Расчет механических систем

Задача № 1

По заданному уравнению прямолинейного поступательного движения груза 1 (Рис. 1) определить скорость, а также нормальное, касательное и полное ускорение точки М механизма в момент времени, когда путь, пройденный грузом, равен s. Данные для своего варианта взять из таблицы № 1.

Таблица 1

Решение

Будем считать, что в заданный момент времени плоскость чертежа совпадает с плоскостью окружностью D. Положение М на теле D определяется расстоянием s_r = ОМ. При t = 1/3 с :

s_r = ОМ = 20sinрt см =20sin (р/3)=17,3 см.

Абсолютную скорость точки М найдем как метрическую сумму относительной и переносной ростей :

Модуль относительной скорости v_r=Р v_r, Р где

, при t= 1/3 с

см/с.

Положительный знак показывает, что вектор , направлен в сторону возрастания s_r. Модуль переносной скорости

v_e = Rщ_e

где R — радиус окружности L, описываемой той точкой тела, с которой в данный момент совпадает точка М:

см

щ_e -модуль угловой скорости тела:

;

при t= 1/3 с

щ_e=1−1/3 = 2/3 рад/с.

Положительный знак щ_e показывает, что вращение происходит вокруг оси Ох в сторону по направлению отсчета угла ц.

Модуль переностной скорости

v_e = Rщ_e

v_e= 26,4?2/3=17,6 см/с.

Вектор v_e направлен по касательной к окружности L в сторону вращения тела. Так как v_e и v_r взаимно перпендикулярны, модуль абсолютной скорости точки М:

=36 см/с.

Абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме относи к ного, переносного и кориолисова ускорений:

а = а_r + а_е + а_k= а_rф + а_rn+ а_еф + а_еn+а_k

Модуль относительного касательного ускорения:

=

а_rф=-171 см/с²

Отрицательные знак а_rф показывает, что вектор направлен в сторону отрицательных значений s_r. Знаки и а_rф разные, следовательно, относительно движение точки М замедленное.

Относительное нормальное ускорение

так как траектория относительного движения прямая с=?.

Модуль переносного вращательного ускорения

а_еф=Rе_e,

= (ц_e)''=1 рад/с.

Знаки щ_e и е_e разные, следовательно вращение окружности D замедленное, направление векторов и противоположны.

а_еф=Rе_e=26,4 см/с².

Вектор сонаправлен с вектором .

Модуль переносного центростремительного ускорения

а_еn=Rщ_e²=12 см/с²

Вектор а_еn направлен к центру окружности L.

Кориолесово ускорение

sin (щ_ev_r)=1

а_k=2?2/3 ?31,4=42 см/с²

Модуль абсолютного ускорения точки М находим способом проекций

=

x: а_еф+ а_rnsin45₌26,4+0=26,4

y: —a_r— а_rncos45=-(-171)-0=171

z: а_еф=26,4

Задача № 2

Плоский механизм состоит из стержней 1−4 и ползуна В, соединённых друг с другом и с неподвижными опорами О₁ и О₂ шарнирами (рис.2).

Длины звеньев равны: 1) стержень О₁А: l₁=0,4 м, 2) стержень АВ: l₂=1,2 м, 3) стержень DE: l₃=1,4 м, 4) стержень О₂Е: l₄=1м. Положение механизма определяется углами Ь, в, г, ц и и. Точка D находится в середине стержня.

Определить величины, указанные в таблице 2, в столбце «Найти».

Дуговые стрелки на рисунке 2 показывают, как при построении чертежа должны откладываться соответствующие углы, то есть по ходу или против хода часовой стрелки. Построение чертежа начинайте со стержня, направление которого определяется углом Ь.

Заданную угловую скорость считать направленной против хода часовой стрелки, а заданную скорость V_В — от точки В к b.

Таблица 2

Решение:

Скорость т. E ==2,4 (м/с),. О₂Е в сторону вращения.

Определение. Зная направления и найдем положение МЦС звена 3 (т.С₃). Тогда

(1)

Из рисунка следует, что ЕКС₃ — равносторонний. Т. е.. Тогда = 2,4 (м/с). Вектор скорости направлен в соответствии с угловой скоростью вращения звена О₁А. Т.к. т. К лежит посередине звена АО₁, то = 4,8 (м/с).

Определение. Найдем положение МЦС звена 2. Тогда

. (2)

Из рисунка видно, что ВАС₂ равносторонний

= 4,16 (м/с).

Определение. Из (1) =1,71 (1/с).

Определение. Т.к. т. А движется по окружности, то и

Направления векторов: АО₁ в сторону вращения (₁), — вдоль АО₁ от, А к О₁

==57,6 (м/с²),

=4 (м/с²).

Тогда ускорение т. А равно

==57,7 (м/с²).

Задача № 3

Вертикальный вал АК (рис. 3, табл. 3), вращающийся с постоянной угловой скоростью щ=10 рад/с, закреплён подпятником в точке, А и цилиндрическим подшипником в точке, указанной в таблице 3. Длины отрезков вала равны: АВ=ВД=ДЕ=ЕК =а=0,5 м. К валу жёстко прикреплён невесомый стержень 1 длиной l₁=0,6 м с точечной массой m₁=4кг на конце и невесомый стержень 2 с длиной l₂=0,8 м и с точечной массой m₂=7кг; оба стержня лежат в одной плоскости. Точки крепления стержней к валу и углы б и в указаны в таблице; пренебрегая весом вала, определить реакции подпятника и подшипника.

