Природа математических моделей

Мы решаем техническую задачу. С каким множеством самых разнообразных проблем мы при этом сталкиваемся! Для анализа некоторых из них наша интуиция способна сразу подсказать разумные подходы. Однако далеко не всегда удается приблизиться к сути исследуемого процесса на уровне интуиции, особенно если задача достаточно сложна и не укладывается в рамки традиционных представлений. Нужны методы универсальные, позволяющие в самых разнообразных ситуациях найти эффективный способ решения.

Методы моделирования занимают важное место в научных исследованиях. Моделирование может осуществляться самыми разнообразными путями: например, при помощи различных механических, электрических, оптических, гидродинамических построений, схем, конструкций и т. д. Развитие научно-технического прогресса, особенно в последние десятилетия, все более опирается на возможности математического моделирования как мощного инструмента в познании мира. Выделяя главное и отбрасывая второстепенное, отличая внешние признаки в системе — явлении, от свойств глубинных, определяющих сущность, эти методы позволяют понять смысл разнообразных процессов в природе и технике, предсказать их развитие. Идеи, приводящие к пониманию математического исследования, были известны уже давно, но лишь совсем недавно метод приобрел новое звучание, соответствующее духу эпохи, давшей нам ЭВМ.

Сложнейшие математические задачи, которые раньше могли решаться лишь «в принципе» из-за невозможности выполнения колоссального объема вычислений, сейчас стали решаться быстро и с высокой степенью точности, что приблизило математику к реальным потребностям деятельности человека. Математическое моделирование, благодаря вычислительной технике, позволило создать автоматизированные системы управления, которые могут функционировать как в масштабах отдельного предприятия, так и целой отрасли, появились системы автоматизированного проектирования, поражающие феноменальными возможностями машинной графики, а также робототехника, освободившая человека от тяжелого, однообразного труда, и многое другое, что определяет научно-технический уровень современного производства. Сегодня можно со всей определенностью сказать, что успешное решение как глобальных научно-технических проблем, так и частных задач конструирования во многом определяется успехами математического моделирования.

Так что же такое математическое моделирование? Почему именно в технике столь велико его значение? Чтобы ответить на эти вопросы, необходимо исследовать ступени процесса познания, приводящие к созданию математической модели. Необходимо выяснить специфику этого метода решения технических задач. Требуется разобраться, почему именно технические задачи в своем описании близки к языку математики.

Математическую модель можно определить как приближенное описание какого-либо явления или класса явлений с помощью математической символики.

Появление математической модели связано с абстрагированием реальности. Возможно, наши глубокие предки были очень горды собой, когда сумели понять, что, к примеру, три стрелы, три дерева, три камня можно обобщить термином ТРИ ПРЕДМЕТА, а потом представить себе три — как ЧИСЛО 3, над которым допустимо производить действия, специально не интересуясь тем, какие объекты им обозначены. Так, вероятнее всего, появились первые абстракции зарождающейся науки — математики. И не только в математике возникали абстракции. Идея Бога явилась для человека тоже абстракцией, способом видения своей истории, действительности и будущего человечества. Насколько эта абстракция близка к истине? Вопрос вечный. Но теперь, однако, ясно, что ни одна наука не обладает столь высоким уровнем абстрагирования, как математика. Для нее это не самоцель, а способ познания материального мира и самих математических объектов.

Абстрагируясь, математика вновь и вновь возвращается к истокам исследуемой проблемы, постоянно выверяя все гипотезы и предположения — с тем, чтобы сделать следующий виток в познании действительности.

Как же возникают абстракции? Что нам мешает изучать объект таким, какой он есть? Рассмотрим простой пример. Пусть требуется найти площадь земельного участка произвольной формы. Земледелец далекого прошлого, умеющий вычислять разве что площадь квадрата, представил бы участок именно в такой форме и приближенно решил бы задачу. Участок, рассматриваемый как квадрат, уже есть абстракция. Мы отвлеклись от некоторых особенностей геометрической формы обрабатываемой земли с тем, чтобы задача оказалась посильной для решения. Однако результат может получиться очень неточным, если истинная форма участка далека от квадрата. Желая улучшить качество решения, можно мысленно разбить участок на более мелкие квадраты и суммировать их площади. В дальнейшем человек постиг приемы вычисления площадей прямоугольников, треугольников, трапеций. Это позволило решать данную задачу точнее. А когда математики научились вычислять площадь произвольной плоской области, такая задача стала разрешима для любой конкретной ситуации. Вообще, задачи земледелия были предвестниками многих математических теорий, которые легли в основу современной математики. Правда, при решении нашей задачи обнаруживается, что уж слишком большая степень точности здесь вовсе не требуется, поэтому и математическую модель не следует излишне усложнять.

Решая искомую задачу, мы осуществили абстрагирование почти подсознательно, не заостряя особо на этом внимание. Однако далеко не всегда процесс абстрагирования так прост.

Представим себе запуск космического корабля. Зрелище, безусловно, захватывающее. А как наблюдают старт специалисты? Они располагаются в Центре управления полетом, быть может, далеко от космодрома, следя за вереницей цифр и графиков, появляющихся на экране дисплея. Кто же полнее воспринимает происходящее? Эмоционально — конечно, зрители. Специалисты, однако, могут предвидеть все нюансы процесса вывода корабля на расчетную орбиту. Это становится возможным благодаря математическим моделям, описывающим космическую экспедицию. Чтобы их создать, необходимо учесть почти невообразимое многообразие особенностей конструкции корабля, а также факторов, определяющих его работу. Эта проблема может оказаться реально неразрешимой, если не научиться выделять и отбрасывать второстепенные характеристики изучаемого объекта. Некоторыми его свойствами можно пренебречь со всей очевидностью.

Однако далеко не всегда ясно, какими именно и до какой степени. В этом состоит одна из трудностей применения метода математического моделирования. Процесс абстрагирования, приводящий нас к математической модели, очень сложен и предполагает восхождение от предмета исследования, наделенного многообразием свойств, к математическому описанию, которое по своей природе обладает уже определенной независимостью от содержания и развивается по логике математических понятий. Если абстрагирование выполнено верно, то в результате математического анализа модели мы получим оценки, правильно отражающие свойства изучаемого объекта.