Расчет осесимметричных оболочек и толстостенных цилиндров

^{ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ТОНКОСТЕННЫЕ ОБОЛОЧКИ}

^{Напомним, что оболочкой называется тело, ограниченное двумя криволинейными поверхностями, расстояние между которыми (толщина оболочки) есть величина малая по сравнению с двумя другими размерами. Поверхность, равноудалённая от ограничивающих поверхностей называется срединной поверхностью. Оболочки могут иметь переменную толщину, однако мы будем рассматривать только оболочки постоянной толщины.}

^{Оболочки имеют весьма широкое распространение в технике: корпуса судов, летательных аппаратов и ракет: сосуды для хранения жидкостей и газов; трубы; детали машин и приборов; оболочки покрытий в строительстве и т. д. Достоинством оболочек является то обстоятельство, что они обладают выгодными упругими свойствами: при малой толщине они способны выдерживать значительные нагрузки. Это позволяет создавать прочные и лёгкие конструкции, незаменимые в тех случаях, когда необходимо минимизировать массу изделия.}

^{Будем рассматривать тонкие оболочки, у которых толщина мала по сравнению с радиусом кривизны поверхности. Если допустить обычную для технических расчётов относительную погрешность 5%, то тонкими оболочками можно считать такие оболочки, у которых: h / R 1/20, где h — толщина, а R — радиус кривизны срединной поверхности оболочки. Приведенная граница, конечно, является условной, и, иногда, теорию тонких оболочек используют для расчёта более толстостенных конструкций, допуская при этом большие погрешности.}

^{Наиболее распространённый вариант теории оболочек основан на гипотезе Кирхгофа — Лява:}

элемент, прямолинейный и нормальный к срединной поверхности до деформации, остаётся прямолинейным и нормальным к деформированной срединной поверхности;

нормальными напряжениями на площадках, параллельных срединной поверхности, можно пренебречь.

^{Эти допущения совершенно аналогичны тем, что приняты для балок (гипотеза плоских сечений), и позволяют задачу трёхмерную свести к задаче двухмерной. Как при расчёте балок исследование сводится к изучению объекта одномерного — оси балки, так и в случае оболочек рассматривается только срединная поверхность.}

^{Нами будет рассматриваться лишь один тип оболочек — осесимметричные оболочки. Это оболочки вращения, срединная поверхность которых образована вращением некоторой кривой (в частном случае прямой) относительно оси симметрии. К этому классу относятся, например, цилиндрические, конические и сферические оболочки, столь часто встречающиеся в практике проектирования конструкций.}

Мы будем придерживаться так называемой безмоментной теории оболочек, т. е. полагать, что нормальные напряжения по толщине оболочки распределяются равномерно и изгибающие моменты отсутствуют. Условия существования безмоментного напряжённого состояния следующие:

1. Срединная поверхность оболочки должна быть достаточно плавной, так, чтобы радиус кривизны резко не изменялся и нигде не обращался бы в нуль;

Нагрузки, действующие на оболочку, должны быть так же достаточно гладкими и не должно быть сосредоточенных сил.

Условия закрепления краёв оболочки должны быть такими, чтобы по ним не возникали изгибающие моменты и поперечные силы.

Безмоментное напряжённое состояние чрезвычайно выгодно, т.к. приводит к равномерному, т. е. очень выгодному распределению напряжений и экономии материала.

Уравнение Лапласа.

Рассмотрим осесимметричную оболочку. Положение точки на срединной поверхности задаётся как пересечение двух координатных линий: параллели и меридиана.

Радиус кривизны меридиана _m; радиус кривизны параллели _t; внешняя нормаль к срединной поверхности в данной точке n. Нагрузку, действующую на оболочку, будем считать осесимметричной, т. е. не меняющейся в пределах одной параллели, и нормальной к срединной поверхности оболочки. Такой, например, является гидростатическая нагрузка. Интенсивность нагрузки (нагрузка, приходящаяся на единицу площади) — q.

