Расчет системы передачи дискретных сообщений

Задание на курсовую работу:

1. Источник сообщений.

2. Дискретизатор.

3. Кодер.

4. Модулятор.

5. Канал связи

6. Демодулятор

7. Декодер

8. Фильтр — восстановитель

Задание на курсовую работу

Рассчитать основные характеристики системы передачи сообщений, структурная схема которой имеет следующий вид:

ИС — источник сообщения;

Д — дискретизатор;

К — кодер;

ЛС — линия связи;

ДМ — демодулятор;

ДК — декодер;

Ф — фильтр-восстановитель.

Исходные данные:

amin = -1,6 B;

amax = 1,6 B;

Fc = 15*103 Гц;

j = 9;

Вид модуляции ЧМ;

N0 = 2,9•10−7 B2/Гц;

Способ приема когерентный.

1. Источник сообщений

Источник сообщений выдает сообщение a (t), представляющее собой непрерывный стационарный случайный процесс, мгновенные значения которого в интервале [amin; amax] распределены по заданному закону, а мощность сосредоточена в полосе частот от 0 до Fc.

Требуется:

1) Записать аналитическое выражение и построить график одномерной плотности вероятности мгновенных значений сообщения a (t).

2) Найти математическое ожидание, дисперсию и СКО.

3) Построить график случайного процесса и на графике обозначить максимальное и минимальное значения сигнала, математическое ожидание и среднеквадратичное отклонение.

Решение:

— площадь равнобедренной трапеции.

Из условия нормировки .

Н=0.4167.

Одномерная плотность вероятности мгновенных значений сообщения a (t) описывается системой вида:

P (a)=

Для P (a)= K1*a+b по графику берем две точки (a;p (a)): (-1,6;0) и (-0,8;0,4167).

из системы уравнений находим k1 и b :

;.

В результате получаем Р (а)=0,52*a+0.8334.

Аналогично, находим Р (а)= k2*a+b=-0,52*а+0,8334, т.к. трапеция — равнобедренная, k2=-k1. В результате получим:

Рис. 1.1.Распределение одномерной плотности вероятности

Найдем математическое ожидание:

.

Найдем дисперсию:

Найдем СКО:

.

0 < 0,6442 < 1,6

а, В Рис. 1.2. График случайного процесса а (t)

2. Дискретизатор Передача непрерывного процесса осуществляется дискретными методами. Для этого сообщение а (t) дискретизируется по времени и квантуется по уровню с равномерным шагом. Шаг квантования по уровню а= 0,1 В.

Требуется:

1) Определить шаг дискретизации по времени (t).

2) Определить число уровней квантования (L).

3) Рассчитать среднюю мощность шума квантования.

4) Рассматривая дискретизатор как источник дискретного сообщения с объемом алфавита L, определить его энтропию и производительность (Н, Н'). Отсчеты, взятые через интервал t считать независимыми.

Решение:

Найдем шаг дискретизации по времени. Для этого воспользуемся теоремой Котельникова, тогда iаг дискретизации по времени:

?33,3мкс.

Число уровней квантования L при равномерном шаге определяется как частное от деления размаха сигнала на шаг квантования а. Т.к. шаг квантования по уровню, а задан, то число уровней квантования:

L=32.

Шум квантования представляет собой стационарный случайный процесс с независимыми значениями отдельных отсчетов = aд — a (эпсилон). Если в качестве квантованного значения a принимается ближайший дискретный уровень, то шум квантования (ошибка дискретизатора, возникающая из-за того, что не происходит переход на другой уровень) при равномерном квантовании с шагом a находится в пределах

здесь — шум квантования.

Поскольку квантование по уровню ведется с равномерным шагом, то закон распределения плотности вероятности шума квантования щш (е) также будет равномерным и не будет зависеть от номера интервала квантования:

где щш = 1/Дa.

Найдем среднюю мощность (дисперсия шума квантования):

Pшk .

