Расчет силы взаимодействия зарядов

1. Если в центр квадрата, в вершинах которого находятся заряды по +2 нКл, поместить отрицательный заряд, то результирующая сила, действующая на каждый заряд, будет равна нулю. Вычислить числовое значение отрицательного заряда.

Решение.

Величина силы, с которой взаимодействуют два заряда и (закон Кулона):

где Ф/м — электрическая постоянная;

— расстояние между зарядами.

Будем рассматривать силы, действующие на четвёртый заряд.

Со стороны трёх других положительных зарядов действуют силы отталкивания, равные соответственно:

;

;

;

Согласно принципу суперпозиции полей, результирующая сила отталкивания будет равна:

.

Поскольку заряды расположены в вершинах квадрата и равны по величине, то сила будет направлена по продолжению диагонали, соединяющей второй и четвёртый заряды, и равна по величине:

Отрицательный заряд будет находиться от четвёртого заряда на расстоянии:

.

Сила притяжения со стороны отрицательного заряда также направлена по диагонали квадрата и равна по величине:

.

Согласно принципу суперпозиции полей, равнодействующая всех сил будет равна:

.

Силы и противоположно направлены, поэтому равнодействующая сила будет равна нулю, если силы и будут равны по величине:

.

Отсюда найдём величину отрицательного заряда:

;

нКл.

Или с учётом знака: нКл.

Ответ: нКл.

2. Какую работу совершают силы поля, если одноимённые заряды 1 и 2 нКл, находившиеся на расстоянии 1 см, разошлись до расстояния 10 см?

Решение.

Одноимённые заряды и отталкиваются друг от друга с силой, равной:

.

Для того чтобы раздвинуть заряды на небольшое расстояние, поле должно совершить работу:

.

Найдём работу, которую совершат силы поля при раздвижении зарядов от расстояния до расстояния :

Дж = 1,62 мкДж.

Ответ: мкДж.

3. Найти объёмную плотность энергии электрического поля, создаваемого заряженной металлической сферой радиусом 5 см на расстоянии 5 см от её поверхности, если поверхностная плотность заряда на ней 2 мкКл/м².

Решение.

Напряжённость электрического поля равномерно заряженной сферы радиусом на расстоянии от её поверхности:

.

Заряд на металлической сфере:

где — поверхностная плотность заряда;

— площадь поверхности сферы.

Тогда выражение для напряжённости электрического поля заряженной сферы примет вид:

.

Объёмная плотность энергии электрического поля равна (примем диэлектрическую проницаемость среды равной 1):

;

Дж/м³ мДж/м³.

Ответ: мДж/м³.

4. Определить электродвижущую силу аккумуляторной батареи, ток короткого замыкания которой 10 А, если при подключении к ней резистора сопротивлением 2 Ом сила тока в цепи равна 1 А.

Решение.

Сила тока, согласно закону Ома для полной цепи:

где — ЭДС аккумулятора;

— внутреннее сопротивление аккумулятора;

— сопротивление нагрузки.

Ток короткого замыкания (при):

.

Отсюда выразим внутреннее сопротивление батареи:

.

Тогда выражение для силы тока преобразуется к виду:

.

Отсюда найдём ЭДС батареи:

;

;

;

;

В.

Ответ: В.

5. Бесконечно длинный прямолинейный проводник с током 3 А расположен на расстоянии 20 см от центра витка радиусом 10 с током 1 А. Определить напряжённость и индукцию магнитного поля в центре витка для случаев, когда проводник:

а) расположен перпендикулярно плоскости витка;

б) в плоскости витка.

Решение.

В центре витка круговой ток силой создаёт индукцию:

где Гн/м — магнитная постоянная;

— радиус витка.

В центре витка прямой ток силой создаёт индукцию:

где — расстояние от прямого проводника до центра окружности.

Согласно принципу суперпозиции, вектор напряжённости результирующего поля в центре витка равен:

.

Сделаем рисунок, определив направление векторов и по правилу «правого винта» .

а) Проводник расположен перпендикулярно плоскости витка.

сила взаимодействие заряд электродвижущий Из рисунка видно, что векторы и перпендикулярны, то есть результирующая напряжённость в центре витка будет равна:

;

Тл = 6,96 мкТл.

Найдём напряжённость поля в центре витка:

;

А/м.

б) Проводник расположен в плоскости витка.