^{Выделим в окрестности произвольной точки малый элемент и исследуем его равновесие (Рис.2). Ввиду малости углов положим:}

^{Sin (d d; Sin (d d/2.}

^{Спроектируем силы, действующие на элемент, на направление нормали n.}

^{_mds_thd _tds_mh (d qds_mds_t = 0.}

^{Учтём, что d = ds_m/_m; d = ds_t/_t, тогда получим:}

^{_m/_m + _t/_t = q / h (1)}

^{Это и есть уравнение Лапласа. Оно содержит две неизвестные: меридиональное и окружное напряжения. Второе уравнение мы получим, рассматривая равновесие части оболочки, отсечённой по той параллели, где мы ищем напряжения (Рис.3).}

Пусть F — равнодействующая внешней нагрузки, приложенной к отсечённой части оболочки. В силу осевой симметрии она направлена по оси z. Проектируя силы, действующие на отсечённую часть, на ось z, получим:

^{_mrhSin = F. (2)}

^{Определив из (2) _m и подставив его выражение в (1), Найдём _t.}

^{Пример 1. Цилиндрический резервуар находится под действием внутреннего давления p (Рис.4). Определить напряжения в цилиндрической части резервуара, в местах достаточно удалённых от примыкания днищ. Последняя оговорка имеет тот смысл, что в тех местах, где днища соединяются с цилиндрической частью, напряжённое состояние не будет безмоментным, т.к. здесь радиус кривизны претерпевает резкое изменение.}

^{Рассечём оболочку и составим уравнение равновесия для отсечённой части (Рис.4). Равнодействующая внешних сил, приложенных к отсечённой части, независимо от формы днища ([1], стр.299), равняется:}

^{F = R2p}

^{Проектируя на ось z, имеем:}

^{_m2Rh R2p _m pR /2h .}

^{Обратимся к уравнению Лапласа: _m; _tR; q = p _t = pR/h.}

^{Главные напряжения равны: ₁ = _t; ₂ = _m; ₃ 0.}

^{Пример 2. Сферический замкнутый резервуар находится под действием внутреннего давления p. Найти напряжения, возникающие в оболочке. Радиус срединной поверхности оболочки R, толщина h. p Ввиду центральной симметрии _m = _t = .}

Из уравнения Лапласа следует: = pR/2h.

^{Главные напряжения: ₁ = ₂ =; ₃ 0.}

^{Обратим внимание на тот факт, что наибольшие напряжения в сферической оболочке в два раза меньше, чем в цилиндрической оболочке того же радиуса.}

^{Пример 3. Замкнутая сферическая оболочка (Рис.6) с радиусом кривизны срединной поверхности R=100мм, толщиной h = 2 мм, находящаяся под действием внутреннего давления p₁ = 54МПа, помещена в резервуар с давлением p₂ = 50МПа. Материал сталь: _yt= 250МПа, _yc = 300МПа.}

^{Проанализировать напряжённое состояние и определить коэффициент запаса по текучести.}

^{Решение}

Разложим внутреннее давление p₁ на две составляющие: р₂ и р₁ р₂. Первая из них уравновешивает внешнее давление и вызывает в оболочке напряжённое состояние всестороннего сжатия, а вторая будет растягивать оболочку внутренним давлением (см. предыдущий пример).

При всестороннем сжатии по всем трём направлениям возникают напряжения, равные — р₂ = 50МПа. От действия избыточного давления р₁р₂=2МПа, в оболочке возникают растягивающие напряжения (см. предыдущий пример):

^{= (р₁p₂)R/2h = 4МПа100/(2 = 100МПа.}

^{Складывая эти два напряжённые состояния, получим следующие значения главных напряжений:}

^{₁ = ₂ = 50МПа; ₃ = 50МПа.}

^{Т.к. материал имеет разные значения пределов текучести при растяжении и сжатии, то следует применить теорию Мора. Эквивалентные напряжения будут равны:}

^{_экв = ₁ k₃, где k = _yt/_yc = 250/300 0,833; _экв= 50 — 0,833(}

^{= 91,7МПа.}

^{Коэффициент по текучести n_y = _yt/_экв= 250/91,7 = 2,73.}

^{Пример 4. Тонкостенная замкнутая оболочка R = 50 мм, h = 1 мм, подвергается действию внутреннего давления р = 2МПа и закручивается моментом m = 1кНм (Рис.8). Проанализировать напряжённое состояние и найти коэффициент запаса по текучести, если: _yt = _yc = 300МПа.}

^{Решение.}

Данная конструкция работает под действием давления, как цилиндрическая R z оболочка (Пример 1) и, как тонкостенный стержень на кручение.

