Математическая модель объекта управления [1, 8]

Математической моделью динамической системы принято называть совокупность аналитических выражений и алгоритмов, однозначно определяющих развитие процессов в системе, т. е. ее движение. В зависимости от типа сигналов различаются непрерывные и дискретные модели систем. В зависимости от используемых операторов — линейные и нелинейные, временные и частотные модели. К временным относятся модели, в которых аргументом является время (непрерывное или дискретное). Это дифференциальные и разностные уравнения, записанные в явном виде или в операторной форме. Частотные модели предусматривают использование операторов, аргументом которых является частота соответствующего сигнала.

Аналитические модели вход-выход (ВВ) — это описание связи входных и выходных сигналов динамической системы, которое применяется как для отдельных блоков, так и всей системы управления в целом. Для обозначения входных и выходных сигналов воспользуемся обозначениями, характерными для объекта управления, где входным сигналом является управляющее воздействие u (t), а выходным регулируемая переменная y (t). В этом разделе рассматриваются непрерывные временные модели, описывающие связи входных и выходных переменных динамической системы с помощью обыкновенных дифференциальных уравнений соответствующего порядка.

Система линейных уравнений объекта. В общем случае модель одноканального объекта управления описывается нелинейным дифференциальным уравнением (системой уравнений), связывающим входной сигнал управления u (t) и выходной сигнал состояния объекта y (t):

F (y', y", …, y (n), u', u", …, u (m)) = 0. (3.2.1).

Уравнение описывает динамическое состояние ОУ на некотором временном интервале t? to, и связывает входные сигналы u (t) и их производные u (n)(t) с выходными сигналами y (t) и их производными y (n)(t). Значения у (to) = уо, у'(to) = у’о, …, y (n)(to) = у (n)о называются начальными значениями (условиями), а число г = n-m? 1- относительной степенью модели.

Классом дифференциальных уравнений, удобным для проведения исследований, являются линейные дифференциальные уравнения. Переход к линейным дифференциальным уравнениям выполняется операцией линеаризации, при которой переменные уравнения (3.2.1) заменяются новыми переменными — отклонениями от некоторого номинального режима (y=y-yн, u= u-uн), начало координат переносится в точку номинального режима, а функция F раскладывается в ряд Тейлора в окрестностях этой точки по частным производным. В результате линеаризации получаем следующую систему линейных уравнений в отклонениях:

A0(t)y (n) + A1(t)y (n-1) +…+ An (t)y = B0(t)u (m) + В1(t)y (m-1) +…+ Bm (t)u. (3.2.2).

Порядок системы уравнений равен n по порядку производной y (n)(t), n? m, так как при n < m системы технически нереализуемы. Так как все частные производные представляют собой либо постоянные матрицы, либо матрицы, зависящие только от времени, то полученное уравнение есть либо система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (Aj (t) = aj = const, Bj (t) = bj = const), либо система с переменными коэффициентами, в зависимости от номинальной траектории.

В случае постоянных коэффициентов система называется стационарной. Как правило, входные и выходные величины объекта — скалярные функции, при этом уравнение (3.2.2) принимает вид:

a0y (n) + a1y (n-1) +…+ any = b0u (m) + b1y (m-1) +…+ bmu. (3.2.3).

где aj, bj — постоянные коэффициенты (параметры) модели, a0 > 0, b0 > 0, n — порядок модели, 0? m < n. Решение уравнений таких стационарных объектов относительно y (t) является главным объектом исследований в классической теории автоматического управления.

Система, для которой u (t)? 0, называется автономной. Описание автономной системы дается однородным дифференциальным уравнением вида.

a0y (n) + a1y (n-1) +…+ any = 0. (3.2.3').

Передаточная функция системы. Основной метод исследования линейных систем с постоянными коэффициентами — преобразование Лапласа. При нулевых начальных условиях, после преобразования Лапласа уравнения вида (3.2.3), получаем:

L[a0y (n) + a1y (n-1) +…+ any] = L[b0u (m) + b1y (m-1) +…+ bmu].

(a0p (n) + a1p (n-1) +…+ an) Y (p) = (b0p (m) + b1p (m-1) +…+ bm) U (p). (3.2.4).