Возможны два варианта:

1) направления токов совпадают;

2) направления токов противоположны.

1) Направления токов совпадают.

Тогда векторы и также будут сонаправлены.

Результирующая индукция в центре витка будет равна:

;

Тл = 9,28 мкТл.

Найдём напряжённость поля в центре витка:

;

А/м.

2) Направления токов противоположны.

Тогда векторы и также будут противоположно направлены. Вектор результирующего поля будет направлен в сторону большего по величине вектора, то есть так же, как вектор .

Результирующая индукция в центре витка будет равна:

;

Тл = 3,28 мкТл.

Найдём напряжённость поля в центре витка:

;

А/м.

Ответ: а) мкТл, А/м;

б) мкТл, А/м или мкТл, А/м.

6. На расстоянии 5 мм параллельно прямолинейному длинному проводнику движется электрон с кинетической энергией 1 кэВ. Какая сила будет действовать на электрон, если по проводнику пустить ток 1 А?

Решение.

Если по проводнику пустить ток силой, то вокруг проводника образуется магнитное поле, индукция которого равна:

где — расстояние от точки, в которой рассматривается поле, до оси проводника.

Линии магнитной индукции поля, создаваемого прямым бесконечным проводом, представляют собой концентрические окружности, в каждой точке которых вектор индукции направлен по касательной. Электрон движется параллельно проводнику, то есть, перпендикулярно магнитному полю. Тогда сила Лоренца, которая будет действовать на электрон со стороны этого магнитного поля, равна:

где — элементарный заряд; т — скорость электрона.

Кинетическая энергия электрона:

где — масса электрона.

Отсюда находим скорость электрона:

; .

Найдём силу, которая будет действовать на электрон:

;

Н.

Ответ: Н.

7. Цепь состоит из соленоида и источника тока. Соленоид с сердечником, магнитная проницаемость которого равна 1000, длиной 15 см и диаметром 4 см имеет плотную намотку из двух слоёв медного провода диаметром 0,2 мм. По соленоиду течёт ток 1 А. Определить ЭДС самоиндукции в соленоиде в тот момент времени после отключения его от источника тока, когда сила тока уменьшилась в 2 раза. Сопротивлением источника тока и подводящих проводов пренебречь.

Решение.

Если источник тока отключить от соленоида, то ток в соленоиде не пропадёт мгновенно (явление самоиндукции). Сила тока будет уменьшаться по закону:

где — сила тока в соленоиде в момент отключении источника тока;

— сопротивление соленоида;

— индуктивность соленоида.

Известно, что для некоторого момента времени Т сила тока уменьшилась в 2 раза, то есть:

. Отсюда: .

ЭДС самоиндукции пропорционально скорости изменения силы тока в соленоиде. Найдём зависимость ЭДС самоиндукции, возникающей в соленоиде, от времени:

.

Сопротивление соленоида равно:

,

где — удельное сопротивление меди.

— длина провода в обмотке;

— площадь поперечного сечения провода.

Если медный провод уложен плотно, то толщиной изоляции можно пренебречь. Тогда в одном слое будет число витков:

где — диаметр провода.

А в двух слоях обмотки будет содержаться число витков:

.

Так как диаметр d провода значительно меньше диаметра D соленоида, то можно считать, что длина каждого витка одинакова и равна:

.

Следовательно, длина провода в обмотке соленоида:

.

Площадь поперечного сечения провода:

.

Тогда сопротивление соленоида равно:

.

Тогда в момент времени Т величина ЭДС самоиндукции в соленоиде будет равна:

; В.

Ответ: В.

8. Проводник с током 1 А длиной 0,3 м равномерно вращается вокруг оси, проходящей через его конец, в плоскости, перпендикулярной линиям индукции магнитного поля напряжённостью 1 кА/м.

За одну минуту вращения совершается работа 0,1 Дж.

Определить угловую скорость вращения проводника.

Решение.

За время проводник повернётся на угол:

где

— угловая скорость проводника.

При этом свободный конец стержня пройдёт путь:

где — длина проводника; а сам проводник пересечёт площадь:

.

Магнитный поток через эту площадку:

где — связь между индукцией В и напряжённостью Н магнитного поля.

При этом над проводником силами магнитного поля совершается работа:

.

Тогда за время t вращения силы магнитного поля совершат работу:

.

Отсюда выразим угловую скорость вращения проводника:

;

рад/с.

Ответ: рад/с.