Расчет спектральных характеристик сигналов и каналов связи

Реферат

Записка содержит ___ страниц, 19 рисунков, 4 источника.

Полезный сигнал, спектр сигнала, дискретизация, кодирование, разрядность кода, модуляция, несущая частота, боковая частота, белый шум.

Цель работы: Рассмотреть основы теории сигналов, произвести расчет различных величин, характеризующих сигналы, изучить теорию передачи информации в канале.

В курсовой работе «Расчет спектральных характеристик сигналов и каналов связи» рассматриваются методы расчета характеристик сигналов и каналов связи. Курсовая работа содержит основные сведения о характеристиках и параметрах сигналов и каналов связи, их расчет; графики характеристик сигналов.

• Введение
• 1. Расчёт спектральных характеристик сигнала
• 2. Расчёт практической ширины спектра сигнала
• 2.1 Расчёт полной энергии сигнала
• 3. Расчёт интервала дискретизации и разрядности кода
• 3.1 Определение интервала дискретизации сигнала
• 3.2 Определение разрядности кода
• 4. Расчёт автокорреляционной функции кодового сигнала
• 5. Расчет энергетического спектра кодового сигнала
• 6. Расчёт спектральных характеристик модулированного сигнала
• 7.1 Согласование источника информации с каналом связи
• 7.2 Расчет вероятности ошибки в канале с аддитивным белым шумом
• Заключение
• Библиографический список

На современном этапе развития перед железнодорожным транспортом стоят задачи по увеличению пропускной и провозной способности, грузовых и пассажирских перевозок, уменьшению времени оборотов вагонов и повышению производительности труда. Эти задачи решаются по двум основным направлениям: техническим перевооружением транспортных средств и совершенствованием системы управления перевозочным процессом.

Значительную роль в деле совершенствования системы управления эксплуатационной работой железнодорожного транспорта играет развитие всех видов связи, а также внедрение и поэтапное развитие комплексной автоматизированной системы управления железнодорожным транспортом (АСУЖТ). Комплекс технических средств АСУЖТ включает в себя вычислительные центры Министерства путей сообщения, управлений дорог и отделений, связанные в единое целое сетью передачи данных.

Управление территориально разобщенными объектами на всех уровнях осуществляется передачей сообщений разнообразными электрическими сигналами с широким использованием систем передачи информации, то есть систем связи, работающих по проводным и радиоканалам. А также по волоконно-оптическим линиям связи.

Совершенствование управления в условиях интенсификации производственных процессов ведет к росту общего объема информации, передаваемой по каналам связи между управляющими органами и управляемыми объектами.

Передача информации на железнодорожном транспорте ведется в условиях воздействия сильных и разнообразных помех. Поэтому системы связи должны обладать высокой помехоустойчивостью, что связано с безопасностью движения. К системам связи предъявляют также требования высокой эффективности при относительной простоте технической реализации и эксплуатации.

Проблема эффективности системы передачи информации состоит в том, чтобы передать наибольшее или заданное количество информации (сообщений) наиболее экономически выгодным образом (с точки зрения затрат энергии и полосы частот) в заданное время. Перечисленные проблемы тесно связанны между собой.

На рисунке показан канал для передачи непрерывных сообщений.

Разберем назначение блоков приведенного канала связи.

П^-1, П¹ — преобразователи сообщения в сигнал и наоборот — сигнала в сообщение.

Непрерывные сообщения можно передавать дискретными сигналами. Операция преобразования непрерывного сообщения в дискретное называется дискретизацией. Дискретизация осуществляется не только по времени, но и по уровням. Дискретизация значений функции (уровня) носит название — квантования.

Кодер сообщения формирует первичный код, каждое сообщение из ансамбля записывается им в форме двоичного представления. Декодер сообщения осуществляет обратную задачу. Собственно, на этом этапе преобразований сигнал можно передавать до потребителя, но в таком виде он будет не защищен от помех, и достоверность передачи будет низка. Поэтому далее идут преобразования, направленные на повышение помехоустойчивости канала.

Кодер канала по первичному коду формирует помехоустойчивый код. Здесь в код закладывается определенная избыточность, что позволяет в декодере канала обнаружить, либо исправить ошибки, возникшие при передаче.