Y (p) = L[y (t)] =exp (-pt) y (t) dt,.

U (p) = L[u (t)] =exp (-pt) u (t) dt.

Для линейного уравнения преобразование Лапласа отношения выходного сигнала Y (p) к входному сигналу U (p) при нулевых начальных условиях не зависит от самих сигналов и называется передаточной функцией системы W (p).

Y (p) = U (p) (b0p (m) + b1p (m-1) +…+ bm) /(a0p (n) + a1p (n-1) +…+ an),.

W (p) = (b0p (m) + b1p (m-1) +…+ bm) /(a0p (n) + a1p (n-1) +…+ an), (3.2.5).

Y (p) = W (p) U (p).

Передаточная функция W (p) зависит только от самих дифференциальных уравнений и обладает свойством линейности:

Если Y (p) = Y1(p) + Y2(p), то U (p) = W (p)Y1(p) + W (p)Y2(p) = U1(p)+U2(p).

Если Y (p) = сY (p), то U (p) = W (p) Y (p) = с W (p) Y (p).

В общем случае замкнутая система регулирования с обратной связью рассматривается в структурной форме, приведенной на рис. 3.2.1, где используются следующие обозначения сигналов:

Y (p) = W (p)e (p); W (p) = W1(p)W2(p);

Yос (p) = Wос (p)Y (p); e (p)=U (p)-Yoc (p).

Выражение выходного сигнала состояния системы через входной сигнал управления:

Y (p)=W (p)(U (p)-Wос (p)Y (p);

Y (p)(1± W (p)Wос (p))=W (p)U (p).

Отсюда главная передаточная функция замкнутой системы:

Wзс (p) = Y (p)/U (p) = W (p)/[1 ± W (p) Woc (p)].

Знак плюс или минус определяется типом обратной связи (отрицательная или положительная). Соответственно, выходной сигнал с учетом сигнала дестабилизирующего воздействия f (t), который суммируется с правой частью выражения (3.2.3):

Y (p)=Wзс (p)U (p) + Wf (p)f (p),.

где Wf (p) — передаточная функция по возмущению. В замкнутой системе передаточная функция по возмущению определяется как отношение выходной величины, преобразованной по Лапласу, к функции возмущающего воздействия, преобразованной по Лапласу при нулевых начальных условиях. Возмущающее воздействие может быть приложено к любой точке системы.

Wf (p) = Y (p)/f (p) = W2(p)/[1+Woc (p)W (p)].

Передаточная функция по ошибке:

We (p) = e (p)/U (p) = 1/[1 + W (p) Woc (p)].

Передаточная функция по ошибке — основное средство исследования точности САУ. C учетом возмущающего воздействия:

e (p)=We (p)U (p) + Wef (p)f (p),.

где Wef (p) — передаточная функция по ошибке и возмущению (от возмущения к ошибке):

Wef (p) = e (p)/f (p) = -W2(p)Woc (p)/[1 + W (p) Woc (p)].

Передаточная функция по обратной связи:

WYoc (p) = Yoc (p)/U (p) = W (p) Woc (p)/[1 + W (p) Woc (p)].

Типовые звенья САУ. Полиномы числителя и знаменателя передаточной функции (3.2.5) можно разложить на простейшие множители по их корням:

W (p) = N (p)/P (p) =? [(p-p1ч)…(p-pmч)] / [(p-p1з)…(p-pnз)], (3.2.6).

где м = b0 /a0 — константа, piч — множество корней числителя N (p)=0, piз — множество корней знаменателя P (p)=0. Корни числителя передаточной функции называют нулями, корни знаменателя — полюсами. Комплексно сопряженные корни объединяются в квадратурные полиномы с вещественными коэффициентами: (p-б+jв)(p-б-jв) = p2−2бp+в2+б2.

После такого представления в числителе и знаменателе будет некоторое количество скобок первого и второго порядка с вещественными числовыми коэффициентами, каждую из которых можно рассматривать, как элементарную передаточную функцию, практически реализуемую в силу вещественности коэффициентов. Если вынести из всех скобок свободные члены и объединить их произведение в общий множитель К, то получим уравнение:

W (p) = K [W1(p)…Wz (p)], (3.2.7).

