Подготовка и проведение математических олимпиад

Тематика математических олимпиад Вопреки традиционному мнению в заданиях математических олимпиад очень мало задач на вычисления. В отличие от задач школьной математики, в которых проверяются вычислительные навыки учащихся, задачи олимпиад основаны на логике, на способности построения логической конструкции. Поэтому в основном в олимпиадных задачах требуется обоснование какого-либо математического утверждения. Часть условий задач так и начинаются со слов: «Докажите, что…» В некоторых задачах вначале требуется отыскать числовой ответ, а затем обосновать его, К такому классу относятся, например, задачи типа «оценка + пример», начинающиеся со слов: «Найдите наименьшее (наибольшее) число N, удовлетворяющее условию…» Первый этап решения — интуитивное получение ответа, второй — построение примера, реализующего ответ, третий — доказательство невозможности построения примера для меньшего (большего) значения п. Классическим примером такого класса является задача о наибольшем количестве ладей, которые можно расставить на шахматной доске так, чтобы они не били друг друга. Правильный ответ 8 легко угадать, и существует множество вариантов расстановки ладей требуемым способом. Но почему нельзя расставить большее число ладей? Очень просто: в каждую строку можно поставить с соблюдением условия задачи не более чем одну ладью. Значит, на всей доске их не может оказаться больше 8. Другим примером задач, в которых вначале требуется угадать ответ, являются задачи, вопрос в которых начинается со слов: «Существует ли…», «Верно ли…», «Можно ли…», «Кто выигрывает…».

Составители олимпиадных заданий стремятся к тематическому разнообразию задач, учитывая при этом не только программу по математике соответствующего класса школы, но и возрастные особенности школьников. Учащиеся, перешедшие из младшего в среднее звено школы, имеют слабые навыки в построении четких логических конструкций (не умеют «строго доказывать»), поэтому большинство заданий для учащихся 5—7 классов — это задачи на интуицию, «на догадку», либо задачи, в которых обоснование является достаточно простым. Вот пример за задачи, предлагавшейся на II туре для учащихся 6 класса: «В 10 мешках находятся золотые монеты, при этом в одном мешке все монеты фальшивые, в остальных мешках все монеты настоящие. Все настоящие монеты весят по 10 граммов, а все фальшивые монеты — по 9 граммов. Как с помощью ровно одного взвешивания на чашечных весах со стрелкой определить, в каком мешке находятся фальшивые монеты?».

Решение. Нужно из первого мешка взять одну монету, из второго — две, из третьего — три и т. д. Тогда величина 550 — S, где S — суммарный вес взвешиваемых монет, и укажет номер мешка с фальшивыми монетами. * Фактически школьник, предложивший такую запись, уже решил задачу. Каждому после недолгих размышлений становится ясно, что предложенный метод является правильным.

Строгим можно считать, например, такое обоснование предложенного метода. Если бы каждая монета была настоящей, то взвешиваемые монеты весили бы 10 + 20 + + 30 + … + 100 = 550 грамм. Но каждая фальшивая монета ровно на 1 грамм легче, поэтому число 550 — S показывает, сколько фальшивых монет мы взвешиваем, а это и есть номeр мешка.

Нередко в задания включаются числовые ребусы, задачи на разрезание, построение конструкций, простые логические задачи либо задачи на игры, в которых требуется угадать выигрышную стратегию одного из игроков. С психологической точки зрения желательным является включение в задания для учащихся 5—7 классов задач, формулировка которых носит повествовательный, игровой характер. Поэтому нередко в тексте присутствуют знакомые школьникам литературные или мультипликационные герои («Малыш и Карлсон по очереди съедают конфеты…»).

Наиболее схожими по формулировке с задачами школьной математики являются задачи математических олимпиад для старшеклассников. Ведь решения задач, предлагаемых для старшеклассников, требуют владения всем курсом школьной математики, наиболее сложные разделы которой как раз и изучаются в выпускных классах.

Здесь хочется отметить заметное отличие тематики математических олимпиад для школьников в России и в странах, входивших в состав СССР, от тематики олимпиад в целом ряде других стран. В Советском Союзе в cилу огромной протяженности страны олимпиады выступали основным инструментом поиска одаренных школьников, а также поддержки системы дополнительного (факультативного) математического образования. Поэтому олимпиады проводились для учащихся не только старшего, но и среднего звена и обязательно включали в себя задания, выявляющие в первую очередь творческие способности школьников, а не степень и качество их математической подготовки. В то же время во многих странах Европы, Америки и Азии продолжительность обучения в школе составляет 11—13 лет, и олимпиадные задачи построены на хорошем владении математической техникой. В таких задачах от школьника требуется не создание маленького «открытия» (нахождения новой — по крайней мере, для него — идеи), а реализация своих знаний и навыков в относительно простой с творческой точки зрения ситуации.