От действия давления в оболочке возникают окружные и меридиональные напряжения:

^{_t = pR/h = 2МПа50/1 = 100МПа; _m = pR/2h = 50МПа (см. пример 1).}

^{При кручении появляются касательные напряжения}

^{_tm = _max = T/W_k,}

^{где крутящий момент Т = m = 1кНм = 100кНсм, а геометрическая характеристика}

^{W_k = 2R2h 23,14 520,1 = 15,7 см³.}

^{Таким образом касательные напряжения равны:}

^{_tm = 100/15,7 = 6,37кН/см2 = 63,7МПа.}

^{Напряжённое состояние будет двухосным. Главные напряжения найдутся:}

^{Ѕ(_m+ _t) + Ѕ(_{m t})2 + 4_tm2}

^{Ѕ(_m+ _t) Ѕ(_{m t})2 + 4_tm2}

^{Подставляя сюда найденные значения напряжений, найдём главные напряжения:}

^{143,4МПа; 6,6МПа.}

^{Учитывая, что ещё одно главное напряжение равно нулю, поучим;}

^{₁ = 143,4МПа; ₂ = 6,6МПа: ₃ = 0.}

^{Используем теорию наибольших касательных напряжений (критерий пластичности Треска Сен-Венана):}

^{_экв = _{1 3} = 143,4МПа.}

^{Коэффициент запаса по текучести будет равен}

^{n_y = _yt/_экв = 300/143,4 = 2,09.}

^{Заметим, что согласно оговорке Примера 1, мы рассматривали точки цилиндрической части, достаточно удалённые от примыкания к днищам.}

^{Пример 5. Резервуар для жидкости, показанный на Рис. 10, доверху налит водой. Определить напряжения, возникшие в резервуаре. Материал малоуглеродистая сталь с пределом текучести 240МПа. Толщина стенок резервуара}

^{z = 5 мм; H = 9,93 м; H₁ = 6,93 м; R = 4 м;}

^{R =.}

Плотность жидкости 1000кг/м3.

^{Будем рассматривать только точки, достаточно удалённые от вершины конуса и от примыкания конической части резервуара к цилиндрической, т.к. в этих местах напряжённое состояние не будет безмоментным. Здесь возникнет так называемый краевой эффект — зона повышенных напряжений, простирающаяся на расстояние в несколько толщин оболочки.}

^{Если материал оболочки достаточно пластичен, то напряжения перераспределяются и краевой эффект существенной роли не играет.}

^{Решение.}

Коническая часть. Т.к. _m то из уравнения Лапласа следует:

^{_t = q_t/ ,}

^{где q = g (H — z); g — ускорение силы тяжести,}

^{_t = ztg/ cos = zsin/cos2.}

^{Тогда получим:}

^{gsin (Hz — z2)}

^{_t = (2)}

^cos2

^{Проанализируем полученную зависимость. В вершине конуса (с учётом приведенной выше оговорки) окружные напряжения равны нулю. При z=6,93м:}

^{103кг/м39,8м/с20,5(9,936,93 — 6.932)}

^{_t = = 27,6106Па = 27,6МПа.}

^{510−3м0,8662}

^{Найдём максимальное значение окружных напряжений:}

^{d_t/dz =0 z = H/2, подставив в (2), получим:}

^{gH2sin 103 9,89,9320,5}

^{max _t = = = 32,2106Па = 32,2МПа.}

^{4cos2 4 510−30,8662}

^{Определим меридиональные напряжения. Рассечём оболочку по параллели с координатой z и рассмотрим равновесие отсечённой части (Рис.11).}

^{F_z = 0 (_m2ztg)cos = G,}

^{Где G = gV; V объём столба жидкости, приходящийся на отсечённую часть конуса:}

^{V = ztg)2z/3 + ztg2z (H z).}

^{Учитывая это, получим:}

^{z gsin (Hz (2/3)z2)}

^{_m = .}

^O 2cos2

Закон распределения меридиональных напряжений — параболический, как и в случае окружных напряжений. Найдём экстремальное значение _m:

^{d_m/dz = 0 z = 3H/4 = 7,45 м H₁ ,}

^{т.е. внутреннего экстремума нет и наибольшее значение будет достигнуто при z = 6,93 м. Подставляя это значение в формулу для меридиональных напряжений, получим: max _m = 24МПа}

Цилиндрическая часть резервуара. Координату z₁ будем отсчитывать от уровня верха жидкости (Рис.10). Гидростатическая нагрузка равна:

