Моделирование динамики управляемого движения твердого тела и системы твердых тел

В настоящее время внимание исследователей все больше привлекают задачи управления движением твердых тел и их систем. Это связано с внедрением робототехники в различные отрасли науки и производства, с развитием космических технологий и их применением в быту (спутниковое телевидение, мобильная связь и т. д.). Системы твердых тел все больше приобретают прикладное значение как модели управляемых механических систем (МС). Примерами таких моделей могут быть роботы-манипуляторы [47], адаптивные оптические системы (АОС) [1], космические объекты [16] и т. п.

Под системой твердых тел понимается совокупность конечного числа твердых тел, обычно связанных между собой посредством соединений, определяемых идеальными связями — голономными, неголономными, стационарными или нестационарными связями [76]. Задачей управления является обеспечение движения МС согласно некоторым требованиям, которые составляют ее программу. Программное движение системы может быть осуществлено приложением к системе управляющих сил, изменением параметров системы в процессе движения, построением специальных управляющих устройств (регуляторов) или сочетанием этих возможностей. Исходными задачами теории управления являются обратные задачи классической динамики. Обзор этих задач с указанием методов их решения подробно излагается в монографиях А. С. Галиуллина [14, 15, 16].

Вопросам управления механической системой посвящены работы В. И. Зубова, Г. В. Коренева, Ю. К. Ландо, JI.K. Лилова, Б. Н. Петрова, Н. Н. Красовского, П. Д. Крутько, Е. П. Попова, В. В. Румянцева, В.Ю. Тертычно-го и др. [3, 4, 9, 28, 30, 35, 39 — 41, 44, 46, 52, 72, 73, 77, 84, 92 — 95]. В частности, проблемы построения уравнений программного движения и стабилизации связей излагаются в [28, 92 — 95]. В работе [35] излагаются общие приемы построения математических моделей систем управления движением тел. Общая теория механико-математического моделирования систем, содержащих конечное число твердых и упругих тел, связанных между собой произвольными связями излагается в [46]. В работе [84] с единых методологических позиций исследуется ряд задач механики управляемого движения: разнообразные адаптивные, стохастические и другие варианты задач стабилизации МС решаются в рамках общей концепции обеспечения экспоненциальной сходимости к программным траекториям. Рассматриваются аналитические методы исследования управляемых механических устройств на стадии построения модели системы управления, приводящей к стабилизации движения. В работе [44] рассматриваются элементы математической теории управления движением: критерии управляемости, способы построения управлений. Проблема управляемости рассматривается с точки зрения нормальной разрешимости краевых задач. Общая теория управляемого движения излагается в работах [30, 38, 39]. В работе [77] исследуются уравнения движения управляемых систем с голономными и не-голономными связями, формулируются основные принципы динамики управляемых систем. Работы [72, 73] посвящены построению алгоритмов управления движением МС. Вопросы синтеза систем управления объектами, подверженными внешним возмущениям, решаются с точки зрения численного анализа в работе [52]. Математическое моделирование движения сложных механических систем методом управляющих реакций связей рассматривается в [9]. В работе [39] изучаются две проблемы, возникающие в теории оптимальных процессов: задача управления динамической системой при условии минимума выбранной оценки интенсивности направляющих усилий и задача о наблюдаемости.

Задача определения управляющего вектора, обеспечивающего программное движение системы, обычно решается с учетом требования устойчивости движения. В связи с этим развитие теории управления способствовало дальнейшему развитию теории устойчивости [2, 8, 29, 31, 34, 36, 37, 38, 45, 50, 53, 55, 69, 78, 80, 88, 89, 91]. А именно, численное исследование устойчивости движения излагается в [8]. Методам решения проблемы устойчивости управляемого движения посвящены работы В. И. Зубова [29, 31]. Эти методы основаны на использовании динамических и кинематических характеристик управляемых механических систем и применяются для решения проблемы устойчивости многообразий и проблемы управления вращательным движением. Систематическое изложение методов исследования устойчивости движения дается в [50, 53, 91]. Теория устойчивости неголономных систем рассматривается в работе Ю. И. Неймарка и Н. А. Фуфаева [69]. Вопросам устойчивости регулируемых систем посвящены работы [2, 45]. В частности, в [2] рассматривается решение задачи об абсолютной устойчивости прямым методом Ляпунова и Попова, а в [45] дается геометрическая интерпретация прямого метода Ляпунова и его приложение к задаче автоматического регулирования. В работах [80, 89] рассматриваются задачи устойчивости, стабилизации и синтеза управлений. В [78] определены условия существования важных для практики видов движения систем связанных тел и условия их устойчивости. В [36] рассматривается применение второго метода Ляпунова к исследованию устойчивости по первому приближению. Устойчивость адаптивных систем рассматривается в работе [88].