Как следствие, в России (Советском Союзе) сложилась и обрела богатые традиции «композиторская» математическая школа. Во всем мире огромной популярностью пользуются сборники олимпиадных задач Всероссийских, а также городских Санкт-Петербургской и Московской олимпиад, ежегодно пополняющих копилку олимпиадных задач новыми, авторскими идеями. При этом особенно выделяются задачи по геометрии и комбинаторике.

Это отличие наиболее заметно проявляется на Международных математических олимпиадах, где российские участники нередко превосходят соперников в решении комбинаторных задач, в которых основу составляет нахождение новой идеи, но заметно уступают своим основным соперникам — китайским школьникам в решении сложных технических задач. В Китае, например, как и в ряде других стран, олимпиадные задания едины для всех участников независимо от класса, в котором они обучаются, и тем самым основаны на владении всем изучаемым в школе материалом.

Структура варианта Вернемся к тематическим и структурным особенностям наших олимпиад. Методическая комиссия Всероссийской олимпиады школьников по математике формирует задания, исходя из следующих принципов:

1) Нарастание сложности задании от первого к последнему. При этом их трудность должна быть такой, чтобы в каждый из двух дней олимпиады с первым заданием успешно справились примерно 70% участников, со вторым — около 50%, с третьим — около 20%, а с четвертым — лишь несколько участников. (Конечно, не всегда удается выдержать такие установки по трудности заданий, так как новые, авторские задачи не всегда точно соответствуют заданной сложности).

Тематическое разнообразие заданий. Каждый день в комплект должны входить задачи по геометрии, алгебре, комбинаторике, в старших классах желательно включение задач по теории чисел, тригонометрии, стереометрии, математическому анализу. (При этом допустимо и даже поощряется включение задач, объединяющее различные разделы школьной математики).

Обязательная новизна задач. Недопустимой является ситуация, когда участник математической олимпиады заранее знаком с идеей решения задачи. (В этом заключается коренное отличие математических олимпиад от олимпиад по тем дисциплинам, в которых предлагаются тестовые задания, проверяющие как раз знание участником олимпиады тех или иных фактов, его начитанность, «энциклопедичность»). Олимпиады по математике в первую очередь проверяют способность ученика к творчеству, умение логически мыслить, а не объем его знаний.

Эстетическая красота заданий. В математике существует понятие «красивая задача». К таковым относят задачи, в которых сочетаются интересный с научной точки зрения факт, простота формулировки и элегантность решения. К ним относится, например, задача, получившая название «Полоски Климова» (автор задачи — победитель Международной математической олимпиады в составе команды СССР Аркадий Климов): «Прямоугольник разрезан на прямоугольники, у каждого из которых длина одной из сторон — целое число. Докажите, что и у исходного прямоугольника длина одной из сторон — целое число». Интересно, что у этой комбинаторной задачи, помимо «симпатичного» комбинаторного решения, имеется и короткое неэлементарное решение, основанное на свойствах двойных интегралов.

Организация проведения туров олимпиады Важной составляющей проведения олимпиады является организация условий для выполнения работ участниками. Помимо основных требований, предъявляемых к учебным аудиториям (освещение, проветривание и т. п. необходимо учесть специфику проведения математических олимпиад. В кабинетах должны находиться чертежные принадлежности (карандаши, циркули, линейки). Участники должны быть обеспечены одинаковыми тетрадями в клеточку. На математических олимпиадах часто предлагаются задачи, в которых участвуют клетчатые фигуры, Также достаточно распространены задачи на раскраски и заполнение таблиц. Наличие тетради в клеточку избавляет участника от необходимости проведения дополнительной работы по разлиновыванию листов, на что требуется время. Однотипность тетрадей является необходимым требованием для шифровки работ.

При проведении второго этапа дежурный по аудитории составляет список присутствующих. Начиная с третьего этапа олимпиады, все участники заполняют анкеты.

Рекомендуется подготовить инструкцию для дежурных по аудиториям (кабинетам). В эти инструкции, помимо прочих, традиционно включают следующие четыре основных пункта:

Обратите внимание на рассадку участников. Рассадимте школьников так, чтобы учащиеся из одной школы (начиная с третьего этапа — из одного региона, города) не сидели рядом.

