Процесс обучения математике на факультативных занятиях в классах основной школы

Содержание

1. Психолого-педагогические особенности применения факультативных занятий в основной школе

1.1 Типологические и возрастные особенности развития личности

1.2 Психолого-педагогические особенности среднего школьного возраста

1.3 Особенности учебной деятельности подростка

1.4 Отбор форм и методов проведения факультативного курса

1.5 Методы проведения факультативных занятий

1.6 Анализ учебной литературы

2. Историческая справка

2.1 Евклидовы «Начала»

2.2 Джованни Чева

2.3 Леонард Эйлер

2.4 Карл Фридрих Гаусс

2.5 Янош Больяи

2.6 Якоб Штейнер

3. Математическая часть

3.1 Обобщенная теорема синусов

3.2 Теорема Чевы

3.3 Замечательные точки

3.4 Вписанная и вневписанная окружность

3.5 Теорема Штейнера-Лемуса

3.6 Ортотреугольник

3.7 Серединный треугольник и прямая Эйлера

3.8 Окружность девяти точек

3.9 Педальный треугольник

4. Методическая часть

4.1 Структура факультативного курса

4.2 Планы занятий

4.2.1 Обобщенная теорема синусов

4.2.2 Теорема Чевы

4.2.3 Замечательные точки

4.2.4 Вписанная и вневписанная окружность

4.2.5 Теорема Штейнера-Лемуса

4.2.6 Ортотреугольник

4.2.7 Серединный треугольник и прямая Эйлера

4.2.8 Окружность девяти точек

4.2.9 Педальный треугольник

4.2.10 Контрольная работа

5. Описание эксперимента Заключение

«Ни один наставник не должен забывать, что его главнейшая обязанность состоит в приучении воспитанников к умственному труду, и что эта обязанность более важна, нежели передача самого предмета» [К.Д. Ушинский, т.2, стр. 360, изд. 1960].

Усиление связи науки, техники и производства характеризуются взаимозависимостью работников. Эти объективные условия требуют рабочих и специалистов с широким политехническим образованием. Оно необходимо не только для приспособления к постоянно изменяющимся орудиям труда и технологическим процессам, но и для социальной защищенности при конкуренции на рынке труда.

Математическое образование стало значительным средством повышения уровня подготовки будущих специалистов как естественно — научных и технических, так и гуманитарных дисциплин.

Цели преподавания математики в средней школе следующие: общеобразовательные, воспитательные и практические.

Преподавание математики, как и любого другого предмета, подвержены определенным изменениям в зависимости от задач, которые ставит перед школой современное общество.

Изучение математики вносит заметный вклад в умственное развитие человека. В процессе обучения в арсенал приемов и методов мышления естественным образом включаются анализ и синтез, индукция и дедукция, обобщение и конкретизация, аналогия. Объекты математических умозаключений и правила их конструирования вскрывают механизм логических построений, вырабатывают умение формировать, обосновывать и доказывать суждения, тем самым развивают логическое мышление. «От живого созерцания, к абстрактному мышлению и от него к практике…»

Обучение математике способствует развитию нравственных черт личности — настойчивости, и целеустремленности, познавательной активности и самостоятельности, дисциплины и критичности мышления, способности аргументировано отстаивать свои взгляды и убеждения.

Слабое развитие логического мышления и геометрической интуиции дает о себе знать уже в школе, затрудняя изучение ряда школьных предметов, а в деятельности взрослого человека оно иногда оказывается причиной многих неудач.

В результате реформы школьного математического образования в учебные планы общеобразовательных школ включены факультативные занятия, являющиеся составной частью всей учебно-воспитательной работы. Факультативные занятия учитывают интересы и наклонности учащихся, расширяют и углубляют изучение программного материала, знакомят учащихся с некоторыми общими математическими идеями, раскрывают приложение математики в практике.

Факультативные занятия стали составной частью школьного математического образования для той категории школьников, которые проявляют интерес к предмету.

Объектом данного исследования является процесс обучения математике на факультативных занятиях в классах основной школы.

Целью дипломной работы являются разработка факультативного курса по теме «Замечательные точки и линии треугольника» и разработка методики его преподавания для учащихся основной школы.

Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:

1. Анализ психолого-педагогической, методической литературы.

2. Анализ имеющегося методического обеспечения процесса обучения.

3. Анализ учебников по геометрии 7−9, 7−11 классов средней школы.

4. Определение роли и места факультативных занятий в процессе обучения математике.

5. Разработка плана факультативных занятий «Замечательные точки и линии треугольника» и конспекты конкретных занятий.

В ходе работы применялись различные методы исследования:

— изучение и анализ методической, педагогической и психологической литературы по теме работы;

— учебники по геометрии 7−9 кл., авторы Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина: геометрии 7−11 кл. автор А. В. Погорелов;

— беседы с опытными учителями;

— эксперимент;

— пробное преподавание элементов курса.

Изучение вопросов на факультативных занятиях по теме «Замечательные точки и линии треугольника» способствуют воспитанию устойчивого интереса к математике, знакомят учащихся с историей развития геометрии. При изучении материала осуществляется повторение и углубление имеющихся знаний, умений и навыков и овладение новыми знаниями.

Данная работа состоит из введения, четырех глав и заключения.

Глава 1 раскрывает психолого-педагогические особенности подросткового возраста и специфику обучения.

Глава 2 описывает историю развития математики.

В главе 3 представлены доказательства утверждений, образующих материал факультативных занятий.

В главе 4 показаны методы и приемы проведения факультативных занятий.

Заключение

содержит выводы и результаты проведенного исследования.

Практическая ценность работы определяется тем, что в ней разработаны: учебные материалы для проведения факультативного курса «Замечательные точки и линии треугольника»; методические рекомендации для его проведения; подобраны задачи по указанной теме.

