Выбор решения в архитектуре

В классической работе Р. Беллмана и Л. Заде [4] рассматривается процесс выбора решения в нечеткой среде, когда управляемая система является либо детерминированной, либо случайной. В этой cтатье обсуждаются вопросы использования нечетких множеств для описания выбора решения в архитектуре.

Вопрос взаимодействия математики и архитектуры всегда интересовал исследователей. Видный французский архитектор Ле-Корбюзье писал: «Природа — действительно математика. Шедевры искусства созвучны природе, выражают ее законы, питаются ею. А отсюда произведение искусства есть тоже математика, и ученый вполне может применить к произведению искусства ее беспощадные умозаключения и неумолимые формулы». Человек всю свою историю, созерцая природу, создавал красоту и стремился понять ее законы — законы гармонии. Законы гармонии изучались и изучаются во всех областях искусства. Так например, в архитектуре, как писал Ле-Корбюзье: «Наша цель — установить порядок, и может быть сверх ожиданий — гармония увенчает наши усилия». В этом плане Ле-Корбюзье активно использует законы пропорции — местоположение прямого угла, золотое сечение и т. д. [1].

Эти законы — продукт традиционной математики. Однако во многих случаях классические законы гармонии следует расширить с привлечением теории нечетких множеств Л. Заде. Являясь по своей природе нечеткими, красота и гармония могут быть восприняты и поняты человеком, так как мозг человека в отличие от кибернетического «мозга» опирается не на двузначную логику, а на многозначную (или нечеткую) логику.

Как и всякая наука, архитектура также имеет свою теоретическую базу — процесс образования композиции. Схематично он представлен на рис. 1.

Рис. 1. Схема процесса образования композиции

При создании архитектурной композиции имеют место различные комбинации и перестановки элементов. Поэтому процесс формообразования есть многошаговый процесс, а управляемая архитектором система может рассматриваться как случайная. В результате формообразования получается много вариантов композиций и происходит выбор наилучшего варианта (красивого, гармоничного и т. п.). Здесь имеет место процесс принятия решения, который происходит в нечетких условиях. Утверждение, что «выбранная композиция является красивой, гармоничной» является неточным вследствие расплывчатости или нечеткости понятия красоты, гармонии. Такая неточность выражается нечеткими множествами [2], в которых нельзя указать строгую границу между элементами, принадлежащими и не принадлежащими к нему. Поэтому здесь вводится функция принадлежности А (x) элемента х нечеткому множеству А. В нашем случае, будем считать, что элемент х — это один из вариантов композиции, а множество, А есть совокупность красивых вариантов композиции, которое назовем нечетким множеством гармонии. Анализу систем и принятию решений в нечетких условиях посвящена фундаментальная работа Л. Заде и Р. Беллмана [4].

Пусть Х={x}-совокупность объектов (вариантов композиций). Тогда нечеткое множество гармонии, А и Х есть совокупность упорядоченных пар:

где А (x) — степень принадлежности элемента x к нечеткому множеству A.

Задача оценки (x) по известному множеству пар, т. е. задача абстрагирования занимает центральную роль в распознании образов [5]. И к нашей задаче — распознавания наилучшего варианта композиции — можно подойти с этой точки зрения.

В данной работе, мы поставим другую задачу. Будем считать, что (x) задано для всех xX. Решение предполагает выбор одной или нескольких из имеющихся альтернатив, поэтому здесь решением будет нечеткое множество в пространстве альтернатив, получающееся в результате слияния (пересечения) заданных целей и ограничений.

Совокупное влияние нечетких ограничений G представляется пересечением G1 G2… Gn. Функция принадлежности в этом случае имеет вид:

Пример. Пусть имеется 5 альтернатив, т. е. 5 вариантов композиций. Обозначим их через X={1,2,3,4,5}. Предположим, что заданы для них ограничения G1, G2, …, Gn, как показано в таблице 1.

Таблица 1.