Использование второго метода Ляпунова для исследования устойчивости позволило сформулировать достаточные условия устойчивости программных многообразий, условия равномерной устойчивости, условия устойчивости на конечном интервале времени, абсолютной устойчивости, условия устойчивости по части переменных для механических систем, движение которых описывается дифференциальными уравнениями первого порядка. Результаты исследований по этим вопросам изложены в работах [14, 18 — 20, 24, 54, 56, 59 — 63, 68, 85 — 87].

В частности, в монографии [14] рассматриваются возможные постановки задач по исследованию устойчивости движения МС и по построению устойчивых систем, излагаются основы метода характеристичных чисел и метода функций Ляпунова в исследовании устойчивости, приемы аналитического построения устойчивых систем. Рассматривается программное движение механических систем, движение которых описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями. В этом случае задача аналитического построения систем программного движения сводится к соответствующим обратным задачам динамики, поставленным с дополнительным требованием устойчивости программы движения в смысле Ляпунова (при наличии лишь начальных возмущений). Такая трактовка позволяет свести решение этой задачи к построению соответствующих уравнений движения системы по заданным интегралам уравнений движения, причем так, чтобы эти интегралы, отражающие заданные свойства движений рассматриваемой системы были устойчивыми.

Задача о построении уравнений программного движения механизмов в обобщенных координатах при наличии неголономных связей ставится и решается в работе [17]. Полученные при этом управляющие силы достраиваются с учетом требования устойчивости программы. В работах [26, 69, 70] рассматривается динамика и теория устойчивости управляемых неголономных систем. Дается постановка новых задач аналитического конструирования управляемых неголономных связей, обеспечивающих требуемые оптимальные режимы движения системы. Динамика систем твердых тел, связанных идеальными связями, рассматривается в работах [11, 27, 76, 97 — 101]. В [33] сравниваются два подхода к исследованию равновесия неголономных систем. В первом из них используются уравнения Лагранжа с неопределенными множителями, а во втором — уравнения Чаплыгина или Воронца.

Математическая теория адаптивного управления излагается в работах [81, 82]. Систематическое изложение численных методов теории оптимальных управлений дается в [52]. Задача управления сегментированным зеркалом и адаптивными оптическими системами рассматривается в работах [23, 62, 65 — 67].

Название «адаптивная оптика» обычно употребляют для обозначения, как самих адаптивных оптических систем, так и методов адаптации, положенных в основу их работы. Определение адаптивной оптической системы можно дать словами Дж. Харди [90]: «Активная оптика есть общий термин для обозначения оптических элементов, характеристиками которых управляют в процессе работы с целью изменения волнового фронта».

К этому определению Э. А. Витриченко [1] высказал следующее замечание: «адаптивная оптика — не просто совокупность оптических компонентов, а замкнутая система, включающая оптические и электронные компоненты и позволяющая изменять характеристики волнового фронта в реальном времени». В таком определении подчеркнута роль системности и электроники.

В основе адаптивной оптики, по словам Д. Фрида [96], лежит идея создания такой аппаратуры, которая могла бы в реальном времени измерять нежелательные искажения волнового фронта в любом случае (будь то передача или прием оптического сигнала), и управлять оптическим элементом с целью устранения этих искажений.

Работа по созданию АОС является довольно сложной в связи с предъявлением высоких требований к технологии ее создания и качеству работы в различных нестационарных условиях. Вместе с тем, создание АОС открывает широкие возможности их применения в астрономии [71], лазерной технике [32] и приборах различного назначения. Этим объясняется в 60-е г. г. XX века развитие исследований, связанных с созданием АОС.

Их результаты систематизированы в работах [23, 12, 48]. Основные принципы построения управляемых оптических систем изложены в [12].

Современный мир диктует свои условия. Ставятся задачи, которые оказывается достаточно сложно решить «ручным» способом. Это привело к развитию численных [5, 7, 8, 22, 42, 43, 79, 99] и компьютерных методов решения инженерных и математических задач [10, 51, 75], где рассматриваются методы выполнения аналитических выкладок с помощью компьютера в системе аналитических вычислений Maple.

Как видно из обзора, вопросы устойчивости управляемого движения механических систем являются достаточно актуальными, но недостаточно изученными. Так, например, сформулированы теоремы устойчивости только для систем, механическое движение которых описывается системой дифференциальных уравнений первого порядка, недостаточное внимание уделено исследованию устойчивости численного решения уравнений динамики механической системы. Это и определило направление исследования и выбор темы диссертационной работы.

Объект исследования. Управляемое движение твердого тела и систем твердых тел.