обучение математика школа факультативный

1. Психолого-педагогические особенности применения факультативных занятий в основной школе

1.1 Типологические и возрастные особенности развития личности

Человек обладает огромным количеством степеней свободы — возбуждения и торможения, условных рефлексов и других психических процессов. Это огромный потенциал для" «величайших вариантов приспособлений» человека к разнообразным экстремальным условиям жизни, труда и общественной деятельности, выполнять множество вариаций творчества.

Кроме того, человеческий мозг обладает возможностями иррадиировать (распространять) раздражители, поступающие из различных рецепторных органов. Это создает условия для развития общих способностей. В то же время специфические функции различных образований коры головного мозга с их рецепторными органами создают основу для развития специальных способностей. В свою очередь, общие способности позволяют учащимся получить широкое общее и политехническое образование, а специальные — профессиональную подготовку, овладеть музыкой, литературой, искусством и т. д.

Эффективность использования потенциальных возможностей учащихся зависит от глубокого понимания закономерностей развития личности каждого ученика, индивидуальных и возрастных особенностей учащихся.

Каждый учитель должен хорошо знать, что фенологические особенности человека формируются под влиянием генотипа и внешних условий жизнедеятельности, совокупность которых и придает личности ученика индивидуальный характер.

Индивидуальные различия проявляются в особенностях слухового, зрительного, двигательного и других анализаторов, а также соответствующих им образований коры головного мозга, их пластичности или консервативности. Различия проявляются в общих типологических особенностях нервной системы (сангвиник, холерик, флегматик, меланхолик): в различной силе нервных процессов (возбуждения, торможения): в разных соотношениях между первичной и вторичной сигнальной системами. Эти врожденные особенности являются функциональной основой различия задатков, проявляющихся в скорости и прочности образования, перестройки системы связей (ассоциаций), условных рефлексов, мыслительных операций и т. д. Все это имеет фундаментальное значение для мыслительной деятельности, формирования умений и навыков, воспитания необходимых черт личности учащегося.

В конечном счете, типологические особенности образуют целостную личность как саморегулирующий организм, определяющий индивидуальные черты. Отсюда происходит и разное отношение к отдельным предметам, к теоретическим и практическим занятиям.

В зависимости от индивидуальных особенностей одни ученики тяготеют к творческому решению учебно-познавательных задач, другие — к решению по шаблону. Индивидуальными чертами определяются интересы и потребности каждой личности и формированию на их основе духовного мира — мировоззрения и идеалов, с особыми переживаниями и чувствами.

Таким образом, можно утверждать, что среди учащихся нет похожих друг на друга. Но при всем различии у них есть много схожего — и в общечеловеческих данных, и в их развитии и воспитании. Это сходство предопределяется сенситивными периодами, т. е. биологической предрасположенностью к той или иной деятельности. Граница между сенситивными периодами характеризуется новообразованиями.

Например, ребенок начинает сидеть только после укрепления первоначальной костно-мышечной структуры организма, ходить начинает только с развитием нижних конечностей, жевать пищу — после появления зубов, говорить — развитием речевого аппарата, мыслить — при условии развития коры головного мозга. В последующем развитии время от времени появляются условия для выполнения тех или других видов труда, уровня спортивных достижений и интеллектуальной деятельности.

Половое созревание происходит тоже в определенное время и создает для самих подростков и воспитателей немало проблем во взаимоотношениях мальчиков и девочек. В определенный период наступает потребность в самовыражении и самовоспитании, вызванной необходимостью самоутверждения в коллективе.

Как видим, у всех детей, подростков и юношеского возраста много типичного. Эти типологические особенности отражают возрастные закономерности, которые в педагогической науке и школьной практике делятся на возрастные периоды.

Развитие ребенка и школьника подразделяется на ряд возрастных периодов:

1. Младенческий возраст — до 1 года.

2. Ранний возраст от 1 до 3 лет.

3. Дошкольный возраст — от 3 до 6,5 лет.

4. Младший школьный возраст — от 6,5 лет до 10(1- 4 классы).

5. Средний школьный возраст — от 10 до 15 лет (5- 9 классы).

6. Старший школьный возраст — от 15- 17 лет (10 — 11 классы).

Психологи рассматривают дошкольный возраст и младший школьный возраст как детский, средний — как подростковый и старший школьный — как юношеский.

Учителю и воспитателю нужно хорошо знать возрастные особенности не для того, чтобы к ним приспосабливаться, а для того, чтобы на основе знания закономерностей возрастного развития учитывать особенности каждого ученика, обучать и воспитывать с наилучшими результатами.

1.2 Психолого-педагогические особенности среднего школьного возраста

Средний школьный возраст, особенно 5−7 классы, является наиболее ответственным для учителей и переломным в развитии подростка. В этот период происходит бурный биологический как количественный, так и качественный рост организма.

В физиологическом развитии подростковый возраст характеризуется тремя особенностями:

а) бурным ростом массы тела и отставанием в развитии сердечнососудистой системы, что приводит к диспропорции, обуславливающей быструю утомляемость, раздражительность:

б) половым созреванием, которое сопровождается развитием желез внутренней секреции, повышенной возбудимостью, что усложняет работу с подростками:

в) развитием и завершением окостенения скелета и костно-мышечной системы, что оказывает существенное влияние на развитие телосложения подростка.

В психическом развитии подростков происходят большие изменения. Восприятие носит целенаправленный характер, а наглядность служит в большей степени для понимания не только внешних, но и внутренних процессов. Наблюдательность становиться устойчивой чертой личности. В результате учебной деятельности все больше развивается анализирующее восприятие, растет удельный вес восприятия отвлеченного материала, усиливается роль символической наглядности.

