Функция общественного блага

Близкой к задаче группового решения является задача построения функции общественного блага, в которой по заданным индивидуальным предпочтениям требуется построить предпочтение группы, называемой в этом случае обществом.

Особенность задачи состоит в том, что альтернативы интерпретируются не как кандидаты на выборах, а как распределения общественных благ, в частности, доходов между членами общества. Оптимальность распределения благ такой задачи должна выражать некоторые этические нормы, социальную справедливость, то или иное понимание равенства социально-экономических возможностей для членов общества и т. п. Если вместо индивидуальных предпочтений заданы функции полезности и требуется построить функцию для общества, то такую задачу можно рассматривать как задачу многокритериальной оптимизации.

Рассмотрим принцип оптимальности — принцип Ролса, используемый в экономических и социологических приложениях.

Пусть М — конечное множество индивидуумов, X— множество альтернатив, в качестве которых выступают состояния общества, распределения благ и т. п., — предпочтение индивидуума (эксперта) i на X.

Задача состоит в определении такого состояния общества, которое можно было бы интерпретировать как «социально справедливое». Для этого надо уметь сравнивать состояния общества с точки зрения межиндивидуальных сравнений, например «состояние х_j для индивидуума i более предпочтительно, чем состояние х_к индивидуума l».

Предположим, что межиндивидуальные сравнения заданы в виде упорядочения? на МхХ. Запись (i, х_j)? (l, х_k) имеет следующий смысл: «для i состояние х_j менее предпочтительно, чем х_к для l». Упорядочение? связано с индивидуальными предпочтениями, но из них не выводится, так как оно содержит дополнительную информацию.

Функцией общественного блага называется правило ?, ставящее в соответствие каждому упорядочению? на МхХ некоторое предпочтение общества? на X:? =?(?).

Функция общественного блага? должна быть такой, чтобы наиболее предпочитаемое по? состояние общества согласовалось с интуитивными представлет ми социально справедливого состояния.

Приведем набор свойств функции? (аксиом):

Q1. Универсальность. Функция? определена на семействе всех отношений? МхХ.

Q2. Независимость от посторонних альтернатив. Если сужения двух упорядочений? и ?' на некоторую пару альтернатив из X совпадают, то совпадают и сужения на эту пару предпочтений ?(?) ?(?').

Q3. Анонимность. Если? и ?' отличаются лишь тем, что для некоторого х, всех i, l€М и некоторой перестановки? элементов множества М:

Большинство аксиом уже использовалось ранее.

з Аксиома Q3 сильнее обычных аксиом анонимности, ибо позволяет переставлять элементы строки, а не только столбцы. Однако в присутствии аксиомы независимости от посторонних альтернатив из обычной анонимности следует Q3.

Содержательно аксиома справедливости Q5 требует, чтобы решение общества принималось в пользу того индивида, который находится в худшем положении.

Аксиома Q6 имеет тот же смысл, что и аксиома объединения групп В2.

В приводимой ниже теореме аксиомы Q1-Q6 определяют следующий лексикографический принцип оптимальности.

Обозначим через i (x) индивид, стоящий на i-м месте в цепочке:

(j₁, x)? (j₂, x)… ?(j_m, x), т. е. i (x)= j_i.

Если в цепочке для некоторых j_k и j_k+1 имеет место эквивалентность, то взаимное расположение j_k и j_k+1 фиксируем произвольно.

Функция общественного благосостояния ?(?)? называется лексиминной, если для любых x_j,х_к €X имеет место x_j? х_к тогда и только тогда, когда существует:

Теорема. Аксиомы Q1—Q6 однозначно определяют лексиминную функцию общественного блага ?.