Логические операции. 
Арифметические и логические операции в информатике

Высказывания бывают простые и сложные. Простые высказывания нельзя разделить на более мелкие высказывания, например: «Сейчас идет дождь» или «Форточка открыта». Сложные (составные) высказывания строятся из простых с помощью логических связок (операций) «И», «ИЛИ», «НЕ», «если…, то», «тогда и только тогда».

В булевой алгебре высказывания обычно обозначаются латинскими буквами. Таким образом, мы уходим от конкретного содержания высказываний, нас интересует только их истинность или ложность.

Операция «НЕ»

Операция «НЕ» часто называется отрицанием или инверсией. В алгебре логики всего два знака, 0 и 1, поэтому логические отрицание — это переход от одного значения к другому, от 1 к 0 или наоборот. Если высказывание A истинно, то «не А» ложно, и наоборот.

Для обозначения операции «НЕ» используется несколько способов. Выражение «не А» в алгебре логики записывается как В или А, в языках программирования Паскаль и Бейсик — как not A, в языке Си — как! A.

Операцию «НЕ» можно задать в виде таблицы:

Эта таблица состоит из двух частей: слева перечисляются все возможные значения исходного сигнала (их всего два — 0 и 1), а в последнем столбце записывают результат выполнения логической операции для каждого из этих вариантов. Такая таблица называется таблицей истинности логической операции.

Операция «И»

Операция «И» (в отличие от «НЕ») выполняется с двумя логическими значениями, которые мы обозначим как A и B. Результат этой операции в алгебре логики записывают как А?B, АB.

В таблице истинности будет уже не один столбец с исходными данными, а два.

Число строк также выросло с 2 до 4, поскольку для 2 бит мы получаем 4 разных комбинации: 00, 01, 10 и 11. Эти строчки расположены в определенном порядке: двоичные числа, полученные соединением битов A и B, идут в порядке возрастания (слева от таблицы они переведены в десятичную систему). Как следует из определения, в последнем столбце будет всего одна единица, для варианта A = B = 1.

Легко проверить, что этот результат можно получить «обычным» умножением A на B, поэтому операцию «И» называют логическим умножением. Существует и другое название этой операции — конъюнкция (от латинского conjunctio — союз, связь).

Операция «ИЛИ»

Операцию «ИЛИ» называют логическим сложением, потому что она похожа на обычное математическое сложение. Единственное отличие — в последней строке таблицы истинности: в математике 1+1 равно 2, а в алгебре логики — 1.

Другое название операции «ИЛИ» — дизъюнкция (от латинского disjunctio — разделение).

В учебнике для обозначения операций «И» и «ИЛИ» мы будем использовать знаки умножения и сложения (например, А?B и А+B). Это очень удобно потому, что они привычны для нас и позволяют легко увидеть аналогию с обычной математикой.

Импликация

Импликация — бинарная логическая связка, по своему применению приближенная к союзам «если… то…».

Суждение, выражаемое импликацией, выражается также следующими способами:

• * Посылка является условием, достаточным для выполнения следствия;
• * Следствие является условием, необходимым для истинности посылки.

Обозначается A > B («если A, то B», «из A следует B»).

Другие логические операции

Существуют и другие логические операции. Таблицы истинности операций с двумя переменными содержат 4 строки и отличаются только значением последнего столбца. Поэтому любая новая комбинация нулей и единиц в этом столбце дает новую логическую операцию (логическую функцию). Всего их, очевидно, столько, сколько существует четырех? разрядных двоичных чисел, то есть 16 = 24. Наиболее интересны две — штрих Шеффера («И?НЕ», англ. nand = «not and»)A|B = A? B и стрелка Пирса («ИЛИ?НЕ», англ. nor = «not or»).A v B = A + B .

Особенность этих операций состоит в том, что с помощью любой одной их них можно записать произвольную логическую операцию. Например, операции «НЕ»,"И" и «ИЛИ» (базовый набор) выражаются через штрих Шеффера так:

A = A|A, A? B = A|B = (A|B)|(A|B), A + B = A|B = (A|A)|(B|B).

Эти формулы можно доказать через таблицы истинности:

Логические выражения

Обозначив простые высказывания буквами (переменными) и используя логические операции, можно записать любое высказывание в виде логического выражения. Например, пусть система сигнализации должна дать аварийный сигнал, если вышли из строя два из трех двигателей самолета.

Обозначим высказывания:

А — «Первый двигатель вышел из строя».

B — «Второй двигатель вышел из строя».

C — «Третий двигатель вышел из строя».

X — «Аварийная ситуация».

Тогда логическое высказывание X можно записать в виде формулы.

X =(A· B) + (A· C) + (B· C). (*).

арифметическая логическая задача информатика Таким образом, мы выполнили формализацию — переход от конкретного содержания к формальной записи с помощью некоторого языка. См.: Информатика и ИКТ / К. Ю. Поляков, А. П. Шестаков, Е. А. Еремин. — М., 2010;2011, — С 98−103.

Формализация — это переход от конкретного содержания к формальной записи с помощью некоторого языка. См.: Информатика и ИКТ / К. Ю. Поляков, А. П. Шестаков, Е. А. Еремин. — М., 2010;2011, — С 98−103.