Память — форма психического отражения, заключающаяся в закреплении, сохранении и последующем воспроизведении прошлого опыта, делающая возможным его повторное использование в деятельности или возвращение в сферу сознания. Память связывает прошлое субъекта с его настоящим и будущим и является важнейшей, показательной функцией, лежащей в основе развития и обучения. И если в младшем школьном возрасте память механическая, а мышление характеризуется соотношением конкретных предметов и явлений, то память подростка носит переходный характер: от механического запоминания предметов и явлений к абстрактно — логической памяти. Связь памяти с мыслительной деятельностью, с интеллектуальными процессами в подростковом возрасте на переходном этапе онтогенеза, приобретает самостоятельное значение. «Если у ребенка интеллект — это функция памяти, то у подростка память — функция интеллекта», писал Л. С. Выготский. Рассматривая предпосылки дальнейшего развития памяти в подростковом возрасте, Л. С. Выготский писал, что ключ к пониманию этого процесса «надо искать не в тех изменениях, которые происходят в самой памяти, а в тех, которые охватывают отношения памяти с другими функциями».

Мышление — это социально обусловленный, неразрывно связанный с речью психический процесс поисков и открытий нового, т. е. процесс опосредованного и обобщенного отражения действительности в ходе ее анализа и синтеза.

Существует одна особенность мышления подростка, важная для понимания работы его памяти. На этом переходном этапе развития человека мышление представлено двумя формами: конкретным (образным) и абстрактным (вербально-логическим). По мере развития подростка содержание его мыслительной деятельности изменяется в направлении перехода к мышлению в понятиях, которые, в свою очередь, более углубленно и всесторонне отражают взаимосвязи между явлениями действительности.

Эта особенность мышления подростка предъявляет свои требования и к организации процесса усвоения знаний. При подаче учебного материала педагогу следует использовать как конкретно — образные характеристики, логические, абстрактные, понятийные связи и отношения. Причем, использование характеристик, как тех, так и других должно четко соответствовать сложности материала. Вредно как излишне упрощение излагаемого материала, так и его усложнение. «Восход от конкретного к абстрактному, от особенного к общему. Мышление в процессе применения анализа и синтеза и других мыслительных операций вновь возвращается к конкретному, но уже обогащенному знанием общего, знанию многосторонних связей и отношений объектов».

Мотивами отношения к учению служит сочетание интереса к учебному процессу с социальной значимостью обучения.

Задача учителя в процессе обучения — сформировать потребность познания учащихся, которая обеспечивает:

Заинтересованность учащегося в освоении действий и понятий, через увязывание их, с трудовой мотивацией и мотивацией общения.

Обеспечить «проблемное включение» учащегося через стимулирование потребности в ориентировке, в новизне.

Поддерживать новизну не только за счет освоения той или иной исполнительской деятельности, но также и контроля, коррекции и оценки.

Примером для воспитания служат внешние черты людей — их одежда, должность, положение в обществе, в том числе и учителя.

Положение в коллективе утверждается самовыражением, любыми средствами.

Подростки характеризуются повышенной возбудимостью нервной системы и повышенной чувствительностью.

Психомоторика неодинаково развита у подростков. Одни малоподвижны, с трудом выполняют практические, познавательные и трудовые операции. Но, возможно у них хорошо развита память и мышление как компенсаторы малоподвижности организма. И, наоборот, другие с трудом воспроизводят изученный материал и решают задачи, тяжело выполняют мыслительные операции и пользуются знаниями, но они оперативно, легко выполняют практические действия на лабораторных и практических занятиях, в процессе трудовой деятельности. Эти особенности тоже учитываются учителем.

Психические качества сложнее учитывать, чем состояние здоровья. Но при изучении психических процессов нужно уделять им должное внимание. Например, восприятие, с помощью которого ученики по-разному получают информацию. Одни используют зрительный аппарат, а, следовательно, для них следует использовать средства наглядности: другие внимательно слушают учителя и получают звуковую информацию из его слов: третьи — лучше усваивают материал из учебника: четвертые — если они сами напишут или нарисуют, начертят, выполнят самостоятельную практическую работу.

Формируя самого себя, свои отношения с миром, подросток ищет и утверждает свою позицию в изменившихся условиях жизни, преодолевает внутренние тревоги, кризисы внешние сложности жизни. Мощные сдвиги происходят во всех областях жизнедеятельности ребенка, не случайно этот возраст называют «переходным».

В это время складываются, оформляются устойчивые формы поведения, черты характера и способы эмоционального реагирования, которые в дальнейшем во многом определяют жизнь взрослого человека, его физическое и психическое здоровье, общественную и личную зрелость.

1.3 Особенности учебной деятельности подростка

Учение для подростка является главным видом деятельности. От того, как учится подросток, во многом зависит его психическое развитие, становление как гражданина. В учебной деятельности подростка имеются свои трудности и противоречия, но есть и преимущества, которые может и должен использовать педагог. Преимущества учебной деятельности заключается в избирательной готовности, повышенной восприимчивости (сенситивности) к тем или иным сторонам обучения. Большим достоинством подростка является его готовность ко всем видам учебной деятельности, которые делают его взрослым в собственных глазах. Его привлекают самостоятельные формы организации занятий на уроке, сложный учебный материал, возможность строить самому свою познавательную деятельность за пределами школы.

Проблемы подростка связаны с тем, что эту готовность он еще не умеет реализовать; т.к. не владеет способами выполнения новых форм учебной деятельности. Обучить этим способам, не дать угаснуть интересу к ним — важная задача педагога. Нередко у подростков снижается общий интерес к учению, происходит «внутренний отход от школы». (А.Н. Леонтьев) Этот отход выражается в том, что школа перестает быть для ученика центром его духовной жизни, и, прежде всего изменением ведущей деятельности подростка.

Отсутствие учебной деятельности у учащихся является основной причиной «отхода от школы», что не дает возможности удовлетворить актуальную проблему возраста — потребность в самоутверждении.

