНЧ, именуемого «ФНЧ-прототип», в передаточную характеристику нужного фильтра (НЧ, ВЧ, полосового), с последующей заменой .

Выводы

фильтр сигнал шум мatlab

В результате проведения работы были синтезированы и рассчитаны рекурсивные и нерекурсивные фильтры низких частот. В результате работы, рассчитанные вручную коэффициенты совпадают с полученными с помощью компьютера. Дискретное преобразование Фурье, используемое во всех непараметрических методах спектрального оценивания, подразумевает периодическое продолжение анализируемого фрагмента сигнала. При этом на стыках фрагментов могут возникать скачки, приводящие к появлению боковых лепестков значительного уровня в спектральной области. Для ослабления этого эффекта сигнал перед выполнением ДПФ умножают на спадающую от центра к краям весовую функцию (окно). В результате величина скачков на стыках сегментов уменьшается, меньше становится и уровень нежелательных боковых лепестков спектра — платой за это является некоторое расширение спектральных пиков. Помимо спектрального анализа весовые функции применяются при синтезе нерекурсивных фильтров путем обратного преобразования Фурье желаемой частотной характеристики. В этом случае они позволяют увеличить подавление сигнала в полосе задерживания фильтра за счет некоторого расширения полосы пропускания.