Энтропия — средняя информативность источника на один символ, определяющая неожиданность выдаваемых сообщений для источника без памяти энтропия определяется по формуле:

где i=1…n

Определим вероятность на интервале [-0,8;0,8]:

.

Определим производительность источника, как энтропию в единицу времени:

.

3. Кодер

передача сообщение модуляция декодер

Кодирование осуществляется в два этапа.

Первый этап: производится примитивное кодирование каждого уровня квантованного сообщения kразрядным двоичным кодом.

Второй этап: к полученной k-разрядной двоичной кодовой комбинации добавляются проверочные символы, формируемые в соответствии с правилами кодирования по коду Хэмминга.

В результате этих преобразований на выходе кодера образуется синхронная двоичная случайная последовательность b (t) (синхронный случайный телеграфный сигнал), состоящая из последовательности биполярных импульсов единичной высоты, причем положительные импульсы в ней соответствуют символу «0», а отрицательные — символу «1» кодовой комбинации.

Требуется:

1) Определить число разрядов кодовой комбинации примитивного кода k, необходимое для кодирования всех L уровней квантованного сообщения.

2) Определить избыточность кода при использовании кодирования Хэмминга.

3) Записать двоичную кодовую комбинацию, соответствующую передаче j-го уровня, считая, что при примитивном кодировании на первом этапе j-му уровню ставится в соответствии двоичная кодовая комбинация, представляющая собой запись числа j в двоичной системе счисления. В полученной кодовой комбинации указать информационные и проверочные разряды.

4) Определить число двоичных символов, выдаваемых кодером в единицу времени Vn и длительность двоичного символа T.

Решение:

Для кодирования L уровней квантованного сообщения число разрядов двоичной кодовой комбинации:

k.

Определим полную длину кодовой последовательности. Для этого найдем количество проверочных символов кода Хэмминга из условия

.

Первое целое число, удовлетворяющее этому условию, r = 4.

Тогда полная длина всей кодовой комбинации:

n = k + r,

n= 5+4= 9.

Вычислим избыточность кода при использовании кодирования Хэмминга:

j = 9, его двоичная комбинация, занимающая k =5 разрядов:

0· 24+1·23+0·22+0·21+1·20

Т.е. 1010 = 10 102.

Передаём 5-битовый код 1 010. Для контроля целостности блока данных такой длины, нам необходимо 4 бита кода Хэмминга, которые располагаются на позициях с номерами 2 г, г=0, 1, 2, 3, …:

Таблица 1. Расположение битов кода Хэмминга (отмечены '*').

Контрольная сумма формируется путем выполнения операции «исключающее ИЛИ» над кодами позиций ненулевых битов. В данном случае это 7, 5.

Таблица 2. Нахождение контрольной суммы.

Полученная контрольная сумма записывается в соответствующие разряды блока данных — младший бит в младший разряд. Таким образом, формируется следующий блок данных:

Таблица 3. Результирующий блок данных.

Просуммировав коды позиций с ненулевыми битами, получаем 0, что является признаком корректного блока данных.

Таблица 4. Проверка корректности блока данных.

Число двоичных символов, выдаваемых кодером в единицу времени Vn и длительность двоичного символа T.

Vn = n/?t,

Vn = 9*30*103= 2.7· 105 бит/с;

T = 1/Vn,

T = ½.7*105 ?3,7· 10−6 с=3.7 мкс.

4. Модулятор

В модуляторе синхронная двоичная случайная последовательность биполярных импульсов b (t) осуществляет модуляцию гармонического переносчика

e (t)=Um cos (2рft), Um=1 В, f = 100 V’n)

Для частотной модуляции (ЧМ):

«0»? U0(t) = Um cos (2р (f-f)t);

«1»? U1(t) = Um cos (2р (f+f)t).

Требуется:

1) Записать аналитическое выражение для модулированного сигнала.

2) Изобразить временные диаграммы модулирующего b (t) и модулированного u (t) = u (b (t)) сигналов, соответствующие передачt j-го уровня сообщения a (t).