Деятельность учащихся, когда они, побуждаясь прямыми мотивами самого учения, могут самостоятельно определять учебные задачи, выбирать рациональные приемы и способы решения, контролировать и оценивать свою работу — характеризуя ее сформированность учебной деятельности.

Целенаправленное формирование мотивов учения является одним из резервов повышения эффективности обучения подростков. Познавательная потребность подростка связана с удовлетворением потребности возраста. При ее удовлетворении у него формируются устойчивые познавательные интересы, которые определяют его положительное отношение к учебным предметам. Подростков привлекает возможность расширить, обогатить свои знания, проникнуть в сущность изучаемых явлений, установить причинноследственные связи.

Подростки испытывают большое эмоциональное удовлетворение от исследовательской деятельности. Им нравится мыслить, делать самостоятельные открытия. Неудовлетворение познавательной потребности и познавательных интересов вызывает у подростков не только состояние скуки, апатии, безразличия, но порой и отрицательное отношение к предмету. При этом у подростка в равной степени имеет значение, как содержание, так и процесс, способы приема и овладения знаниями. Очень важно, что бы учитель давал материал не только тот, что есть в учебнике. «Ни один наставник не должен забывать, что его главнейшая обязанность состоит в приучении воспитанников к умственному труду, и что эта обязанность более важна, нежели передача самого предмета».

Интересы подростков различают по направленности их познавательной деятельности. Одни учащиеся предпочитают описательный материал, их привлекают отдельные факты, другие стремятся разобраться в сущности изучаемых явлений, объяснить их с точки зрения теории, третьи проявляют большую активность при использовании знаний в практической деятельности. Одни учащиеся склонны к репродуктивной деятельности, другие — к творческой, исследовательской деятельности. При положительном отношении подростков к учению существенное значение имеет понимание значимости знаний. Для подростка очень важно осознать, осмыслить жизненное значение знаний, и, прежде всего их значение для развития личности. Это связано с усиленным ростом самосознания современного подростка. Многие учебные предметы нравятся подростку потому, что они отвечают его потребностям не только много знать, но и уметь, быть культурным, всесторонне развитым человеком.

Убеждения и интересы, сливаясь воедино, создают у подростка повышенный эмоциональный тонус и определяют их активное отношение к учебе.

Если же подросток не видит жизненного значения знаний, то у него могут сформироваться негативные убеждения и отрицательное отношение к существующим предметам. Неуспех, как правило, вызывает у подростка бурные, отрицательные эмоции и нежелание выполнять трудные учебные задания. И если неуспех повторяется, то у подростка закрепляется отрицательное отношение к предмету.

Ситуация успеха обеспечивает подростку эмоциональное благополучие, которое во многом зависит от оценки его учебной деятельности взрослыми.

Оценки для подростков имеют различный смысл. В одних случаях оценка дает возможность выполнить свой долг, занять достойное место среди товарищей, в других — заслужить уважение учителей и родителей. Нередко смысл оценки для подростка выступает в стремлении добиться успеха в учебном процессе и тем самым получить уверенность в своих умственных способностях и возможностях. Это связано с потребностью возраста, оценить себя как личность, свои слабые и сильные стороны. Для эмоционального благополучия подростка очень важно, чтобы оценка и самооценка совпадали. Только при этом условии они могут выступать как мотивы, действующие в одном направлении и усиливающие друг друга. В противном случае возникает внутренний, а иногда и внешний конфликт.

Учителю необходимо знать не только мотивы учения, но и условия их формирования. Отношение подростков к учению обусловлено, прежде всего, качеством работы учителя и его отношением к учащимся. Учитель должен быть требовательным, добрым, (не добреньким) справедливым и чутким, и тогда подростки будут учиться в полную силу своих способностей.

1.4 Отбор форм и методов проведения факультативного курса

Основным методом обучения в средней школе было формальное ведение теории, которая состояла из определенных математических понятий, догматически преподносимых доказательств теорем и решения задач, в большей части носящих искусственный характер.

Сложившаяся традиционная система математического образования в школе перестала удовлетворять возросшим потребностям общества. Еще в 1865 году ученик М. В. Остроградского (1801−1862) военный педагог В. Н. Шкларевич опубликовал в майском номере «Педагогического сборника» статью «Некоторые соображения о методе преподавания начальной математике», в которой были указаны основные пути реформы школьного математического образования.

Главная задача преподавания математики заключалась, по мнению автора, в развитии у школьника функционального мышления. Идейными последователями Шкларевича, в 80−90-х г. г. стали видные педагоги — математики С. И. Шохор — Троцкий (1853−1923), В. П. Шереметевский 1851- 1919) и др. «…Если вся математика есть, в сущности, учение о функциях, то ясно, что и элементарный курс должен группироваться вокруг основного понятия о функциональной зависимости».

Эти мысли спустя 9 лет после выступления В. П. Шереметевского повторил немецкий педагог-математик Ф. Клейн (1849−1925) на конференции в Братиславе. В 1908 году на IV Международном математическом конгрессе в Риме с участием России была образована комиссия по реформе математического образования.

Движение за реформу преподавания математики в школе возникло давно. Вопросы, связанные с ней, широко обсуждались на исторических Всероссийских съездах преподавателей математики. Результаты съездов поражают обилием интересных решений, идей и находок.

Среди обсуждаемых на 1-ом съезде (1913) в России вопросов была проблема возможного сближения школьного курса математики с математической наукой, доступное введение в школьную программу важнейших идей современной математики.

Перестройка всей системы народного образования, ликвидация неграмотности, тяжелые годы войны приостановили реформу математического образования. В конце пятидесятых годов прошлого столетия движение за реформу продолжилось. Выразилось это в выделении специальных часов на факультативные занятия. Первые факультативные курсы назывались «Дополнительные главы и вопросы математики».