Модулятор определяет вид сигнала, передаваемого по линии связи. Демодулятор выделяет принимаемый код по модулированному сигналу.

Рисунок 1 — Канал для передачи непрерывных сообщений

Разберем назначение блоков приведенного канала связи.

П^-1, П¹ — преобразователи сообщения в сигнал и наоборот — сигнала в сообщение.

Непрерывные сообщения можно передавать дискретными сигналами. Операция преобразования непрерывного сообщения в дискретное называется дискретизацией. Дискретизация осуществляется не только по времени, но и по уровням. Дискретизация значений функции (уровня) носит название — квантования.

Кодер сообщения формирует первичный код, каждое сообщение из ансамбля записывается им в форме двоичного представления. Декодер сообщения осуществляет обратную задачу. Собственно, на этом этапе преобразований сигнал можно передавать до потребителя, но в таком виде он будет не защищен от помех, и достоверность передачи будет низка. Поэтому далее идут преобразования, направленные на повышения помехоустойчивости канала.

Кодер канала по первичному коду формирует помехоустойчивый код. Здесь в код закладывается определенная избыточность, что позволяет в декодере канала обнаружить, либо исправить ошибки, возникшие при передаче.

ё

Модулятор определяет вид сигнала, передаваемого по линии связи. Демодулятор выделяет принимаемый код по модулированному сигналу.

Линия связи — это материальная среда для передачи сигналов (кабель, радио эфир). Именно здесь (в основном) к полезному сигналу добавляется непрогнозируемые помехи. Строя модулятор, демодулятор (модем), необходимо принять меры для борьбы с помехами.

Цифровой преобразователь (ЦАП) служит для восстановления сообщения.

Интерполятор позволяет по сигналу с ЦАП сформировать непрерывный сигнал.

1. Расчёт спектральных характеристик сигнала

Под спектром непериодического сигнала понимают функцию частоты, которую получают на основе прямого преобразования Фурье вида:

(1.1)

Для обратного преобразования используют формулу вида (1.2)

(1.2)

Модуль спектральной функции :

(1.3)

называют спектром сигнала или спектральной плотностью сигнала.

Аналитическая запись задаваемых сигналов во временной области имеет вид:

а.), (1.4)

где в — постоянная сигнала, 1/с;

h — максимальное значение амплитуды, В

Начальные данные: В; ;

Данный сигнал имеет вид, представленный на рисунке 1.1, зависимость сведена в таблицу 1.1.

Рисунок 1.1 — График сигнала U₁ (t)

Таблица 1.1 — Зависимость U₁ (t)

б.), (1.5)

h — максимальное значение амплитуды, В Начальные данные: В; ;

Данный сигнал имеет вид, представленный на рисунке 1.2, зависимость сведена в таблице 1.2.

Рисунок 1.2 — График зависимости U₂ (t)

Таблица 1.2 — Зависимость U₂ (t)

в.) (1.6)

h — максимальное значение амплитуды, В Начальные данные: где В; мс;

Данный сигнал имеет вид, представленный на рисунке 1.3, зависимость сведена в таблице 1.3.

Рисунок 1.3 — График зависимости U₃ (t)

Таблица 1.3 — Зависимость U₃ (t)

Запишем спектральную плотность для каждого сигнала:

,

,

,

где щ — круговая частота, рад/с.

Модули спектральной плотности сигналов находятся по формуле (1.3).

Графики спектров и фазы сигналов,, , представлены на рисунке 1.4,рисунке 1.5, рисунке 1.6, рисунке 1.7, рисунке 1.8, рисунке 1.9 соответственно. Зависимости, , ,₁ (),₂ (),₃ () сведены в таблицах 1.4, 1.5, 1.6,1.7,1.8,1.9 соответственно.

Рисунок 1.4 — График спектра сигнала

Таблица 1.4 — Таблица зависимости S₁ ()

Рисунок 1.5 — График спектра сигнала

Таблица 1.5 — Таблица зависимости S₂ ()

Рисунок 1.6 — График спектра сигнала

Таблица 1.5 — Таблица зависимости S₃ ()

Фаза спектральной плотности находятся следующим образом:

(1.10)

График фазы спектральной плотности сигнала представлен на рисунке 1.7 Зависимость () представлена в таблице 1.6.

