Задание 7. Изучить методы сглаживания рядов динамики скользящей средней и аналитического выравнивания

Изучить методы сглаживания рядов динамики скользящей средней и аналитического выравнивания. По показателю фонда заработной платы (данные таблицы 1) выполнить подробные вспомогательные и основные расчеты. Теоретически обосновать расчеты и полученные результаты.

Целью аналитического выравнивания динамического ряда является определение аналитической или графической зависимости у_t. На практике по имеющемуся временному ряду задают вид и находят параметры функции, а затем анализируют поведение отклонений от тенденции. Функцию выбирают таким образом, чтобы она давала содержательное объяснение изучаемого процесса. Линейная зависимость (y_t=a_o+a₁t) выбирается в тех случаях, когда в исходном временном ряду наблюдается более или менее постоянные абсолютные цепные приросты, не проявляющие тенденции ни к увеличению, ни к снижению.

Параболическая зависимость (y_t=a_o+a₁t +a₂t²) используется если абсолютные цепные приросты сами по себе обнаруживают некоторую тенденцию развития, но абсолютные цепные приросты абсолютных цепных приростов (разности второго порядка) никакой тенденции развития не проявляют.

Экспоненциальные зависимости (у = ехр/ a_o + a₁t) применяются, если в исходном временном ряду наблюдается либо более или менее постоянный относительный прирост (устойчивость цепных темпов роста, темпов прироста), либо, при отсутствии такого постоянства, — устойчивость в изменении показателей относительного роста (цепных темпов роста).

Оценка параметров зависимости может быть сделана методами избранных точек, наименьших расстояний, наименьших квадратов. В большинстве расчётов используют метод наименьших квадратов, рассматриваемый в курсе математической статистики. По этому методу, например, для нахождения параметров прямой линии необходимо решить следующую систему уравнений:

Для линейной зависимости параметр a_o обычно интерпретации не имеет, но иногда его рассматривают как обобщённый начальный уровень ряда; а1 — сила связи, т. е. параметр, показывающий, на сколько изменится результат при изменении времени на единицу.

Проведем поиск линейной зависимости методом наименьших квадратов.

Для расчетов построим таблицу.

Сводная таблица для линейной функции.

Метод аналитического выравнивания.

Решение системы линейных уравнений.

Выразим отсюда а₀ и а₁:

• 12a₀+78a₁=2 888 460
• 78a₀+650a₁= 18 971 590

a₀= (2 888 460−78a₁)12.

• 78(2 888 460−78a₁)12+650a₁=18 971 590
• 18 774 990−507a₁+650a₁=18 971 590
• 143a₁=196 600

a₁=1374,8.

a₀= (2 888 460−78*1374,8)/12=2 781 223,64/12=231 768,64.

Найдя значение a₁и a₀ можно построить уравнение.

yt=а₀+a₁*t.

yt=231 768,64+1374,8*t.

подставляя сюда значение t, получим выровненный ряд динамики и теоретические значения показателя (Yрасч).

Вывод: Линейный прогноз для фонда заработной платы по месяцам описывается формулой yt=231 768,64+1374,8*t, где t — номер месяца в году, а yпрогнозируемый размер фонда.

При методе скользящих средних исходные уровни ряда заменяются средними величинами, которые получают из данного уровня и нескольких симметрично его окружающих. Целое число уровней, по которым рассчитывается среднее значение, называют интервалом сглаживания. Интервал может быть чётным или нечётным.

Метод скользящей средней.

Производим сглаживание исходного ряда динамики фонда оплаты труда методом 4-х звенной скользящей средней (скользящая средняя за квартал). Так как данные средние приходятся на период между кварталами поэтому при сглаживании скользящие средние необходимо центровать (центрированная СС). Центрирование производим путем нахождения средней арифметической простой из смежных уровней, при этом теряем еще один уровень.

Вывод. Как показывают данные значения скользящей средней на протяжении анализируемого периода систематически возрастали, что восходящей тенденции изменения фонда оплаты труда.