Вычислить выражения, используя определения и свойства скалярного и векторного произведений

а) б).

если, |, j=2p/3.

Решение. а) Раскроем скобки, учитывая свойства скалярного произведения векторов:

.

Далее из определения скалярного произведения следует:

.

б) Раскроем скобки, учитывая свойства векторного произведения векторов:

.

Далее из определения векторного произведения следует:

.

Даны координаты вершин пирамиды ABCD. Найти: а) объем пирамиды, б) площадь грани ABC, в) косинус угла между ребрами AB и AC, г) уравнение прямой АВ, д) уравнение плоскости АВС, если A (3;-2;-4), B (-5;3;4), C (1;-3;2), D (4;1;-2).

Решение. Найдем координаты векторов :

.

а) Объем пирамиды ABCD вычислим по формуле:

.

Поскольку:

.

Следовательно,.

б) Площадь грани ABC вычислим по формуле:

.

Поскольку:

.

Тогда площадь грани ABC будет равна:

в) Для того чтобы найти косинус угла между ребрами AB и AC найдем косинус угла между векторами и :

.

Тогда:

.

г) Для того чтобы найти уравнение прямой AB, воспользуемся формулой для прямой, проходящей через две точки:

Поставим сюда координаты точек A и B:

.

или:

.

д) Для того чтобы найти уравнение плоскости ABC, воспользуемся формулой для плоскости, проходящей через три точки:

.

Поставим сюда координаты точек A, B и C:

.

Вычислим этот определитель, разлагая его по первой строке:

Раскрывая скобки и приравнивая нулю полученное выражение, получим уравнение искомой плоскости:

.

или.

.