Рисунок 1.7 — График фазы спектральной плотности сигнала

Таблица 1.6 — Таблица зависимости ()

График фазы спектральной плотности сигнала представлен на рисунке 1.8.

1.8 Зависимость () представлена в таблице 1.7.

Рисунок 1.8 — график фазы спектральной плотности сигнала

Таблица 1.7 — Таблица зависимости ()

График фазы спектральной плотности сигнала представлен на рисунке 1.9.

1.9 Зависимость () представлена в таблице 1.8.

Рисунок 1.9 — график фазы спектральной плотности сигнала

Таблица 1.8 — Таблица зависимости ()

2. Расчёт практической ширины спектра сигнала

2.1 Расчёт полной энергии сигнала

Полная энергия сигнала рассчитывается по формуле:

(2.1)

Найдём полную энергию для каждого из сигналов, ,, используя формулы (2.1) и (1.3, 1.4, 1.5), расчет производим в среде MathCad:

В/c (2.2)

В/c (2.3)

В/c (2.4)

Определение практической ширины спектра сигнала.

Ограничение практической ширины спектра сигнала по верхнему значению частоты, по заданному энергетическому критерию осуществляется на основе неравенства:

(2.5)

где — энергия сигнала с ограниченным вверху спектром.

Значение определяется на основе известной плотности:

(2.6)

где — искомое значение верхней граничной частоты сигнала.

Значение определяется путём подбора при расчётах на ЭВМ пользуясь формулами (2.6) и (2.5); и с учетом того, что (согласно заданию). Найдём и для каждого из сигналов, ,, учитывая (1.7), (1.8), (1.9), расчет производим в среде MathCad:

В/c (2.7)

рад/с

В/c (2.8)

рад/с

В/c. (2.9)

рад/с

Первый сигнал имеет меньшую граничную частоту = 40 000, следовательно, его и выбираем для дальнейшего анализа и расчёта.

Графики зависимости энергии сигналов от частоты приведены соответственно на рисунке 2.1, рисунке 2.2, рисунке 2.3.

Табличные зависимости энергии сигналов от частоты приведены соответственно в таблице 2.1, таблице 2.2, таблице 2.3.

Рисунок 2.1 — График зависимости энергии сигналаU₁ (t) от частоты

Таблица 2.1 — Зависимость

Рисунок 2.2 — График зависимости энергии сигнала U₂ (t) от частоты

Таблица 2.2 — Зависимость

Рисунок 2.3 — График зависимости энергии сигнала U₃ (t) от частоты Таблица 2.3 — Зависимость

3. Расчёт интервала дискретизации и разрядности кода

3.1 Определение интервала дискретизации сигнала

Интервал дискретизации заданного сигнала по времени определяется на основе теоремы Котельникова по неравенству:

(3.1)

где — верхнее значение частоты спектра сигнала, определяемое в соответствии с разделом 2.2.

Гц.

с.

Зависимость данного сигнала от времени приведена в таблице 3.1.

График дискретизированного во времени сигнала изображен на рисунке 3.1.

Рисунок 3.1 — График сигнала U (t) и дискретизированного во времени сигнала U^/ (t)

Таблица 3.1 — Зависимость сигнала от времени

3.2 Определение разрядности кода

Разрядность кодов определяется исходя из динамического диапазона квантуемых по уровню импульсных отсчетов. При этом в качестве верхней границы динамического диапазона принимается напряжение самого большого по амплитуде отсчёта. Нижняя граница диапазона

(3.2)

где (согласно заданию).

В.

Для самого малого по амплитуде импульсного отсчёта задаётся соотношение мгновенной мощности сигнала и мощности шума квантования:

(3.3)

где — мощность шумов квантования при равномерной шкале квантования. Получаем:

(3.4)

Вычисляем при (согласно заданию):

Вт.

Известно, что:

(3.5)

где — шаг шкалы квантования.

Из (3.5) получаем:

(3.6)

Вычисляем:

Также известно, что:

(3.7)

где

— число уровней квантования.

Подставляя в (3.3) формулы (3.5), (3.7) и выражая, получим:

(3.8)

Вычисляем :

Известно, что при использовании двоичного кодирования число кодовых комбинаций, равное числу уравнений квантования, определяется выражением:

(3.9)

где — разрядность кодовых комбинаций.