В современной школе накоплен большой научный и практический опыт в решении дифференцированного обучения, истоком которого является фуркация обучения в средней школе.

Под фуркацией понимаем — разделение учебных планов с целью такой специализации учащихся, которая совместима с сохранением общеобразовательного характера школы.

10 ноября 1966 года было принято постановление" О мерах дальнейшего улучшения работы средней школы", в котором были предложены новые формы обучения. В частности, формы дифференцированного обучения, учитывающие индивидуальные склонности и способности учащихся. К этому моменту школа накопила опыт по организации и проведению таких форм обучения, как:

а) классы с углубленным изучением ряда предметов:

б) специализированные школы.

Факультативные занятия не только не противоречат указанным формам, но и дополняют их, являясь самой подвижной, доступной и массовой формой, т.к. могут быть введены в каждой школе. Учитель со своими учениками, пожелавшими посещать факультативные занятия, опираясь на примерные программы факультативного курса, может создать свой факультативный курс, отвечающий интересам конкретных учеников, что очень важно.

Экспериментальные проверки на факультативных занятиях позволили некоторые темы включить в основной курс математики. Например, «Метод координат» (7 класс), «Производная» (9класс) В практику работы школы факультативные занятия вошли в 1967;1968 учебном году.

К 1980 году был завершен переход средней школы на новую программу по математике. Новый факультативный курс состоял из трех разделов:

1. Избранные вопросы математики (7−10 класс)

2. Математика в приложениях (9−10класс)

3. Алгоритмы и программирование (8−10класс).

В настоящее время развернулось движение за новую реформу общеобразовательной и профессиональной школы. Реформой предусматривается дальнейшее развитие дифференциации обучения для учащихся 8−11 классов — как возможность углубленного изучения отдельных предметов, в том числе и математики.

Практика работы школы показала невозможность решение образовательных задач обучения в отрыве от воспитания и развития школьников и, наоборот, невозможность воспитания и развития в отрыве от процесса обучения. Таким образом, целью обучения на современном этапе развития государства должно быть не только формирование личности учащихся, а усвоение знаний, умений, навыков — как особая цель в общей системе целей формирования, и как средство воспитания.

В современной педагогике разработаны общие критерии отбора содержания учебного материала, удовлетворяющего требованиям комплексного подхода к обучению, воспитанию и развитию учащихся.

1. Критерий целостности содержания образования, предполагает достаточно полное отражение в нем требований современного общества к всестороннему, гармоническому развитию личности и охват всех основных направлений современной науки, производства, общественной жизни и культуры.

2. Критерий научной и практической весомости элементов содержания образования, который обеспечивает широкое политехническое образование и высокую профессиональную подготовку, которые тем самым обеспечат социальную защищенность подрастающего поколения в условиях рыночных отношений. Факультативный курс не может охватить всех направлений современной науки.

3 Критерий соответствия возрастным возможностям учеников, предполагает выявление элементов содержания, которые вызывают большие затруднения у значительной части школьников соответствующего возраста, поиск возможных путей устранения этих затруднений.

4. Критерий соответствия имеющемуся времени на изучение данного учебного материала, предполагающий затраты времени, необходимые для углубленного и прочного усвоения соответствующих тем содержания, соответствуют критериям качества усвоения знаний, практических умений и навыкам.

5. Критерий соответствия содержания имеющейся учебно-методической и математической базе современной школы.

6. Критерий соответствия международному опыту построения содержания школьного образования.

Перечисленные критерии отбора содержания материала указывают лишь общее направление, следуя которым и учитывая специфику факультативных занятий, можно сформировать критерии отбора содержания учебного материала для факультативных занятий.

В методической литературе вопрос о критериях отбора факультативных занятий, направленных на комплексное решение образовательных, развивающих и воспитательных задач обучения не ставился. Различные авторы, в зависимости от целей факультативных курсов, высказывают различные рекомендации для отбора содержания.

Анализ, проведенный соответствующей литературы, в ходе которого выделены следующие рекомендации по отбору содержания факультативных занятий.

1. Преемственность основного и факультативного курса. Опрос учащихся показывает, что они предпочитают факультативные курсы, содержание которых связано с основным курсом, основываются на понятиях, известных учащимся из основного курса, как бы расширяют и углубляют материал основного курса математики. В этом случае факультативные курсы имеют большую эффективность, что, прежде всего, связано с экономией времени, учащихся не надо вводить в круг основных понятий и методов темы, знакомить с терминологией и обозначениями. Углубленное изучение темы основного курса дает возможность для обобщения и систематизации обязательных знаний, показа их развития и применения к решению более сложных задач в математике и других науках.

2. Целостность содержания. Использование термина целостности является естественным для отбора содержания факультативного курса в смысле внутренней взаимосвязи содержания, концентрации его вокруг нескольких основных понятий, законов и методов. Это позволяет сосредоточить усилия учащихся в одном направлении, повышает доступность материала, позволяет за короткое время добиться наибольшей эффективности и качества обучения.

3. Научная и практическая значимость элементов содержания. В решении этой задачи большая помощь может быть оказана, если в факультативный курс будет включена:

— сведения об ученых, занимавшихся решением проблемы:

— история возникновения и постановка той или иной проблемы;

— поиски решения, трудности на пути решения проблемы;

— значимость решения проблемы для развития науки;

— применение полученного результата в других областях знаний;

— применение полученного результата к решению прикладных задач.

Реализация критерия научной и практической значимости содержания факультативных занятий — «раскрытие межпредметных связей изучаемого материала» [А.Д. Александров О геометрии Математика в школе 1980 н3 с 56−62 с 58] ученику нужно показать реальные связи и воплощение геометрии в жизни, в природе, в искусстве, в науке и технике. Геометрия должна предстать перед учениками — «не как сухой предмет, подлежащий зубрежке и сдаче на экзамене, а как полное содержания, значения и красоты явление культуры, как наука в ее связях с реальными вещами».

