Интегрирование по частям

Теорема 11.3. Пусть функции и (х) и v (x) определены и дифференцируемы на промежутке Xи функция w'(x) v (x) имеет первообразную на этом промежутке. Тогда функция ы (х) v'(x) также имеет первообразную на промежутке X, причем справедлива формула.

Доказательство. По правилу дифференцирования произведения функций имеем: откуда следует

В правой части последнего равенства первое слагаемое имеет первообразную функцию w (x)v (x) на X, второе слагаемое имеет первообразную на X по уело*- вию. Следовательно, и левая часть имеет первообразную на X, которая находится путем интегрирования этого равенства. Формула (11.3), а значит, и теорема доказаны. ?

С учетом вида дифференциала функции v'(x) dx = dv и u'(x) dx = du равенство (11.3) часто используют в форме:

Равенство (11.3) или (11.4) называется формулой интегрирования по частям. В интегрировании по частям самым сложным пунктом является выбор в подынтегральном выражении сомножителя v'(x) dx = dv. Под знак дифференциала d можно в принципе внести все, что угодно; однако выбор должен быть таким, чтобы интеграл в правой части (11.3) был бы проще исходного, а не сложнее. В этом смысле метод интегрирования по частям позволяет свести интеграл Jwdv к интегралу Jvdw, вычисление которого должно быть более простым.

Найдем следующие интегралы методом интегрирования по частям. Пример 8. Jin xdx.

Здесь берем и (х) = In х, dv = dx, т. е. v = х. По формуле (11.3) получаем:

В общем случае интегралы типа Jx" In xdx, где п ф -1 — целое число, берутся только интегрированием по частям: и = In х, х^п dx = dv, т. е. v = х^{п +} '/(л + 1).

Пример 9. Jxe*dx.

В этом случае и = х, е^х dx = dv = d (е^х), тогда по (11.3) имеем:

Интегралы вида Jx^rt e**dx, где п > 0 — целое число и к * 0 — любое число, берутся /i-кратным интегрированием по частям до исчезновения степени х в подынтегральной функции; при этом каждый раз под знак d вносится е**, т. е.

^dx = dv = id (e^br). к

Пример 10. Jx² cosxdx.

Интегралы вида JVcosfcxdx и JVsintadx, где к — любое число ия>0- целое число, вычисляются так же, как и интеграл общего вида, приведенный в примере 9. Под знак d каждый раз вносится тригонометрическая функция, и процедура интегрирования по частям повторяется п раз: cos кх dx = dv = — d (sin Ax),.

i *.

затем sin Axdx = -—d (cosAx) и т. д. В данном случае мы имеем:

Пример 11. Jarctg >/3x-l dx.

Здесь ничего нельзя предложить, кроме как и — arctg fix —1, dv = dx. Интегрирование по частям даст:

Вычисление последнего интеграла проводилось с заменой переменной / = Зх — 1.

Пример 12. /" = Г—^—, где п — целое положительное число.

^{л J}(x² + l)^w

При п — 1 получаем табличный интеграл III:

Пусть п > 1. Выполним тождественное преобразование числителя подынтегральной функции: 1 = (х² + 1) -х². Подставляя в интеграл, получаем:

Для нахождения второго интеграла применим метод интегрирования по частям, полагая:

откуда v = f—V — - =——-^-г (см. пример 7 из п. 11.4.2); тогда имеем:

^J(x² + ir 2(л-1) (х² + 1)^л".

Подставляя в исходный интеграл, получаем: и после приведения подобных следует окончательный ответ.

Интеграл /_л оказался выраженным через /_л_,. Формулы вида (11.6) называются рекуррентными формулами. Для вычисления интеграла /_л при любом п теперь нет нужды в проведении интегрирования: зная значение /, из (11.5), по формуле (11.6) последовательно вычисляем /₂, …, /_л_, /_л. Примененное интегрирование по частям позволило установить саму формулу (11.6).

Покажем использование формулы (11.6). Найдем интеграл f—.

^J (х² +1)²

При п — 2 получаем: /₂=- * + -arctgх + С.

2 х² +1 2.