Следовательно из (3.9):

(3.10)

.

Соответственно .

Длительность элементарного кодового импульса ф_u определяется исходя из интервала дискретизации Дф и разрядности кода по выражению:

(3.11)

с

Выбор микросхемы производим по ранее рассчитанному значению m. Так как m=6, то по методичке 11 серия: К1107ПВ1; тип логики: ТТЛ; уровень 1: 2,4; уровень 0: 0,4.

4. Расчёт автокорреляционной функции кодового сигнала

Функция автокорреляции показывает статистическую связь между временными сечениями сигнала.

В общем случае функция автокорреляции (АКФ) четная по параметру и определяется так:

(4.1)

где T — длительность сигнала;

— дисперсия сигнала;

— временное расстояние между двумя сечениями сигнала.

В нашем случае вычисление функции автокорреляции выполним в среде MathCad, для этого возьмем первые четыре выборки кодовой последовательности, значения которых соответственно равны: 37, 11, 4, 1; преобразуем их в двоичный код и склеим. В среде MathCad создадим два вектора Vx и Vy в виде матрицы с 24 строками и одним столбцом и заполним их найденным кодом сигнала.

37, 11, 4, 1 — это номера уровней.

Они были получены путём деления значения вершин отсчётов дискретизованной последовательности на время дискретизации ф. Затем эти числа мы перевели в двоичный код и записали в столбцы матриц Vx и Vy.

Затем, используя функцию corr (Vx, Vy) находим корреляцию (при равных векторах, она будет равна 1), после этого, сдвигая вектор Vy на одну строку, получаем новое значение корреляции. Так повторяем 7 раз и получаем табличную функцию автокорреляции (таблица 4.1) и ее график (рисунок 4.2).

Таблица 4.1 — Зависимость K ()

Рисунок 4.2 — График автокорреляционной функции

5. Расчет энергетического спектра кодового сигнала

Энергетический спектр рассчитывается по (5.1):

(5.1)

Зависимость представлена в таблице 5.1.

График энергетического спектра кодового сигнала представлен на рисунке 5.1.

Рисунок 5.1 — График энергетического спектра кодового сигнала

Таблица 5.1 — Зависимость

6. Расчёт спектральных характеристик модулированного сигнала

Для передачи полезной информации в технике связи обычно используются модулированные сигналы. Они позволяют решить задачи уплотнения линий связи, электромагнитной совместимости, помехоустойчивости систем. Процесс модуляции является нелинейной операцией и приводит к преобразованию спектра сигнала.

Одним из видов аналоговой модуляции является частотная модуляция (ЧМ)

Аналитически это выглядит так:

(6.1)

(6.2)

(6.3)

где — частота первой гармоники полезного сигнала,

— фаза n-ой гармоники, амплитуда несущей,

 — -амплитуда n-ой гармоники

=, B, рад/с

Следовательно, рад/с,

где с

рад/c, рад/c

где Гц;

Гц.

Следовательно, рад/с, рад/c.

На рисунке 6.1 и рисунке 6.2 представлены графики кодовой последовательности для данного модулированного сигнала и самого модулированного сигнала.

Графическое представление спектра модулированного сигнала показано на рис. 6.2

Рисунок 6.1 — График кодовой последовательности модулированного сигнала U_k (t)

Рисунок 6.2 — График модулированного сигнала U_м (t)

Рисунок 6.2 — Cпектр модулированного сигнала

Рисунок 6.2 — Cпектр модулированного сигнала

7.1 Согласование источника информации с каналом связи

Заданный сигнал мы представили отсчетами, идущими с заданным интервалом. Такая выборка содержит полную информацию о передаваемом сигнале и, следовательно, сама представляет источник информации. Выше было определено количество выборок для одного из сигналов.

Таким образом, выборки это алфавит источника информации и вероятности букв этого алфавита равны друг другу. Такой источник имеет ряд информационных характеристик: количество информации в знаке, энтропию, производительность, избыточность. В дальнейшем нас будет интересовать производительность, которая характеризует скорость работы источника и определяется по следующей формуле:

(7.1)

гиде — энтропия алфавита источника, бит/с;

— среднее время генерации одного знака алфавита, с.