Таблица 3

Решение

Для определения искомых реакций рассмотрим движение системы и применим принцип Даламбера. Выберем вращающиеся вместе с валом координатные оси Аху так, чтобы стержни лежали в плоскости ху. На систему действуют активные силы — силы тяжести, и реакции связей, (подпятник) и (цилиндрический подшипник). Присоединим к ним силы инерции.

Вал вращается равномерно и элементы стержня имеют только нормальные ускорения, направленные к оси вращения. Численно (- расстояния элементов стержня от оси вращения). Силы направлены от оси вращения, а численно (- масса элемента). Каждую из полученных систем параллельных сил инерции заменим ее равнодействующей, равной главному вектору этих сил. Т.к. модуль главного вектора сил инерции любого тела имеет значение, где — масса тела, — ускорение его центра масс, то для стержня 1 получим

.

Для точечной массы 2 .

Ускорения центров масс стержня 2 и груза 1 равны:

.

Из рисунка

=(м),

=0,28(м),

Тогда числовые значения сил инерции равны:

=(Н),

=(Н),

Линия действия равнодействующей пройдет через центр тяжести соответствующей эпюры сил инерции (на рисунке Н — высота треугольной эпюры, м).

Согласно принципу Даламбера, приложенные внешние силы (активные и реакции связей) и силы инерции образуют уравновешенную систему сил. Уравнения равновесия этой системы сил:

; ;

; ;

; .

где (м),

(м),

(Н), (Н).

Решая записанную систему уравнений равновесия, получим

=

= 33,7 (Н);

= -97,7 (Н);

== 100 (Н).

Задача № 4

Механическая система состоит из груза 1 (коэффициент трения скольжения груза о плоскость f=0.1), невесомого шкива 2, цилиндрического однородного катка 4 массой m₄, радиусом r₄=0.1м и ступенчатого шкива 3 с радиусами ступеней R₃=0.3м, r₃=0.1м и моментом инерции J₃ (рис. 4, табл.4). Тела системы соединены невесомыми нерастяжимыми нитями. Под действием постоянной силы F система приходит в движение из состояния покоя.

При движении системы на шкив 3 действует постоянный момент сил сопротивления М_с. Определить скорость груза 1 в момент времени, когда точка приложения силы F получит перемещение s (м).

Таблица 4

Решение

механический скорость вращение вал

Система имеет одну степень свободы. Выберем в качестве обобщенной координаты угол поворота ₂ колеса 2 от равновесного положения (при равновесии ₂=0, s₅=0, s₁=0).

Составим уравнение Лагранжа

(1)

.

Т.к. колесо 2 вращается вокруг оси, груз 3 движется поступательно, а каток 5 — плоскопараллельно, то

;, где, .

Тогда Имея ввиду, что для катка 5 (точка опоры катка о поверхность — мгновенный центр скоростей), получаем

.

Выразим все скорости через обобщенную скорость.. Тогда

и .

Следовательно

==.

Т.к. здесь Т зависит только от, то

и. (2)

Определим обобщенную силу. На систему действуют активные силы: сила тяжести и пара сил с моментом М₁.

Сообщим системе возможное перемещение, при котором координата получает приращение (). Тогда центр катка получает перемещения; и. Элементарная работа действующих сил равна

==

Коэффициент при в записанном выражении и будет искомой обобщенной силой. Следовательно .(3)

Подставляя выражения (2) и (3) в уравнение Лагранжа (1), получим:

. Т.к., то = 2,29g 22,9 (с^-2).

Задача № 5

Для заданной схемы (Рис.5) построить эпюру крутящих моментов, определить диаметр вала на каждом участке из расчёта на прочность при заданном [ф_кр] и вычислить полный угол закручивания. Мощность на зубчатых колёсах принять Р₂=0,5Р₁, Р₃= 0,3Р₁ и Р₄=0,2Р₁.

Допускаемое напряжение [ф_кр] =75МПа и G=8*10⁴ МПа. Данные для своего варианта взять по таблице 5. Полученное расчётное значение диаметра в (мм) округлить до ближайшего большего числа, оканчивающегося на 0,2,5 или 8.

Таблица 5

Решение

Т_Z, Нмм

рад

1. Определяем крутящиеся моменты:

Т_z1= T₄= 375 10³ Н/мм

Т_z2= T₄ + Т₃= 937,5 10³ Н/мм

Т_z3= T₄ + Т₃ — Т₁ = -562,5 10³ Н/мм

Т_z4= T₄ + Т₃ — Т₁ +Т₂= 0 Н/мм

2. Определяем диаметры поперечных сечений:

3. Определяем угол перемещения:

Задача № 6

Для балки, установленной на две опоры (рисунок 6), построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов. Определить из условия прочности номер двутавра при [у_и]=140МПа. Номер схемы соответствует Вашему варианту.

Таблица 6

Решение

Разбиваем балку на три силовых участка AB, BC, CD, для каждого участка применяем метод сечений и составляем уравнения поперечной силы и крутящего момента.

Определяем характерные ординаты поперечной силы и крутящего момента и строим его эпюры.

Рассмотрим участок AB

(2.1)

(2.2)

Рассмотрим участок BC

(2.3)

(2.4)

Рассмотрим участок CD

(2.5)

(2.6)

Рис.1

Рис. 2

Рис.3

Рис. 4

Рис.5

Рис.6

Рис. 7