Расчет статически определимых балок на прочность и жесткость
Для деревянной балки Б-1 подобрать сечение круглого и прямоугольного профиля из брусьев ходовых размеров. Сравнив расход материала, выбрать рациональное сечение. Проверить прочность по нормальным напряжениям балки из сталефибробетона для схемы № 2, сечение принять по рис. 1 по указанию преподавателя. Определить величину и направление главных нормальных и максимальных касательных напряжений… Читать ещё >
Расчет статически определимых балок на прочность и жесткость (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Иркутский государственный технический университет Кафедра строительства и городского хозяйства
Курсовой проект
на тему:
Расчет статически определимых балок на прочность и жесткость Иркутск, 2010 г.
Требуется:
1. Для деревянной балки Б-1 подобрать сечение круглого и прямоугольного профиля из брусьев ходовых размеров. Сравнив расход материала, выбрать рациональное сечение.
2. Проверить прочность по нормальным напряжениям балки Б-2 из сталефибробетона, сечение принимаем из таблицы 9 учебника «Курсовые и расчетно-проектировочные работы» под редакцией В. В. Семенова.
3. Для балки Б-3 подобрать по величине необходимого момента сопротивления соответствующий номер стальной двутавровой балки из таблиц сортамента прокатных или сварных балок.
4. Проверить прочность, подобранной в пункте 3 двутавровой балки в опасных точках:
· в точке, где действует ;
· в точке, где действует ;
5. Исследовать напряженное состояние стальной балки в пяти точках по высоте в сечении, где одновременно сочетание величины M и Q наиболее неблагоприятное (в верхней и нижних точках сечения, на границе между полкой и стенкой вверху и внизу, также на нейтральной оси):
· вычислить в каждой из указанных точек нормальные и касательные напряжения и построить их эпюры и по высоте сечения балки.
· определить величину и направление главных нормальных и максимальных касательных напряжений и построить их эпюры по высоте сечения балки.
· произвести проверку прочности по 3 и 4 теориям прочности.
Если условие прочности в какой-либо точке не будет удовлетворено, следует изменить размеры сечения.
Для схемы № 1 подобрать сечение деревянной балки круглого и прямоугольного профиля из брусьев ходовых размеров. Сравнив расход материала, выбрать рациональное сечение.
Проверить прочность по нормальным напряжениям балки из сталефибробетона для схемы № 2, сечение принять по рис. 1 по указанию преподавателя.
Для схемы № 3 подобрать по величине необходимого момента сопротивления соответствующий номер стальной двутавровой балки из таблиц сортамента прокатных или сварных балок.
Проверить прочность, подобранной в пункте 4 двутавровой балки; в опасных точках; в точке, где действует; в точке, где действует ;
Исследовать напряженное состояние в пяти точках по высоте в сечении, где одновременно сочетание величины M и Q наиболее неблагоприятное (в верхней и нижних точках сечения, на границе между полкой и стенкой вверху и внизу, также на нейтральной оси).
Вычислить в каждой из указанных точек нормальные и касательные напряжения и построить их эпюры и по высоте сечения балки.
Определить главные и максимальные касательные напряжения и построить их эпюры по высоте сечения балки.
Произвести проверку прочности по 3 и 4 теориям прочности.
Если условие прочности в какой-либо точке не будет удовлетворено, следует изменить размеры сечения.
Все эпюры напряжений строить в одном масштабе.
6. Для стальной балки определить прогибы по середине пролёта и на концах пролёта, углы поворота на опорах: методом начальных параметров, методом Мора, способом Верещагина.
7. Изобразить изогнутую ось балки.
8. Проверить жесткость балки, приняв предельный прогиб .
Балка Б-1
1. Расчетные значения нагрузки при :
Mn = 4кНм М = Mn * гf = 4*1,2 = 4,8кНм
Fn = 12кН F = Fn* гf = 12*1,2 = 14,4кН
qn = 6кН/м q = qn* гf = 6*1,2 = 7,2кН/м
l = 2 м
2. Построение эпюр М и Q
Рис. 1. Эпюры внутренних усилий в деревянной балке от расчетных нагрузок Использую 2 форму аналитических условий равновесия:
?Fxy = 0
?mA= 0
?mB = 0
1.