4. Соответствие содержания факультативного курса воспитательным и развивающим целям обучения.

Не всякое содержание способствует достижению целей воспитания и развития учащихся. Надо специальным образом конструировать содержание факультативного курса, включая в него элементы истории, современности, занимательности, красоты математики Занимательность в смысле показа занимательных элементов в самом содержании математики. К ним можно отнести: неожиданный факт, аналогии, примеры, исторические материалы, решение поучительных задач. Еще Н. И. Лобачевский обосновал дидактический принцип" «преподавание, приноровленное к возрасту». Ученый считал, что занимательность — необходимое средство возбуждать, поддерживать внимание, без которого преподавание не будет успешным.

5. Формирование мировоззрения ускоряет у учащихся гражданскую и политическую зрелость. С 5-го класса школьники приобщаются к систематическому изучению научных знаний основ наук. Опираясь на представления о природе, обществе, полученные в начальных классах, учащиеся средней и старшей школы на уроках, во внеклассной и внешкольной работе углубляют и обобщают знания об окружающем мире, объединяют их в целостное представление о природе. Но главное для мировоззрения — комплексный подход к интеграции знаний, развитие диалектического мышления школьников.

6. Соответствие содержания факультативного курса возрастным и индивидуальным особенностям. Эта рекомендация предполагает не только доступность изучаемого материала, уровня трудности изучаемого материала, но и включение в содержание материала, вызывающего повышенный интерес, стимулирующий творческую деятельность, соответствующую уровню развития школьников.

7. Соответствие содержания учебно-методическому обеспечению. Тем самым предполагается что, факультативные занятия охватываются учебными пособиями, научно-популярной литературой, наглядными пособиями и техническими средствами обучения в объеме, достаточном для успешного решения поставленных задач познания.

8. Соответствие содержания имеющемуся времени. Планирование содержания факультативного курса по занятиям, а также соответствие всего объема факультативного курса времени, отведенного на его прохождение.

Рекомендации отбора содержания факультативного курса требуют применения таких методов и форм обучения, которые бы побуждали учащихся к самостоятельной, поисковой, исследовательской деятельности, активизировали бы творчество учащихся.

Выбор форм и методов обучения на факультативных занятиях должны отвечать [Кадыров, с.17]:

— организации самостоятельной работы учащихся на всех этапах обучения:

— построение процесса изучения материала как совместной исследовательской деятельности каждого учащегося:

— индивидуализация и увеличение объема самостоятельной работы каждого учащегося.

Анализ методической литературы дал возможность выделить следующие критерии отбора методов проведения факультативных занятий.

1.5 Методы проведения факультативных занятий

Методы проведения факультативных занятий должны обеспечивать:

1. Преемственность методов, применяемых на основных и факультативных занятиях, по математике означает, что методы, используемые на факультативных занятиях, являются естественным продолжением методов, используемых на основных уроках.

2. Соответствие целей и задач обучения, предполагает выбор методов обучения и целей для учета задач образования, воспитания и развития, которые будут реализовываться на данном этапе и на протяжении изучения всего материала факультативного курса.

3. Соответствие содержания факультативных занятий предполагает, использование тех или иных методов обучения, зависящих от содержания изучаемого материала. Различное содержание требует применения различных форм и методов обучения.

4. Соответствие возрастным и индивидуальным особенностям развития подростков предполагает такой выбор методов обучения, которые в наибольшей степени помогли лучше развить «интеллектуальные операции в познавательной деятельности», формировать технику самообразования, рациональной работе с учебным материалом, (конспектирование, рефераты, использование тезисов, работа с учебником).

5. Методическая классификация методов обучения должна соответствовать трактовке методов обучения математике. Математическое содержание учебного предмета развивается главным образом посредством индукции, дедукции и обобщения, а способы взаимодействия учителя и ученика выражаются через репродукцию, эвристику и исследование.

По характеру учебно-познавательной деятельности и организации материала можно выделить следующие методы обучения:

1) индуктивно-репродуктивный:

2) индуктивно-эвристический:

3) индуктивно-исследовательский:

4) дедуктивно-репродуктивный:

5) дедуктивно-эвристический:

6) дедуктивно-исследовательский:

7) обобщеннорепродуктивный:

8) обобщенно-эвристический:

9) обобщенно-исследовательский.

Суть индуктивно-репродуктивного метода заключается в том, что учитель создает такую ситуацию, в которой ученик воспроизводит понятие или теорему в процессе частных случаев, например, посредством решения задач на выделение ситуаций, удовлетворяющих условиям теоремы, или решению задачи (изучение теоремы) осуществляется по плану, предложенному учителем.

Пример. Перед выполнением упражнения на умножение чисел с разными знаками учащиеся получают предписание: «Произведение двух чисел с разными знаками есть число отрицательное. Чтобы найти модуль произведения, надо перемножить модули этих чисел». Пользуясь этим предписанием, ученик выполняет упражнения, соотнося свои действия с указанными рекомендациями. Например, умножая -1,5 на 7, ученик указывает, что даны числа с разными знаками, читает по частям предписание и выполняет соответствующие действия.

Дедуктивно-репродуктивный метод предполагает воспроизведение частных случаев в процессе решения задач, где используется общее положение. Например, теорема о сумме смежных углов воспроизводится посредством решения задач на нахождение одного из смежных углов, если задан другой.

При обобщенно-репродуктивном методе цель достигается путем воспроизведения изученных фактов. Например, выполняя упражнения на воспроизведение умножения двучлена вида (а — в) на двучлен вида (а + в) на основе правила умножения многочлена на многочлен, учащиеся получают известную формулу:. Или поэлементное овладение некоторым действием осуществляется в процессе усвоения его компонентов и их совокупностей. Так, усвоение векторного метода предполагает овладение действиями перевода геометрического языка на алгебраический векторный и обратно, сложение и вычитание векторов, представления вектора в виде суммы, разности векторов и т. п.