Предмет исследования. Моделирование динамики управляемого движения твердого тела и системы твердых тел.

Цель диссертации:

1. Определить условия асимптотической устойчивости программного движения механической системы с голономными и неголоном-ными связями.

2. Разработать метод определения управляющих воздействий на механическую систему, обеспечивающих устойчивость программного движения.

3. Определить условия устойчивости численного решения дифференциальных уравнений программного движения механической системы с голономными и неголономными связями при решении прямым и усовершенствованными методами Эйлера.

4. Построить математическую модель управляемой адаптивной оптической системы с двумя степенями свободы, состоящую из стержня и расположенного на нем зеркала. Положение зеркала изменяется при помощи управляющих сил u}, u2, наложенных на систему. Требуется найти такие управляющие силы, чтобы луч, падающий из движущегося источника света, всегда попадал в неподвижную фокальную плоскость.

Методы исследования. В диссертации использовались такие классические методы исследования как анализ, синтез, обобщение, аналогия, а также методы классической и аналитической механики, методы качественной теории дифференциальных уравнений и теории устойчивости движения, численные и компьютерные методы.

Научная новизна. Получены условия асимптотической устойчивости механических систем, движение которых описывается системой дифференциальных уравнений второго порядка. Определены управляющие воздействия, обеспечивающие выполнение уравнений связей и их асимптотическую устойчивость. Получены условия устойчивости многообразия при численном решении систем дифференциальных уравнений движения второго порядка с использованием следующих методов: Эйлера, усовершенствованного метода ломаных, метода Эйлера-Коши, видоизмененного метода Эйлера. Проведено моделирование управляемого движения элемента адаптивной оптической системы и обеспечена устойчивость численного решения уравнений динамики этой системы.

Практическая значимость. Результаты диссертационной работы могут быть использованы при исследовании устойчивости движения несвободных механических систем аналитическими и численными методами, в механике управляемого движения, при решении задач управления динамикой адаптивной оптической системы, роботами-манипуляторами, транспортными и космическими системами.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались:

— на заседаниях семинара «Математическое моделирование динамических систем» (1999 — 2003 г. г.) Российского университета дружбы народов (руководитель д.ф.-м.н., профессор Р.Г. Мухар-лямов);

— на XXVI — XXIX всероссийских научных конференциях по проблемам математики, информатики, физики, химии и методики преподавания естественнонаучных дисциплин (Москва, Российский университет дружбы народов, 2000;2003 г. г.);

— на VIII Четаевской международной конференции по проблемам аналитической механики, устойчивости и управления движением (Казань, 2002 г.).

Публикации: основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Управление адаптивной оптической системой с двумя степенями свободы//Межвуз. сб. научных трудов. Проблемы механики и управления. Пермь, 2001, С.131−144.

2. Синтез управления элементом адаптивной оптической систе-мы//Тезисы докладов XXVIII всероссийской научной конференции по проблемам математики, информатики, физики, химии и методики преподавания естественнонаучных дисциплин. М, Изд-воРУДН, 2002 г., С. 61.

3. Управление адаптивной оптической системой с двумя степенями свободы//Тезисы VIII Четаевской международной конференции по проблемам аналитической механики, устойчивости и управления движением. Казань, 2002 г., С. 200.

4. Управление механической системой с программными связями/Тезисы 8-й международной конференции «Устойчивость, управление и динамика твердого тела», Донецк, 2002, С. 42.

5. Синтез управления элементом адаптивной оптической сис-тем//Вестник Российского университета дружбы народов, сер. Прикладная математика и информатика, № 1, 2002, С.48−55.

6. Условия асимптотической устойчивости программного движения механической системы/УВопросы устойчивости, прочности и управляемости динамических систем. М., РГОТУПС, 2002, С. 112−117.

7. Исследование устойчивости численного решения уравнений движения//Тезисы докладов XXIX всероссийской научной конференции по проблемам математики, информатики, физики, химии и методики преподавания естественнонаучных дисциплин. М, Изд-во РУДН, 2003 г, С. 85.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка цитированной литературы, содержащего 101 наименование. Объем диссертационной работы составляет 74 страницы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

На защиту выносятся следующие основные результаты работы:

1. получены условия асимптотической устойчивости механических систем с голономными и неголономными связями, движение которых описывается системой дифференциальных уравнений второго порядка;

2. получены условия устойчивости численного решения дифференциальных уравнений программного движения механической системы с голономными и неголономными связями при решении прямым и усовершенствованными методами Эйлера;

3. разработан метод определения управляющих воздействий на механическую систему, обеспечивающих устойчивость программного движения;

4. проведено моделирование управляемого движения элемента адаптивной оптической системы и обеспечена устойчивость численного решения уравнений динамики этой системы.