?mB = - q*2*3 — F*4 + M + VB * 6 = 0
vB = 7,2*2*3+14,4*4 — 4,8 = 16 кН
2. ?mB = 0
?mA = - VA * 6 + q*2*3+F*2+M = 0
VA = 7,2*2*3+14,4*2+4,8 = 12,8 кН Проверка найденных реакций:
?Y= 0; VA — q*2 — F+ VB = 0
?Y=12,8 — 7,2*2 — 14,4 + 16 = 0; 0 = 0, => реакции найдены, верно.
1 участок
0? Z1? Z
M (z1) = VA Z1
M (z1=0) = 0;
M (z1=z) = 12,8*2= 25,6 кНм
Q (z1) = VA = 12,8кН
2 участок
0? Z2? 2
M (z2) = VA*(2+ z2) — q* z22
M (z2=0) =12,8*2= 25,6кНм
M (z2=2) =12,8*4 — 7,2*22 = 36,8кНм
Q (z2)= VA — q*z2
Q (z2=0)= 12,8кН
Q (z2=2)= 12,8 — 7,2*2 = - 1,6кН
Z20 = VA = 12,8 = 1,78 м
q 7,2
Экстремум М (Z20)= 12,8*3,78 — 7,2*1,782 = 36,98 кНм
3 участок
0? Z3? Z
M (z3) = M+ VA*Z3
M (z3=0) = M= 4,8кНм
M (z3=2) = 4,8+16*2= 36,8 кНм
Q (z3)= VВ = - 16 кН По полученным данным строю эпюры М и Q.
Определяю требуемый момент сопротивления как:
Wxтр > Mmax = 36,98*103 = 2845 см3
R13
а) подбираю круглое сечение круг
Wx= рd3
диаметр
d > 3v 32wxтр = v32*2845 = 31 см р 3,14
площадь, А = рd2 = р*312 = 755 см2
По сортаменту пиломатериалов берём см б) подбираю прямоугольное сечение прямоугольник
Wx = bh2
Wx = 25*252 = 2604 см3 < Wxтр = 2845 см3
на b= 25 см, h= 25см — наибольшее сечение.
По сортаменту пиломатериалов принимаю брус
h = 22 см, b= 10 см.
Wx = 10 * 442 = 3227 см3
Wx = 3227 см3 > Wxтр = 2845 см3
А? = b*h = 10*44= 440 см2
А? < А
Балка Б-2
Проверить прочность и жесткость по нормальным напряжениям балки из сталефибробетона, сечение принять по учебнику «Курсовые и расчетно-проектировочные работы» под редакцией В. В. Семенова таблица 9.
1. Расчетные значения нагрузки при :
Mn = 50кНм М = Mn * гf = 50*1,2 = 60кНм
Fn = 7кН F = Fn* гf = 7*1,2 = 8,4кН
qn = 18кН/м q = qn* гf = 18*1,2 = 21,6кН/м
l = 2,8 м
n = 5
Рис. 3. Эпюры внутренних усилий в сталефибробетонной балке от расчетных нагрузок
1 участок
0? Z1? 2,8
M (z1) = F Z1
M (z1=0) = 0;
M (z1=2,8) = 8,4*2,8= 23,52кНм
Q (z1) = - F = - 8,4кН
2 участок
0? Z2? 2,8
M (z2) = q z22 — М + F*(Z2 + 2,8)
M (z2=0) = -60+8,4*2,8= - 36,48кНм
M (z2=2,8) =21,6*2,82 — 60+8,4*5,6= 71,71кНм
Q (z2)= -F — qz2
Q (z2=0)= - 8,4кН
Q (z2=2,8)= -8,4 — 21,6*2,8= - 68,88кН По полученным данным строю эпюры М и Q.
2. Проверка прочности по нормальным напряжениям. Проверку выполняю по неравенствам
?t max = Mmax * yt? Rt ;
?c max = Mmax * yc? Rc; JxJx
Площади А1 = 40*60= 2400 см2
А2 = Ѕ *7,5*60 = 225 см2
Рис. 4. Нормальные напряжения в поперечном сечении сталефибробетонной балки Ординату центра тяжести определяю относительно оси х1, то есть
yc = ?SX1 = A1Y1+2A2q2 = 2400*0+2*225*(-20) = - 3,16 см
?AA1+2 A22400+2*225
Момент инерции
Jx1= 40*603 = 720 000 см4
Jx2= 7,5*603 = 45 000 см4
Момент инерции относительно нейтральной оси
Jx= ?(Jxi + Аiаi2)= (720 000+3,162*2400) + 2(45 000+16,842*225) =
961 611 см4
Наибольшие напряжения:
— в растянутой зоне балки
?t max = Mmax * yt = 71,71*10-3 * 0,2684= 2,00МПа < Rt = 4,5МПа
Jx 961 611*10-8
— в сжатой зоне
?c max = Mmax * yc = 71,71*10-3 * 0,3316= 2,47МПа< Rс= 22,5МПа
Jx 961 611*10-8
Строю эпюру? по значениям ?t max и ?c max (рис. 4).