	X.
Пропорция.		0,1.	0,5.	1,0.	0,8.	0,7.
Масштаб.		0,2.	0,2.	0,6.	0,7.	0,8.
Контраст.		0,3.	0,4.	0,2.	0,5.	0,9.
Нюанс.		0,8.	0,5.	0,4.	0,3.	0,5.
Ритм.		0,4.	0,6.	0,7.	0,4.	0,6.
Метрический повтор		0,6.	0,1.	0,8.	0,9.	0,1.
Пластика.		0,3.		0,3.	0,7.	0,2.
Динамика.		0,1.	0,2.	0,5.	0,5.	0,8.
Статика.		0,7.	0,3.	0,7.	0,3.	1,0.
Цвет, тональное единство.		0,2.	0,9.	0,4.	0,2.	0,8.
Равновесие.		0,3.		0,9.	0,4.	0,9.

В этом случае, решение есть расплывчатое множество:

D={1;0,1); (2; 0); (3;0,2); (4;0,2); (5; 0,1)]} (таблица 2).

Таблица 2.

Эффективное решение есть четкое подмножество DM нечеткого множество D, определяемое условиями:

где K — множество тех X, в которых, каждое X из DM называется максимизирующим решением Таким образом — эффективное решение, x={3,4} - максимизирующее решение и вариант, близкий к вариантам, 3 и 4 будет наилучшим.

Если бы в рассматриваемом случае, т. е., то максимизирующее решение хшедевр искусства. Действительно, в этом случае и Х — эффективное решение.

В таблице 1 значения и т. д. взяты произвольно. Оценка этих величин может идти таким способом. Возьмем одно из ограниченийпропорцию G1. Понятно, что в композиции идеальному варианту соответствует p =100. Однако, сама цель является нечеткой: «p должно быть значительно больше 0»). В этом случае, функция принадлежности пропорции может иметь вид:

где 0100.

Точно так же можно взять и для других ограничений G2, G3… и т. д., если все эти ограничения (пропорция, масштаб, контраст, нюанс, ритм и т. д.) имеют одинаковую важность. В противном случае, как показано в 5, решение D может выражено выпуклой комбинацией целей и ограничений с весовыми коэффициентами ,… и т. д., характеризующими относительную важность составляющих элементов. Таким образом, где +++…+=1.

В работе 4 подробно рассматривается задачи, связанные с многошаговым процессах принятием решений в нечетких условиях. Как нам кажется, решения этих задач могут быть нами использованы.

В процессе формообразования могут быть различные состояния (варианты композиции) Xt где t = 0,1… и при этом, имеет место входной сигнал (в нашем случае-ограничения-масштаб, пропорция и т. д.) Ut, UtU=1, 2 …. Понятно, что состояние Xt+1 зависит от Xt и Ut и описывается уравнением эволюции.

Xt+1 =(Xt, Ut).

Пусть в определенный момент времени заданы функции принадлежности и В упомянутой работе [4] находится последовательность (U0, U1 … Un-1), которая максимизирует решение Решение представляется в виде:

нечеткий множество архитектура логика.

где nпринятая стратегия, т. е. принятое правило выбора входного воздействия Un в зависимости от реализовавшегося Xn .

После этого для нахождения Xn и максимизирующего (эффективного) решения применяется метод динамического программирования.

В заключении, хочется отметить, что применение нечеткой логики в архитектуре и, вообще, в искусстве представляет собой очень интересную проблему, и наша работа есть лишь одна из первых попыток ее анализа. Несомненным является то, что законы гармонии очень тесно связаны с теорией нечетких множеств Л. Заде.

Ле Корбюзье. Архитектура XX века. — М.: Прогресс, 1977.

Zadeh L.A. Fuzzy sets// Information and Control. — 1965. — Vol. 8. — P.338−353.

Meyer P.A. Probability and Potentials. — Waltham, Massachusets: Blaisdell, 1966.

Belman R.E., Zadeh L.A., Decision — making in a fuzzy environment// Management Science. -1970. — Vol.17. — P.141−164. Имеется перевод: Беллман Р., Заде Л. Принятие решения в расплывчатых условиях: Сборник переводов/ Под ред. И. Ф. Шахнова, М.:Мир, 1976. — C.172−215.

Bellman R.E., Kalaba R., Zadeh L.A. Abstraction and Pattern Classification// J.Math.a.Appl. -1966. — Vol.13. — P.1−7.