3) Привести выражение и начертить график корреляционной функции модулирующего сигнала В (ф).

4) Привести выражение и начертить график спектральной плотности мощности модулирующего сигнала GВ (щ).

5) Определить ширину энергетического спектра модулирующего сигнала? FB из условия? FB=бVk (где б выбирается в пределах от 1 до 3). Отложить полученное значение? FB на графике GВ (f).

6) Привести выражение и построить график энергетического спектра Gu (щ) модулированного сигнала.

7) Определить ширину энергетического спектра? Fu модулированного сигнала и отложить значение? Fu на графике Gu (f).

Решение:

При частотной модуляции модулированный сигнал:

.

Um = 1 B,

f===270 000Гц,

Гц.

Получим:

Рис. 4.1. Временные диаграммы модулирующего b (t) и модулированного U (t) сигналов, соответствующие передаче 9-го уровня сообщения a (t).

Корреляционная функция модулирующего сигнала k (ф):

где Т =3,7· 10−6 с.

Рис. 4.2.График корреляционной функции модулирующего сигнала k (ф)

Cпектральная плотность мощности модулирующего сигнала GВ (щ).

=2рf,

График спектральной плотности мощности модулирующего сигнала GВ (f):

Рис. 4.3.График спектральной плотности мощности модулирующего сигнала GВ (f)

Ширина энергетического спектра модулирующего сигнала:

где б=1.

Энергетический спектр Gu (щ) ЧМ сигнала представляет собой сумму энергетических спектров АМ сигналов с несущими частотами f1= f0 -?f и

f2= f0 -?f.

f1= 2,7•107 — 2,7•105 =2,43•107 Гц,

f2= 2,7•107 + 2,7•105 =2,727•107 Гц.

Gu (f) = GB (f-f1)+ GB (f-f2),

Gu (f) = GB (f-2,43•107)+ GB (f-2,727•107).

Рис. 4.4.Энергетический спектр Gu (щ) ЧМ сигнала Ширина энергетического спектра? Fu модулированного сигнала:

= ,

?Fu =10,8•105 Гц.

5. Канал связи

Передача сигнала U (t) осуществляется по каналу с постоянными параметрами и аддитивным флуктуационным шумом n (t) с равномерным энергетическим спектром N0/2 (белый шум).

Сигнал на выходе такого канала можно записать следующем образом:

z (t) = U (t) + n (t).

Требуется:

1) Определить мощность шума в полосе частот Fk = ?Fu ;

2) Найти отношение сигнал — шум Рс /Рш;

3) Найти пропускную способность канала С;

4) Определить эффективность использования пропускной способности канала Кс, определив ее как отношение производительности источника Н' к пропускной способности канала С.

Решение:

Мощность шума в полосе частот Fk = ?Fu =10,8•105 Гц :

Найдем отношение сигнал-шум:

где E0=E1.

Тогда .

Отношение сигнал — шум Рс /Рш:

Пропускная способность канала:

С = ?FU· log2(1+Pc/PШ),

С = 10,8•105· log2(1+ 3,19 285),

С=22,3344· 105 бит/с.

Эффективность использования пропускной способности канала Кс определяется как отношение производительности источника Н' к пропускной способности канала С.

6. Демодулятор

В демодуляторе осуществляется оптимальная когерентная или некогерентная (в зависимости от варианта) обработка принимаемого сигнала z (t) = U (t) + n (t).

Требуется:

1) Записать алгоритм оптимального приема по критерию минимума средней вероятности ошибки при равновероятных символах в детерминированном канале с белым гауссовским шумом.

2) Нарисовать структурную схему оптимального демодулятора для заданного вида модуляции и способа приема.

3) Вычислить вероятность ошибки с оптимального демодулятора.

4) Определить, как нужно изменить энергию сигнала, чтобы при других видах модуляции и заданном способе приема обеспечить найденное значение вероятности ошибки с.

