Вычисление математического ожидания дохода от функционирования сети

Зададим формальное описание состояния системы:

где — число заражённых компьютеров в момент времени t, — число здоровых компьютеров на лечении в момент времени t, — число заражённых компьютеров на лечении в момент времени t. Предположим, что в начальный момент времени сеть находится в состоянии (0,0,0). Обозначим — условное математическое ожидание дохода системы до начала переустановки ОС при условии, что процесс стартует из состояния и время, оставшееся до плановой переустановки, равно x. Тогда. Для того чтобы найти выражение для составим систему интегральных уравнений относительно :

.

и.

Согласно формуле полного математического ожидания:

Получена интегральная система из десяти уравнений с десятью переменными .

Решение системы интегральных уравнений в терминах преобразования Лапласа

Опр.1. Пусть даны две функции и, определённые в пространстве, тогда свёрткой называет интеграл вида.

Уравнение полученной системы можно в общем случае записать как:

Пользуясь свойством интегрирования суммы выражение (15) можно привести к виду:

где — первообразная функция от. Заметим, что интегральная часть выражения является свёрткой. Таким образом, получена система из десяти интегральных уравнений типа свёртки.

Интеграл от комплексного переменного p называется Преобразованием Лапласа. Функцию называют изображением, а — оригиналом.

Используемые свойства преобразования Лапласа:

· Линейность.

.

и .

· Свойство свёртки Таким образом, выражение (16) при применении преобразования Лапласа перейдёт в выражение.

здесь — являются изображениями соответственно.

Заметим, что только функция содержит неизвестную величину или несколько, общий вид которых можно записать как, причём .

В итоге, после применения к выражению (16) преобразования Лапласа система интегральных уравнений переходит в систему линейных уравнений, с десятью неизвестными.

Для её получения нужно получить несколько вспомогательных формул.

При применении выражений (18)-(21) к полученной ранее системе интегральных уравнений, получаем:

.

Решение данной системы было найдено с помощью пакета прикладных программ MATLAB.