^{q = gz₁,}

^{тогда, учитывая, что _m, а _t = R, из уравнеия Лапласа получим:}

^{_t = gRz₁/.}

^{Закон распределения линейный. Наибольшие напряжения имеют место при z₁ = H — H₁ = 3 м и равны:}

^{max _t = 23,5МПа.}

^{Меридиальные напряжения не зависят от координаты z₁ и определятся, как результат деления веса жидкости всего резервуара площадь поперечного сечения цилиндра: _m = 20,8МПа.}

^{На Рис. 12 показаны эпюры напряжений.}

Обратим внимание на то обстоятельство, что несмотря на большие размеры резервуара и его малую толщину, напряжения в нём незначительны. Этим потверждается факт, что оболочки способны при малом расходе материала выдерживать большие нагрузки.

^{2. ТОЛСТОСТЕННЫЕ ЦИЛИНДРЫ}

^{Рассмотрим цилиндр (Рис.13), у которого на соотношение между внутренним и наружным радиусом не наложено никаких ограничений. Нагрузку, действующую на цилиндр, будем считать осесимметричной и постоянной в направлении оси z.}

Введём цилиндрические координаты z, r,. В силу осевой симметрии цилиндра и нагрузки, все искомые функции не зависят от, а т.к. нагрузка постоянна вдоль оси, то и от z. Единственной независимой переменной будет полярный радиус r. Опять же по причине осевой симметрии, элемент, выделенный радиальными и цилиндрическими сечениями (Рис.14), не испытывает сдвига и касательные напряжения по его граням 1 отсутствуют. Т. е. площадки, образующие главные.

^{Поставим себе задачей найти закономерности распределения напряжений.}

^{Приложим к элементу, размер которого в направлении оси z будем считать единичным, усилия и составим уравнение равновесия, проектируя силы на радиус (Рис.15).}

_r rd (d/dr)(_r rd) dr

^{_r rd + (d/dr)(_r rd) dr _r rd 2_tdr (d/2) = 0}

^{(d/dr)(_r r) _t = 0 (d_r/dr)r + _{r t} = 0.}

^{d_r/dr + (_{r t})/r = 0. (1)}

^{оболочка осесимметричный толстостенный цилиндр}

Выражение (1) представляет собой дифференциальное уравнение равновесия.

^{Рассмотрим геометрическую сторону задачи. Ввиду осевой симметрии перемещение любой точки направлено по радиусу и зависит только от радиальной координаты: u = u®. Перемещение точек с полярным радиусом r: kk = u, a точки с радиусом r + dr: mm = u + (du/dr)dr (Рис.16).}

Относительное удлинение в радиальном m n направлении:

^{m n _r = (mk mk)/mk = (mm kk)/mk =}

^{dr k l = (u + (du/dr)dr — u)/dr}

^{k l}

^{_r =du/dr (2)}

^{r d}

^{Относительное удлинение в окружном направлении:}

^{_t = (kl kl)/kl = ((r + u) d rd)/(rd)}

^{_t = u /r (3)}

^{Т.к. деформации _r и _t выражаются через одну и ту же функцию перемещение u, то они не могут быть независимыми и они связаны между собой соотношением, называемым уравнением совместности деформаций.}

^{Из (3) u = _tr; du/dr = (d/dr)(_tr), сопоставляя с (2), имеем:}

^{(d/dr)(d_tr) = _r (d_t/dr)r + _{t r} = 0}

^{d_t/dr + (_{t r})/r = 0 (4)}

^{Обратим внимание на структуру уравнения совместности деформаций. Уравнение (4) аналогично дифференциальному уравнению равновесия (1).}

^{Обратимся к физической стороне задачи. Будем считать, что материал линейно-упругий и следует закону Гука:}

^{_r = (1/E)[_r (_t + _z)],}

^{_t = (1/E)[_t (_z + _r)],}

^{_z = (1/E)[_z (_r + _t)]. (5)}

^{Из последнего уравнения выразим осевые напряжения:}

^{_z = E_z + (_r + _t),}

^{подставив это в два первых, имеем:}

^{_r = ((1 2)/E)[_r (/(1))_t],}

^{_t = ((1 2)/E)[_t (/(1))_r]. (5a)}

^{Введём функцию напряжений F = F®, такую, что радиальное и окружное напряжение через неё выражаются:}