Вывод: условие прочности по нормальным напряжениям обеспечена.
Балка Б-3
1. Расчетные значения нагрузки при :
Mn = 40кНм М = Mn * гf = 40*1,2 = 48кНм
Fn = 42кН F = Fn* гf = 42*1,2 = 50,4кН
qn = 28кН/м q = qn* гf = 28*1,2 = 33,6кН/м
l = 1,8 м
2. Составляю уравнения равновесия для заданной балки от расчетных нагрузок. Отбрасываю связи, заменяю реакциями vА, vB
Использую 2 форму аналитических условий равновесия:
балка деревянный сталефибробетон стальной
?Fxy = 0
?mA= 0
?mB = 0
1.
?mB = q*3,6*1,8 + M + VB *5,4 — F*7,2= 0
vB = -33,6*3,6*1,8−48+50,4*7,2= 17,99кН
5,4
2. ?mB = 0
?mА = VA*5,4 — q*3,6*3,6+ M — F*1,8= 0
VA= 33,6*3,6*3,6 — 48+ 50,4*1,8= 88,55кН
5,4
Проверка найденных реакций:
?Y= 0; ?Y= - VA + q*3,6 — F+ VB = 0
?Y= -88,55+33,6*3,6+17,99 — 50,4 = 0; 0 = 0, => реакции найдены, верно.
3. Построение эпюр М и Q
1 участок
0? Z1? 3,6
M (z1) = qZ12— VA Z1
M (z1=0) = 0;
M (z1=3,6) = 33,6*3,62/2 — 88,55*3,6= -101,1 кНм
Q (z1) = qZ1 — VA
Q (z1=0)= - 88,55кН
Q (z1=3,6) = 33,6*3,6 — 88,55= 32,41кН
Z10 = VA = 88,55 = 2,64 м Рис. 5. Эпюры внутренних усилий в стальной балке от расчетных нагрузок В сечении, где поперечная сила меняет знак, изгибающий момент имеет экстремальное значение. Нахожу его на втором участке:
Экстремум
М (Z10)= 33,6*2,642 — 88,55*2,64= - 117,1кНм
2 участок
0? Z2? 1,8
M (z2) = -FZ2
M (z2=0) =0
M (z2=1,8) = - 50,4*1,8= - 90,72кНм
Q (z2)= F= 50,4кН
3 участок
0? Z3? 1,8
M (z3) = VВZ3 — F (Z3+1,8)
M (z3=0) = - 90,72кНм
M (z3=1,8) = 17,99*1,8 — 50,4*3,6= - 149,1кНм
Q (z3)= F — VB= 50,4 — 17,99= 32,41кН Определяю требуемый момент сопротивления как:
Wx = Mmax = 149,1*103 = 621 см3
R240
По ГОСТу 8239 — 72 выбираю двутавр № 36, для которого:
Wx = 743 см3; Jx= 13 380 см4; Sx= 423 см3; b= 14,5 см; d= 0,75 см; t= 1,23 см Определяю фактическое нормальное напряжение:
?maxфакт = Mmax = 149,1*103 = 200,7МПа
Wx 743
Проверяю прочность балки по касательным напряжениям. Проверку провожу в сечении, где
Qmax = 88,55кН,
по выражению фmax = QmaxSx
Jx*d
фmax = QmaxSx = 88,55*10-3*423*10-6 = 37,3МПа < Rs = 130МПа
Jx*d 13 380* 10-8*0,75
Строю эпюры ф и? для этого сечения
Рис. 6. Эпюры напряжений в «опасном» сечении
y1 = h/2 = 18 см
y2 = h/2 — t = 18 — 1,23 = 16,77 см;
y3 = 0;
?(1) = 149,1*10-3 * 0,18 = 200,58МПа
13 380*10-8
?(1) = 149,1*10-3 * 0,1677 = 200,58МПа
13 380*10-8
?(3) = 0
В этих же точках определяю касательные напряжения по формуле Журавского:
ф(1) = 0, так как Sx= 0;