Индуктивно-эвристический метод предполагает самостоятельное открытие фактов в процессе рассмотрения частных случаев. Примеры. Упражнения на умножение степеней с одинаковым основанием приводят к открытию определения произведения степеней с одинаковыми основаниями. Выполнение цепочки упражнений на построение образов треугольника и точки пересечения его высот в гомотетии с к=-0,5 относительно точки пересечения медиан этого треугольника приводит к открытию известной теоремы Эйлера.

Дедуктивно-эвристический метод заключается в открытии частностей любого факта при рассмотрении общего случая. Примером проявления этого метода может служить решение любой конкретной задачи на применение какой-либо теоремы. Пусть учителем предложена задача на применение свойств и признаков параллелограмма: «На диагонали ВД параллелограмма АВСД отмечены две точки Р и О так, что РВ = ОД. Докажите, что четырехугольник АВСО — параллелограмм». Её решение позволяет открыть частный случай, заключающийся в том, что указанное в задаче условие обусловливает тот факт, что полученный четырехугольник является параллелограммом. Или: решение конкретного квадратного уравнения по общей формуле приводит к зависимости между заданными коэффициентами при Х₂, Х и свободным членом и корнями данного уравнения.

Эвристическое обобщение предполагает создание учителем такой ситуации, в которой ученик самостоятельно (или с небольшой помощью учителя) приходит к обобщению. Например, измеряя стороны и углы произвольных треугольников, ученики могут открыть следующую зависимость между углами и сторонами треугольника: против большей стороны треугольника лежит больший угол и наоборот.

Индуктивно-исследовательский метод заключается в проведении исследований различных феноменов посредством изучения их конкретных проявлений. Пример, изучая свойства четырехугольников в зависимости от наличия у них симметрии, приходим к таким видам четырехугольника, как прямоугольник, ромб, квадрат.

Дедуктивно-исследовательский метод заключается в организации исследований посредством дедуктивного развития учебного материала. Он проявляется в таких формах, как аксиоматический метод, метод моделирования, решение задач на применение теорем.

Обобщенное исследование предполагает наличие в учебном материале ситуаций, исследование которых приводит к обобщенному знанию Например, рассматривая различные случаи расположения вписанных в окружность углов, можно прийти к известной теореме о том, что вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Наряду с традиционной системой обучения, в которой лежит совокупность дидактических принципов, наиболее распространены проблемное и программированное обучение, система обучения Л. В. Занкова.

В качестве основы проблемного обучения предлагается следующая система дидактических принципов:

— научности и систематичности обучения;

— активности и самостоятельности учащихся в обучении;

— единство образования, воспитания и развития;

— связь теории с практикой;

— проблемности.

Организация проблемного обучения предполагает качественно иное взаимодействие учителя и учащихся, специфическое построение учебного материала. Специфика построения учебного материала основывается на выделении ведущих идей курса, их развитии, роли «человеческого фактора» в этом процессе. Важнейшим моментом взаимодействия учителя и обучающихся становится организуемое и руководимое учителем самостоятельное овладение учащимися знаний.

Познание учащихся осуществляется как исследование в процессе интеллектуальной учебной деятельности. В основной школе обеспечивается эвристическим и исследовательским методами.

Под проблемной ситуацией понимаем осознанное затруднение, порождаемое несоответствием, несогласованностью между имеющимися знаниями и теми, которые необходимы для решения предложенной задачи. Задача, создающая проблемную ситуацию, называется проблемной задачей или проблемой. Проблема должна быть доступной пониманию учащихся, а ее формулировка — вызвать интерес, постановка проблемы должна быть естественной. Проблемную ситуацию нужно готовить, она должна создаваться всем ходом урока, быть ее органической частью. Пути создания проблемной ситуации:

Предварительная постановка практической проблемы:

1. Разбор возможностей использования изученного материала:

2. Поиск средств выполнения решения:

3. Решение нешаблонных задач.

В первом случае мы можем предложить учащимся проверить вертикальную кирпичную кладку стен с помощью отвеса. ЕЕ анализ порождает проблему выяснения математической основы этого приема.

Во втором случае мы можем после доказательства тождества .

Возникает вопрос, как использовать его для вычислений. Учащиеся, прежде всего, обращают внимание на применение этой формулы при умножении. С ее помощью можно вычислять квадраты чисел.

Подводя итоги, выделяем следующие вопросы методического обеспечения факультативного курса:

1. Отбор содержания факультативного курса, отвечающего поставленным целям обучения.

2. Разработка программы факультативного курса, в которой предусматривается:

— распределение содержания по занятиям:

— указание вопросов для самостоятельного изучения:

— перечень рефератов, носящих самостоятельный, творческий характер:

— литература, в которую входят: учебно-методические пособия, статьи, книги по тематике факультативного курса.

3. Разработка программ каждого занятия с указанием:

— содержания материала, рассматриваемого на занятии:

— домашнее задание:

— индивидуальные задания:

— темы докладов и сообщений для учащихся:

— литература:

— формы и методы проведения занятий.

4. Составление индивидуальных планов работы школьников, посещающих факультатив, в которых предусматривается:

— выполнение заданий, носящих образовательный воспитательный и развивающий характер:

— работа с научнопопулярной литературой:

— подготовка докладов и сообщений:

— написание реферата.

1.6 Анализ учебной литературы

Первой русской учебной книгой по математике была «Арифметика» Л. Ф. Магницкого (1703): в 1739 переведены на русский язык «Начала» Евклида. В 1740 издана «Универсальная арифметика» Л. Эйлера, в 1757 — «Универсальная арифметика» Н. Г. Курганова, вытеснившая из школ учебник Магницкого.