Решение:

Алгоритм оптимального приема по критерию минимума средней вероятности ошибки при равновероятных символах в детерминированном канале с белым гауссовским шумом:

при выполнении неравенства

регистрируется символ «1»;

Если, то регистрируется символ «0». При частотной модуляции:

Е0/2 = Е½,

U1(t) = cos (16 786 4400t),

U2(t) = cos (17 125 5600t).

Следовательно:

при ,

при .

Рис. 6.1.Структурная схема оптимального демодулятора для частотной модуляции и когерентного способа приема.

Здесь блоки «» — перемножители;- интеграторы; РУ — решающие устройства, определяющее в моменты времени, кратные T, номер k-й ветви с максимальным сигналом (k = 0, 1).

Вероятность ошибки с оптимального демодулятора:

с = ½ (1-Ф (х)),

где Ф (х) — функция Крампа

где .

При частотной модуляции энергетический выигрыш по пиковой мощности составляет в два раза по сравнению с АМ и проигрывает два раза по сравнению с ФМ.

По средней мощности: проигрывает два раза по сравнению к ФМ и равен по сравнению АМ.

7. Декодер

В декодере декодирование осуществляется в два этапа. На первом этапе производится обнаружение и исправление ошибки в кодовой комбинации. Считать, что ошибка произошла в i-ом разряде. На втором этапе из нее выделяются информационные символы, а затем k — разрядная двоичная кодовая комбинация преобразуется в элемент квантованного сообщения.

Требуется:

1) Оценить обнаруживающую способность q0 кода Хэмминга.

2) Записать алгоритм обнаружения ошибок.

3) Определить вероятность необнаружения ошибки.

Наименьшее расстояние по Хеммингу между кодовыми комбинациями:

;

Наш код исправляет одну ошибку и обнаруживает ошибки.

Алгоритм обнаружения ошибок.

Пусть был отправлен код 1 001 100.

И произошла ошибка в 3-ем разряде, т. е. i=3, в результате чего было получено:

Складываем по модулю 2 номера позиций ненулевых символов:

r=112 = 3.

Значит, ошибка произошла в 3-м разряде — 3-ий разряд инвертируем и получаем 1 001 100.

Вероятность необнаружения ошибки:

где n — число разрядов кодовой последовательности, n = 9;

q — обнаруживающая способность кода Хэмминга;

р — вероятность ошибки в одном разряде, p = 0,006.

— общее число различных выборок (сочетаний) объема .

Pно=1,766*10−5.

8. Фильтр — восстановитель

Фильтр-восстановитель — фильтр нижних частот с частотой среза Fcр.

Требуется:

1) Указать величину Fcр.

2) Изобразить идеальные АЧХ и ФЧХ фильтра — восстановителя.

3) Найти импульсную характеристику g (t) идеального фильтравосстановителя и начертить ее график.

Частота среза

Fcр = Гц.

Идеальная АЧХ фильтра — восстановителя описывается системой:

где .

=с-1.

АЧХ имеет вид:

Рис. 8.1.Идеальная АЧХ фильтра — восстановителя

Идеальная ФЧХ описывается уравнением, где? время задержки (маленькая величина порядка 10−4? 10−5 с) и имеет вид:

Рис. 8.2.Идеальная ФЧХ фильтра — восстановителя

Найдём импульсную характеристику g (t) идеального фильтра — восстановителя и начертим её график.

Вывод В ходе данного проекта были приобретены навыки расчета основных характеристик системы передачи сообщений, включающей в себя источник сообщений, дискретизатор, кодирующее устройство, модулятор, линия связи, демодулятор, декодер и фильтр-восстановитель. Также уяснили, что наименее помехоустойчивый тип модуляции — амплитудный, а наиболее помехоустойчивый — фазовый.

1. Клюев Л. Л. «Теория электрической связи». Минск, «Дизайн ПРО», 1998 г.

2. Шувалов Б. П., Захарченко Н. Б., Шварцман В. О. и др «Передача дискретных сообщений»: Под ред. ШуваловаМ.; Радио и связь 1990 г.