для полки двутавра ф(2)1 = Q*Sxп = 32,41*10-3*310,06*10-6 = 0,52МПа
Jx*b 13 380*10-8*14,5*10-2
где статический момент полки
Sxп = An*yc = b*t (h — t) = 14,5*1,23*(18 — 1,23/2) = 310,06 см3
2 2
для стенки двутавра ф(2) = Q*Sxп = 32,41*10-3*310,06*10-6 = 10,01МПа
Jx*d 13 380*10-8*7,5*10-3
на нейтральной оси ф(2) = Q*Sxп = 32,41*10-3*423*10-6 = 13,66МПа
Jx*d 13 380*10-8*7,5*10-3
?red3 = v ?2+ 4ф2? R,
?red4 = v ?2+ 3ф2? R,
?red3 = v 186,872 + 4*10,012 = 187,9МПа < R= 240МПа
?red4 = v 186,872 + 3*10,012 = 187,7МПа < R= 240МПа
?1,3 =? + 1 v ?2 + 4ф2
2 2
фmaxmin = + 1 * v ?2 + 4ф2
точка | ||||||||
фmaxmin, МПа | +100,29 | +93,44 | +93,97 | +13,66 | +93,97 | +93,44 | +101,29 | |
?1, МПа | 200,58 | 186,88 | 187,41 | 13,66 | 0,54 | 0,005 | ||
?3, МПа | — 0,005 | — 0,54 | — 13,66 | — 187,41 | — 186,88 | — 200,58 | ||
Перемещения осуществляю методом начальных параметров.
Рис. 7. Определение перемещения балки в сечении D
Жесткость сечения
EJx =2,06*108*13 380*10-8 = 27 562,8кНм2
Уравнения прогибов и углов поворота
EJxy = EJxy0 + EJx?0Z — VAz3 + q* z4 — М*(Z — 3,6)2 — q*(Z — 3,6)4 + VB*
6 24 224* (Z — 5,4)3
(2) EJx? = EJx?0 — VAz2 + q* z3 — М*(Z — 3,6) — q*(Z — 3,6)3 + VB*
2 66* (Z — 5,4)2
Начальные параметры
(3) опора, А (Z=0) yA=0
(4) опора B (Z=5,4) yВ=0
Из (1) при условии (3) следует
EJxyA = EJx*y0 = 0
Из (1) при условии (4) следует
EJxyA = EJx ?0*5,4 — 88,55*5,43+ 33,6*5,44 — 48*1,82 — 33,6*1,84 = 0
6 24 2 24
EJx ?0 = 227,0кНм2
После подстановки в предыдущие уравнения координаты сечения «D» (Z=2,7м) получаю:
Прогибы из (1)
Сечения «D» (Z=2,7м) — середина пролета
EJxyD = 227,0*2,7 — 88,55* 2,73+ 33,6*2,74 = 396,88кНм3
yD = 396,88 = 0,0144 м = 1,44 см (вверх)
27 562,8
сечение Е (конец консоли) Z = 7,2 м
EJxyЕ = 227,0*7,2 — 88,55* 7,23+ 33,6*7,24 — 48*3,62 — 33,6*3,64 +
+17,99*1,832 = -640,3кНм3
yE = -640,3 = -0,0232 см = -2,32 см
27 562,8
Углы поворота из (2)
Сечение, А (Z=0)
EJx ?A = 227,0кНм2
?A = 227,0 = 0,824 рад (против часовой стрелки)
27 562,8
Сечение В (Z=5,4)
EJx ?B = 227,0 — 88,55* 5,42 +33,6*5,43 — 48* 1,8 — 33,6*1,83 = -301,3кНм2
26 6
?B = -301,3 = -0,0109 рад (по часовой стрелке)
27 562,8
Рис. 8. Изогнутая ось стальной балки Согласно условию задачи предельный прогиб равен:
fu = 1 * l ;
Допускаемые прогибы Середина пролета
fu = 5,4 = 0,027 м = 2,7 см
Конец консоли
fu = 3,6 = 0,018 м = 1,8 см
yЕ = 2,32 см > fu = 1,8 см
Вывод: жесткость на конце консоли не обеспечена.