В 1-й четверти 19 века преподавание математики велось по трем учебникам: «Начальные основания математики» А. Г. Кестнера (перевод с немецкого, 1792−1794): «Курс математики» Т. Ф. Осиповского (т. 1−3, 1801−1823) до 1812 был основным учебным пособием для гимназий, отличался полнотой и ясностью изложения, превышал по объему гимназический курс: учебник Н. И. Фусса «Начальные основания чистой математики» (ч. 1−3, 1810 — 1812), стал первым стабильным учебником для гимназий. В 30 годы для употребления в гимназиях рекомендовались «Руководство к арифметике» и «Собрание арифметических задач» Ф. И. Буссе, которые по простоте изложения превосходили существовавшие учебники. Они были продуманы и в методическом отношении: обучение начиналось с простых и наглядных истин, соблюдался постепенный переход к трудным понятиям, объяснение проводилось раньше правил. В качестве задачника применялись «Арифметические листки» П. С. Гурьева, которые содержали 2523 задачи с решениями, расположенными последовательно от «легчайших к труднейшим».

Во второй половине 19 века в гимназиях использовалась «Элементарная геометрия в объеме гимназического курса» (1864) А. Ю. Давидова. С 90-х годов в школе используются учебники А. П. Киселева.

Перестройка системы среднего образования, проводившаяся в связи с реформой средней и профессиональной школы, потребовала усиления мировоззренческой направленности курса математики, его воспитывающего значения, роли самостоятельной деятельности учащихся. Трактовка основных геометрических понятий ориентирована на их широкое применение в смежных дисциплинах. Построение курса геометрии стало традиционным, близким к курсу А. П. Киселева.

Действующей программой по математике предусмотрено систематическое изучение курса геометрии в основной и средней школе. С 1982 года в школах Российской Федерации используется учебник по геометрии для 7−11классов А. В. Погорелова, учебник по геометрии Л. С. Атанасяна, В. Ф. Бутузова, С. Б. Кадомцева, Э. Г. Позняк, И. И. Юдиной с 1988. Изданы учебники для профильных физико-математических классов по геометрии А. Д. Александрова, А. Л. Вернера и В. И. Рыжик, И. Ф. Шарыгина, для гуманитарного профиля — учебник геометрии В. Ф. Бутузова и др.

Учебники по геометрии А. В. Погорелова и Л. С. Атанасяна учат школьников основной школы систематическому изучению свойств геометрических фигур на плоскости, формированию пространственных представлений, развитию логического мышления и подготовку головного мозга для изучения смежных дисциплин (физика, черчение и т. д.) и курса стереометрии в старших классах. Несколько разное расположение теорем не сказывается на сегодняшних требованиях к математической подготовке учащихся основной и средней школы.

Хочется отметить, что учебник по геометрии Л. С. Атанасяна разработан так, что его можно использовать и для учащихся желающих продолжать углубленное изучение математике. «Содержание дополнительных глав расширяет и углубляет геометрические сведения, представленные в главах основного учебника: вводятся новые понятия, рассматриваются интересные геометрические факты, дается обоснование некоторых утверждений, которые в основном учебнике принимаются на основе наглядных представлений либо предлагались в виде задач повышенной трудности». Л. С. Атанасян и другие Геометрия дополнительные главы к учебнику Москва Просвещение 1990 г.

Курс школьной геометрии является традиционным курсом евклидовой геометрии, дополненным простейшими вопросами векторной алгебры и аналитической геометрии.

2. Историческая справка

Положение математики в современном мире далеко не то, каким оно было сто или даже шестьдесят лет назад. Математика превратилась в повседневное орудие исследования в физике, астрономии, биологии, инженерном деле, организации производства и многих других областях теоретической и прикладной деятельности. Многие крупные врачи, экономисты и специалисты в области социальных исследований считают, что дальнейший прогресс их дисциплин связан с более широким и полнокровным использованием математических методов, чем это было до настоящего времени. Там, где недавно царил чисто качественный подход, теперь отыскиваются строгие количественные закономерности и строятся математические модели изучаемых явлений. И чем грандиознее замыслы познания, относятся ли они к макро — или микромиру, тем более значительной становится роль математики [Б.В. Гнеденко Математика в современном мире. — М.: «Просвещение», 1980].

За тысячелетия своего существования математика прошла большой и сложный путь, на протяжении которого неоднократно изменялся ее характер, содержание и стиль изложения.

Еще в древности геометрия превратилась в дедуктивную, строго логическую науку, построенную на основе систем аксиом.

Первичные математические представления были в обиходе у людей на самых ранних стадиях развития человеческого общества. Хозяйственные потребности вынуждали людей совершенствовать правила счета, измерения расстояний, а также расширять объем математических понятий. Следует отметить, что на этой ступени развития математические сведения различных народов, практически не общавшихся между собой, поразительно близки по форме и содержанию. Правила вычисления объемов и площадей, использовавшиеся в Древнем Вавилоне и Египте, тождественны аналогичным правилам Древнего Китая. Свойство сторон прямоугольного треугольника, известное под именем теоремы Пифагора, было найдено для частных случаев треугольников с целочисленными сторонами задолго до Пифагора в Древнем Вавилоне. Оно было известно и в Древнем Китае. Все народы, обращаясь к изучению геометрических форм, исходят фактически из одних и тех же практических задач. Людям необходимо было различать прямоугольники, круги, треугольники, цилиндры, параллелепипеды и тетраэдры. Хозяйственные потребности вынудили постепенно выработать правила вычисления площадей и объемов наиболее простых плоских фигур и пространственных тел. Этого требовали нужды передела земель, вычисления объемов дворцов, строений, земляных работ. В начальный период развития математики были подмечены не только правила сложения целых чисел, но и многие другие закономерности, сохранившиеся в арифметике и геометрии до наших дней.