^{_r = F/r; _t = F = dF/dr. (6)}

^{Легко убедится в том, что функция напряжений тождественно удовлетворяет дифференциальному уравнению равновесия (1). Таким образом, отпадает необходимость привлекать к решению уравнение (1), а надо лишь решить уравнение совместности (4), выразив в нём деформации через функцию напряжений. Подставим (6) в (5а):}

^{_r = ((1 2)/E)[F/r (/(1))F],}

^{_t = ((1 2)/E)[F (/(1)(F/r]. (7)}

^{Производная от окружной деформации:}

^{d_t/dt = ((1 2)/E)[F (/(1))(F/r F/r2)]. (8)}

^{Подставив (7) и (8) в (4), получим следующее дифференциальное уравнение:}

^{F + F/r F/r2 = 0. (9)}

^{Этого уравнения будем искать в форме F = Crn, где С — произвольная постоянная, а n Z.}

^{F = Cnrn-1; F = Cn (n 1) rn-2,}

^{подставив всё это в (9), и учитывая, что С0 и r0, произведём сокращения и получим:}

^{n (n — 1) + n — 1 = 0 (n — 1)(n + 1) = 0 n₁ = 1; n₂ = 1.}

^{Каждому значению n соответствует частное решение уравнения (9), а общее решение получится, как с умма линейно-независимых решений:}

^{F = C₁r + C₂/r (10)}

^{Радиальные и окружные напряжения определятся}

^{_r = F/r = C₁ + C₂/r2, (11)}

^{_t = F = C₁ + C₂ / r2. (12)}

^{Это и есть уравнения Ламе для определения напряжений в толстостенном цилиндре. Постоянные интегрирования определяются из граничных условий, т. е. из условий нагружения цилиндра.}

^{Рассмотрим различные случаи нагружения цилиндра.}

^{1) Нагружение цилиндра внутренним давлением.}

Пусть на цилиндр действует внутреннее давление р (Рис.17). Запишем граничные условия:

при r = a: _r = p;

при r = b: _r = 0.

^{Подставляя это в (11), получим систему из двух алгебраических уравнений, из решения которой получим значения произвольных постоянных:}

^{C₁ = pa2/(b2 — a2); C₂ = pa2b2/(b2 — a2).}

^{Подставив это в (11) и (12) получим:}

^pa2

^{_t/_r = (1 (b/r)2). (13)}

^{b2 — a2}

^{Мы видим, что окружные и радиальные напряжения меняются по гиперболическому закону. Эпюры напряжений показаны на рис. 17.}

^{Обратимся к осевым напряжениям. Подставим (13) в выражение для _z, полученное из последнего уравнения (5):}

^{_z = E_z + (_r + _t) = E_z + 2pa2/(b2 a2).}

^{Оказывается, что осевое напряжение по сечению цилиндра постоянно. Возможнны два различных случая:}

^{1) Цилиндр имеет днище (Рис.18).}

_t = p (a2 + b2)/(b2 a2)

^{_z = pa2/(b2 a2)}

^{_r = p}

Сила, растягивающая цилиндр, равна произведению давления на площадь днища. Тогда осевые напряжения равны:

_{^{z = pa2/(b2 a2) = pa2/(b2 — a2). (14)}}

^{Наиболее опасными являются точки внутреннего контура. Напряжённое состояние в них показано на Рис. 18. Если использовать теорию наибольших касательных напряжений (критерий пластичности Треска — Сен-Венана), то эквивалентные напряжения найдутся:}

^{_экв = _{1 3} = p (a2 + b2)/(b2 a2) (p)}

^{_экв=2pb2/(b2 a2) (15)}

^{2) цилиндр открыт (например, ствол орудия). Осевые напряжения в этом случае равны нулю. На Рис. 19 показано напряжённое состояние в наиболее опасной — внутренней точке. Т.к. эквивалентное напряжение не зависит от осевого напряжения, то оно определяется по той же формуле (15).}

^{_t = p (a2 + b2)/(b2 — a2)}

^{_r = p}

Нагружение цилиндра внешним давлением.

Граничные условия запишутся:

при r = a: _r = 0;

при r = b: _r = p.

^{Используя граничные условия, получим формулы для окружного и радиального напряжений.}

^pb2

^{_t/_r = (1 (a/r)2). (16)}

^{b2 — a2}

Закономерности распределения напряжений показаны на Рис. 20. Эквивалентные напряжения определяются той же формулой (15).