(7.2)

Рассмотрим принципы и предельные возможности непосредственного согласования дискретного источника сообщений с непрерывным каналом связи. Напомним, что в непрерывном канале надо знать плотности распределения случайных процессов сигналов, помех и их же условные плотности распределения. Это понятие вводится при моделировании канала связи и с точки зрения передачи сообщений нет большого противоречия в том, что источник принят дискретным, а канал непрерывный. Полоса пропускания канала должна быть достаточной для прохождения спектра модулированного сигнала. Величина была определена нами в разделе 5. Предельные возможности согласования дискретного источника с непрерывным каналом определяются следующей теоремой Шеннона (которая аналогична такой же дискретного источника и дискретного канала).

Теорема Шеннона. Дискретные сообщения, выдаваемые дискретным источником с производительностью можно закодировать так, что при передаче по гауссову каналу с белым шумом, пропускная способность которого С превышает вероятность ошибки Р_ош может быть достигнута сколь угодно малой.

При определении пропускной способности канала статистические законы распределения помехи, сигнала, и суммы сигнала и помехи — нормальные законы с соответствующими дисперсиями Рп, Рс и Рс+Рп.

Пропускная способность гауссова канала равна:

(7.3)

где F — частота дискретизации, Гц;

Р_п — мощность помехи, Вт.

Определяется по заданной спектральной плотности мощности N (дано в задании на курсовой проект) и полосе частот модулированного сигнала .

(7.4)

где N₀ — спектральная плотность мощности шума.

По этим формулам, пользуясь неравенством Шеннона, надлежит определить Рс, обеспечивающую передачу по каналу.

По формулам (2.9) — (2.10) получаем:

H (a) =log₂ (5,609) =2,488 бит/с;

2,488/0,785=31690 бит/с.

Мощность помехи:

Р_п=; (7.5)

P_П=5,73?10^-11 Вт.

Мощность сигнала:

P_C = (2 ^{C?Дt -} 1) ?P_П; (7.6)

P_C=1,785?10^-9 Вт.

7.2 Расчет вероятности ошибки в канале с аддитивным белым шумом

Вероятность ошибки P₀ зависит от мощности (или энергии) сигнала и мощности помех (в данном случае белого шума). Известную роль играет здесь и вид сигнала, который определяет статистическую связь между сигналами в системе. В общем случае:

(7.7)

гдe F (x) — функция Лапласа.

(7.8)

где

— аргумент функции Лапласа.

(7.9)

где E — энергия разностного сигнала, Вт; N₀ — односторонняя плотность мощности белого шума.

; E = 1,401?10^-13 Дж.

Найдем вероятность ошибки (по формуле 2.15):

Получаем, что Р₀ = 3,151? 10^-13.

Заключение

В данной курсовом проекте были выполнены расчёты спектральных характеристик, ширины спектра, интервалы дискретизации и разрядности кода, расчёт автокорреляционной функции кодового сигнала и его энергетического спектра, спектральных характеристик модулированного сигнала, мощности модулированного сигнала, вероятности ошибки при воздействии «белого шума» .

В результате курсовой работы получили следующие числовые значения:

рад/с

рад/с

рад/с

Гц.

с.

m = 6

с

H (a) = 2,488 бит/с,

31 890 бит/с,

P_П=5,73?10^-11 Вт,

P_C=1,785?10^-9 Вт,

E_С= 1,401?10^-13 Дж.

Вероятность ошибки при воздействии «белого шума» равна 1,401?10^-13 Дж, что говорит о том, что частотная модуляция, используемая в курсовом проекте, имеет хорошую помехоустойчивость.

Библиографический список

Расчёт характеристических сигналов и каналов связи: Методические указания к курсовой работе по дисциплине «Теоретические основы транспортной связи» / Н. Н. Баженов, А. С. Картавцев. — Омский ин — т инж. ж. — д. транспорта, 1990.

Каллер М.Я., Фомин А. Я. Теоретические основы транспортной связи: Учебник для ВУЗов ж. — д. транспорта — М.: Транспорт, 1989.

Гоноровский И. С. Радиотехнические цепи и сигналы: Учебник для ВУЗов. — М.: Радио и связь, 1986.

4. Теория передачи сигналов: Учебник для ВУЗов/ А. Г. Зюко, и др. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Радио и связь, 1986