Вычисление U-критерия Манна — Уитни

Допустим, что тип распределения данных не является нормальным, тогда для обработки таких данных необходимо воспользоваться непараметрическими критериями, например //-критерием Манна — Уитни.

Данный метод выявления различий между выборками был предложен в 1945 г. Фрэнком Уилкоксоном (Frank Wilcoxon). В 1947 г. он был существенно переработан и расширен X. Б. Манном и Д. Р. Уитни, по именам которых сегодня обычно и называется.

Исторический экскурс Генри Бертольд Манн (Henry Berthold Mann, 1905—2000) — австрийский математик, который провел большую часть жизни в США, преподаватель математики и статистики в Университете штата Огайо. Манн издал первую математическую книгу по дизайну экспериментов. Его ученик Дональд Рансом Уитни (Donald Ransom Whitney, 1915—2001) — американский статистик. После Второй мировой войны он получил докторскую степень под руководством Генриха Манна. Сыграл значительную роль в создании факультета статистики в Университете штата Огайо (источники: http://oxforclindex.oup.com/view/10.1093/oi/authority.20 110 803 100 131 152, http:// oxfordindex.oup.com/view/10.1093/oi/authority.20 110 803 122 334 856).

Метод используется для сравнения двух независимых выборок по уровню какого-либо признака, измеренного количественно. Он основан на определении того, достаточно ли мала зона перекрещивающихся значений между двумя вариационными рядами (ранжированным рядом значений параметра в первой выборке и таким же во второй выборке).

Значения критерия Манна — Уитни можно вычислять не только через ранги, как было показано выше, но и через так называемые инверсии, поэтому у критерия Манна — Уитни есть и другое название — критерий числа инверсий. Число инверсий обозначают буквой //, откуда и пошло название самого критерия^[1].

В отличие от других критериев //-критерий Манна — Уитни является исключением из правила принятия решения о достоверности различий, а именно, мы можем констатировать достоверные различия, если //_эмпир < < //_крих. Чем меньше значения //, тем достоверность различий выше.

Интерпретация данного критерия предполагает, что:

• • если 1/_эмпир > ?/_крит, то принимается гипотеза Я₀;
• • если и_эмшр< ?/_крит, то принимается гипотеза Н_х.

Начальным этапом расчета является ранжирование сравниваемых рядов (т.е. «приведение их к общему знаменателю»).

Ранжирование — это замена числовых значений ряда порядковыми номерами этих значений при расположении их от большего к меньшему (в порядке убывания).

Если в ряду имеется несколько одинаковых значений, то каждому из них присваивается одинаковый ранг, равный среднему арифметическому номеров, занимаемых этими одинаковыми значениями.

Пример 7.2

Ранжируя произвольный ряд данных, состоящий из 12 значений, получаем следующие значения рангов (табл. 7.7).

Таблица 7.7.

Пример ранжирования ряда

Ранги двух одинаковых значений 75 в этом примере равны 3,5 ((3-е место + + 4-е место)/2 = 3,5), ранги значений 14 равны 9 ((8 + 9 -г 10)/3 = 9).

Рассмотрим применение критерия на следующем примере.

Пример 7.3

Пусть в некоторой школе два класса изучают одну и ту же тему, но с использованием различных педагогических технологий обучения. Каждому классу соответствует выборка, состоящая из учащихся этого класса. Каждое значение в выборке — эго числовая оценка усвоения новой темы. Требуется определить: можно ли утверждать, что одинаков разброс усвоения при использовании той или технологии. Исходные данные приведены в табл. 7.8.

Таблица 7.8

Числовая оценка усвоения темы учащимися в выборках двух классах, обучающихся с использованием различных педагогических технологий

Решение

Составим единый ранжированный ряд из обеих сопоставляемых выборок нашей задачи, расставив их элементы по степени нарастания признака и приписав меньшему значению меньший ранг.

Общее количество рангов получится равным N= п_Л + п₂, где щ — количество единиц в первой выборке; п₂ — количество единиц во второй выборке.

Далее необходимо разделить единый ранжированный ряд на два, состоящие соответственно из единиц первой и второй выборок. Подсчитаем отдельно сумму рангов, пришедшихся на долю элементов первой выборки, и отдельно — на долю элементов второй выборки (табл. 7.9).

Таблица 7.9

Подсчет ранговых сумм, но выборкам двух классов, обучающихся с использованием различных педагогических технологий

Тогда N=351. Можно проверить, что ранжирование проделано верно, используя формулу п (п + 1)/2, где п — объем единой выборки, т. е. 26 • 27/2 = 351. Результаты совпадают, значит, ранжирование выполнено верно.

Далее необходимо определить большую из двух ранговых сумм, которая обозначается Т_г В данном случае Т_х= 186.

Теперь сформулируем гипотезы:

Н₀: группа учащихся класса 2 не превосходит группу учащихся класса 1 по показателям усвоения новой темы;

Н|Г группа учащихся класса 2 превосходит группу учащихся класса 1 по показателям усвоения новой темы.

После этого определяем эмпирическое значение критерия по формуле.

где п_л — количество испытуемых в выборке 1 ;п₂ — количество испытуемых в выборке 2; Т_х — большая из двух ранговых сумм; п_х — количество испытуемых в группе с большей суммой рангов.

Итак, и_эипир = 14−12 + -186 = 60.

Используя уровень значимости, равный 0,05, находим критическое значение [/-статистики на основании таблицы критических точек для (/-критерия Манна — Уитни (см. приложение, табл. П.5).

Имеем (/_крнт = 51, поэтому (/_эм«_ир^> С/_крит, следовательно, гипотеза #₀ подтвердилась. Значит, несмотря на различия в педагогических технологиях, показатель усвоения новой темы классом 2 не превосходит показатель усвоения новой темы учащимися класса 1.

Условия использования U-критерия Manna — Уитни следующие.

• 1. В каждой из выборок должно быть не менее трех значений признака. Допускается, чтобы в одной выборке было два значения, но во второй тогда не менее пяти.
• 2. В каждой выборке должно быть не более 60 значений признака.
• 3. В выборочных данных не должно быть совпадающих значений (все числа — разные) или таких совпадений должно быть очень мало.

• [1] Сороково М. Г. Математические методы в психологии: иепараметрическая статистика: учеб, пособие. М.: Изд-во МГППУ, 2011.