Содержательная постановка задачи

Задание № 1.1. Расчет матрицы изгибающих моментов.

Требуется разработать программный продукт расчета матрицы изгибающих моментов для стержневого элемента (балки) при воздействии на неё изменяющихся нагрузок в равноотстоящих сечениях (рис.1).

Рис. 1 Равноотстоящие нагрузки на стержневом элементе

Вариант 15. Со сканирующей нагрузкой, т. е. изменение вектора нагрузки обусловлено перемещением нагрузки Рск последовательно с сечения с номером 1 по сечение номер К.

Исходные данные.

Длина балки L=3,66 м;

Количество сечений К=4;

Величина нагрузки в сечениях Р1=1,2; Р2=6,4; Р3= -5,8; Р4= -0,6;

Величина сканирующей нагрузки Рск= -1,6.

Математическая модель задачи

Рассмотрим балку длиной L, на которую в К равноотстоящих сечениях воздействуют нагрузки (рис.1).

Представим нагрузку на балку в виде вектора. Каждый элемент вектора-столбца равен значению нагрузки, воздействующей на балку в сечении с номером, соответствующем индексу строки вектора:

Знак значении элемента вектора в соответствующем сечении определяется направлением его воздействия на балку: знак «+» при воздействии элемента на балку и знак «-» при направлении воздействия от балки.

Известно, что матрица изгибающих моментов равна произведению матрицы влияния изгибающих моментов размерности [K*K] на вектор нагрузок размерности [K]:

= * .

Элемент матрицы влияния изгибающих моментов S (i, j) равен изгибающему моменту в i-м сечении при единичной нагрузке в сечении j, т. е. при условии Pj=1. Таким образом, элементы строки матрицы представляют значения изгибающих моментов в сечениях, соответствующих индексу строки от воздействия единичной силы, расположенной в сечении с номером столбца. Строка матрицы влияния образует собой линию влияния с номером этой строки. Матрица влияния представляет собой произведение некоторой матрицы на константу:

Матрица имеет размерность матрицы, а её элементы определяются по формуле:

A[i, j]=(K — i + 1)*j (при i? j).

Матрица симметрична, т. е. A[i, j]=A[j, i].

Следовательно, чтобы рассчитать матрицу изгибающих моментов, необходимо:

• 1. Определить количество сечений К.
• 2. Найти элементы матрицы из условия

A[i, j]=(K — i + 1)*j (при i? j) и условия симметрии.

3. Найти элементы матрицы влияния по формуле:

.

Для удобства расчетов введем коэффициент.

4. Определить элементы вектора при условии воздействия Рск на сечение с номером i:

P[i]=P0[i]+Pск,.

P[j]=P0[j], при j? i.

Для i от 1 до К получаем К векторов.

5. Рассчитать элементы матрицы как произведение.

= *.

для рассчитанных векторов .

Результатом произведения матрицы размерности К на вектор-столбец размерности К будет также вектор-столбец размерности К, i-тый элемент которого равен сумме произведений элементов i-той строки матрицына соответствующий им элемент вектора-столбца, т. е.:

.

Учитывая, что вектор будет изменяться К раз, получим К векторов-столбцов результатов расчета. Иными словами, получим матрицу изгибающих моментов размерности [K*K], каждый i-ый столбец которой равен изгибающим моментам в сечениях при воздействии сканирующей нагрузки на i-ое сечение.

язык программирование pascal.

Таблица. Спецификация.

Ис. обоз. в зад.	Значение.	Тип.	Идентиф.	Вид.	Формат.	Размер.	Назначение.
L.	3,66.	Действительный.	L.	Простая.	Длина балки.
Pск.	— 1,6.	Действительный.	Pck.	Простая.	Сканирующая нагрузка.
K.		Целый.	K.	Простая.	Количество сечений.
P1,P2,P3,P4.	1,2; 6,4; -5,8; -0,6.	Действительный.	P0.	Массив одномерный.	[1.K].	Нагрузка в сечениях.
A[i, j]=(K-i+1)*j (при i? j).	Действительный.	А.	Массив двумерный.	[1.K, 1. K].	Для расчета мат. влияния.
Действительный.	b.	Простая.	Для удобства расчетов.
Действительный.	S.	Массив двумерный.	[1.K, 1. К].	Матрица влияния.
P[j]=P0[j]+Pск, при j=i; P[j]=P0[j], при j? i.	Действительный.	P.	Массив одномерный.	[1.K].	Нагрузка при сканирующей нагрузке в i-m сечении.
= *.	Действительный.	M.	Массив двумерный.	[1.K, 1. К].	Матрица изгиб. моментов.
i, j.	Вспомогат. переменные.

Структурная схема алгоритма в виде блок-схемы.

Схема Схема.