^{Пример. Замкнутый толстостенный цилиндр (Рис.21) подвергается действию внутреннего давления р = 50МПа и растягивается внецентренно приложенной силой F = 400кН. Материал сталь: _yt = _yc = 300МПа. Размеры: а = =50м: b = 100 мм. Проанализировать напряжённое состояние и определить коэффициент запаса по текучести.}

От внутреннего давления в цилиндре возникают напряжения:

^{r = a: _t = p (a2 + b2)/(b2 — a2) = 50МПа (52 + 102)/(102 — 52) =}

^{= 83,3МПа; _r = p = 50МПа;}

^{при r = b: _t = 2pa2/(b2 — a2) = 250МПа52/(102 — 52) = 33,3МПа; _r = 0.}

^{Осевые напряжения _z = pa2/(b2 — a2) = 16,7МПа.}

^{От внецентренного растяжения нормальные напряжения равны:}

^{_z = F/A + Fby/I_x, где, А = (b2 — a2) = 3,14(102 — 52) = 235,5 см² ;}

^{I_x = (2b)4 (1 — (a/b)4 /64 = 3,14 204 (1 — 0,54)/64 = 7359см4;}

^{y — координата точки, в которой вычисляются напряжения. Вычислим напряжения в следующих точках (Рис.22):}

точка 1: y = 10 см, _z= 400/235,5 + 4 001 010/7359 = 7,14кН/см2 =

^{= 71,7МПа;}

точка 2: y = 5 см, _z= 1,69 + 2,72 = 4,41кН/см2 = 44,1МПа;

точка 3: y = 5 см, _z= 1,69 2,72 = 1,03кН/см2 = 10,3МПа;

точка 4: y = 10 см, _z= 1,69 5,44 = 3,75кН/см2 = 37,5МПа.

^{Если сложить эти напряжения с _z = 16,7МПА, то мы получим значения _z = _z + _z соответственно равные: 88,4МПа, 60,8МПа, 6,4МПа, 20,8МПа.}

Эквивалентные напряжения по теории наибольших касательных определятся:

^{в точке 1 _экв = 88,4 0 = 88,4МПа;}

^{в точках 2 и 3 _экв = 83,3 (50) = 133,3МПа;}

^{в точке 4 _экв = 33,3 (20,8) =54,1МПа.}

^{Наиболее опасными являются точки внутреннего контура. Коэффициент запаса по текучести равен:}

^{n_y = _yt/_экв = 300/133,3 = 2,25.}

^{1.Барташевич А. А. Материаловедение. — Ростов н/Д.: Феникс, 2008.}

^{2.Вишневецкий Ю. Т. Материаловедение для технических колледжей: Учебник. — М.: Дашков и Ко, 2008.}

^{3.Заплатин В. Н. Справочное пособие по материаловедению (металлообработка): Учеб. пособие для НПО. — М.: Академия, 2007.}

^{4.Материаловедение: Учебник для ВУЗов. / Под ред. Арзамасова Б. Н. — М.: МГТУ им. Баумана, 2008.}

^{5.Материаловедение: Учебник для СПО. / Адаскин А. М. и др. Под ред. Соломенцева Ю. М. — М.: Высш. шк., 2006.}

^{6.Материаловедение: Учебник для СПО. / Под ред. Батиенко В. Т. — М.: Инфра-М, 2006.}

^{7.Моряков О. С. Материаловедение: Учебник для СПО. — М.: Академия, 2008.}

^{8.Основы материаловедения (металлообработка): Учеб. пособие для НПО. / Заплатин В. Н. — М.: Академия, 2008.}

^{9.Ржевская С. В. Материаловедение: Учебник для ВУЗов. — М.: Университетская книга Логос, 2006.}

^{10.Солнцев Ю. П. Материаловедение: Учебник для СПО. — М.: Академия, 2008.}

^{11.Солнцев Ю. П. Материаловедение: Учебник для СПО. — М.: Академия, 2007.}

^{12.Справочник по конструкционным материалам. / Под ред. Арзамасова Б. Н. — М.: МГТУ им. Баумана, 2009.}

^{13.Черепахин А. А. Материаловедение: Учебник для СПО. — М.: Академия.}

^{14.Чумаченко Ю. Т. Материаловедение и слесарное дело: Учеб. пособие. — Ростов н/Д.: Феникс, 2009.}

^{15.Чумаченко Ю. Т. Материаловедение: Учебник для СПО. — Ростов н/Д.: Феникс, 2009.}