где z=n+m, если все корни вещественные, z < n+m, если есть комплексные корни. Коэффициент К принято называть коэффициентом усиления системы. Заметим, что W (0) = К = bm/an, т. е. его числовое значение равно коэффициенту усиления на нулевой частоте («постоянном токе»).

Классификация звеньев производится по виду их передаточных функций, независимо от исполнения (механические, гидравлические, электрические и пр.). Передаточные функции типовых звеньев, из которых синтезируются системы, обычно имеют числитель или знаменатель, равный единице. Ниже приводятся выражения передаточных функций основных типовых звеньев систем:

• 1. К — Усилительное звено.
• 2. p — Дифференцирующее звено.
• 3. 1/p — Интегрирующее звено (интегратор).
• 4. K/(Tp+1) — Инерционное (апериодическое) звено.
• 5. K/(T2p+2dTp+1) — Колебательное звено.
• 6. K (Tp+1) — Форсирующее звено.
• 7. K (T2p+2dTp+1) — Форсирующее звено 2-го порядка.

Здесь Т — определенный временной коэффициент (постоянная времени). Звенья 2, 6 и 7 не реализуются в строгом теоретическом смысле, существуют только их приближения.

Типовые входные воздействия. Для оценки динамических свойств системы и отдельных звеньев принято исследовать их реакцию на типовые входные воздействия. Наиболее распространенными типовыми воздействиями являются ступенчатое, импульсное и гармоническое. Любой сигнал u (t), имеющий сложную форму, можно разложить на сумму типовых воздействий ui (t) и на основании принципа суперпозиции получить результирующее изменение выходной величины y (t) в виде суммы реакций системы на каждую из составляющих.

Единичная ступенька. Особое значение в теории автоматического управления имеет ступенчатое воздействие 1(t) = 1 при t?0, 1(t) = 0 при t<0 (сигнал u1(t) на рис. 3.2.1). Все остальные воздействия могут быть сведены к нему. Так, например, импульсный сигнал может быть представлен двумя ступенчатыми сигналами одинаковой величины противоположными по знаку, поданными один за другим через интервал времени? t (сигнал u (t) на рис. 3.2.1).

Преобразование Лапласа для единичной ступеньки:

1(p) =exp (-pt) dt = 1/p. (3.2.8).

Линейно нарастающее воздействие (t (t)=t при t?0, t (t) = 0 при t<0) представляет собой интеграл по времени от единичной ступеньки:

t (t) =1() d, 1(t) = d t (t) /dt.

Преобразование Лапласа:

t (p) =t exp (-pt) dt = 1/p2. (3.2.9).

Экспоненциальная функция exp (t). Преобразование Лапласа:

L[exp (t)] =exp (t) exp (-pt) dt = 1/(p-). (3.2.10).

Выражение справедливо и при любом комплексном б.

Гармонические воздействия sin щt и соs щt.

На основе формулы Эйлера exp (jщt) = cos щt + j sin щt соответственно имеем cos щt = Re exp (jщt), sin t = Im exp (jt). Преобразования Лапласа:

L[sin щt] = L[Im ejщt] = Im L[ejщt] = Im (1/(p-jщ)) = Im ((p+jщ)/(p2+щ2)) =.

= Im (p/(p2+щ2)+jщ/(p2+щ2)) = щ/(p2+щ2).

L[cos щt] = Re L (ejщt) = Re (1/(p-jщ)) = Re ((p+jщ)/(p2+щ2)) = p/(p2+щ2).

Дельта — функция д (t) — математическая модель очень короткого конечного воздействия большой мощности (единичный импульс). Определение д (t)-функции даётся через интеграл свёртки с любой другой интегрируемой функцией x (t):

(t-t0) x (t) dt = x (t0).

Отсюда, при x (t)=1:

(t) dt = 1, (t) exp (-pt) dt = 1, L[(t)] = 1. (3.2.11).

Единичный импульс физически представляет собой очень узкий импульс, ширина которого стремится к нулю, а высота — к бесконечности, ограничивающий единичную площадь. Дельта — функция связана с единичной ступенчатой и линейно-нарастающей функцией выражением:

(t) = d1(t) /dt = d2 t (t) /dt2.