Обратите внимание на организацию заполнения титульных листов и оформление работ. Напомните участникам, что фамилию, имя и отчество надо вписывать в титульный лист разборчиво, печатными буквами; в тексте работы не должно быть никаких указаний на ее авторство; в работе следует указывать, какая часть является чистовиком, а какая — черновиком.

Обратите внимание участников на то, что мобильными средствами связи, а также калькуляторами на олимпиаде пользоваться нельзя.

Дежурный по аудитории отвечает только на организационные вопросы (оформление работ, выход из аудитории, время и т. п.). Ответы на вопросы по условиям осуществляет только дежурный член жюри.

По окончании олимпиады представители Оргкомитета осуществляют шифровку работ. Обложки и протоколы шифровки хранятся в Оргкомитете до окончания проверки и определения победителей и призеров. Определение призеров и победителей олимпиады должно проводиться Жюри и Оргкомитетом до расшифровки работ.

Организация проверки работ Задания математических олимпиад являются творческими, допускают несколько различных вариантов решений. Кроме того, необходимо оценивать частичные продвижения в задачах (например, разбор важного случая, доказательство леммы, нахождение примера и т. п.). Наконец, возможны логические и арифметические ошибки в решениях. Окончательные баллы по задаче должны учитывать все вышеперечисленное.

Поэтому проверка работ на математических олимпиадах проводится в два этапа. На первом этапе Жюри производит проверку работ без выставления баллов по так называемой системе «плюс — минус». Знак выставляется в соответствии с приведенной таблицей. При этом предварительная оценка по системе «плюс — минус» может быть незначительно изменена после обсуждения критериев и классификации случаев.

Иногда выставляется оценка «+!», чтобы отметить правильное красивое решение. Как правило, подобные решения отмечаются спецпризами.

По окончании первого этапа группа проверяющих по каждой задаче, анализируя и обобщая приведенные решения, выделяет различные способы решения, типичные частичные продвижения, основные ошибки. В соответствии со сравнительным анализом различных продвижений вырабатывается шкала критериев оценивания.

На втором этапе выставляются окончательные баллы по каждой задаче. В соответствии с регламентом проведения математических олимпиад школьников каждая задача оценивается по 7 баллов. В таблице приведена шкала перевода знаков в баллы.

Важно отметить, что любое правильное решение оценивается в 7 баллов. Недопустимо снимать баллы за то, что решение слишком длинное, или за то, что решение школьника отличается от приведенного в методических разработках или от других решений, известных Жюри.

В то же время любой сколь угодно длинный текст решения, не содержащий полезных продвижений, должен быть оценен в 0 баллов.

Традиционной ошибкой школьников при решении задач на доказательство является использование доказываемого утверждения в качестве начального условия. Например, в задаче требуется доказать, что треугольник является равносторонним, а доказательство начинается со слов: «Пусть треугольник ABC — равносторонний». Подобные «решения» оцениваются в 0 баллов в силу грубой логической ошибки.

Еще раз остановимся на задачах на нахождение наибольшего (наименьшего) значения некоторой величины (задачи типа «оценка + пример»). Решение таких задач включает в себя два шага.

Обычно более сложный шаг (оценка) — доказательство того, что некоторая величина не больше (не меньше) некоторого значения.

Построение примера, показывающего достижимость указанного значения.

Как правило, только первый шаг оценивается в 4 балла, второй шаг — в 1—2 балла.

Решения школьников, особенно на последних этапах олимпиады, часто бывают очень длинными и запутанными; никакой, даже сколь угодно квалифицированный член Жюри, не может гарантировать, что он поймет все логические шаги, содержащиеся в работе. Поэтому, начиная с третьего этапа, каждая работа оценивается и проверяется (перепроверяется) не менее чем двумя членами Жюри.

На втором этапе рекомендуется повторная проверка работ победителей и призеров до расшифровки работ.

Определение победителей и призеров.

Победителями олимпиады соответствующего этапа считаются участники, награжденные дипломами первой степени. Призерами олимпиады соответствующего этапа считаются участники, награжденные дипломами второй и третьей степени. Другие участники могут награждаться дипломами участника, грамотами, специальными призами. Важно отметить, что победителем (призером) олимпиады в параллели не обязательно должен быть ровно один ученик. На математических олимпиадах, как на Международных, так и на Всероссийских (в обязательном порядке—на 4 и 5 этапах), принята практика награждения дипломами до 45% всех участников олимпиады. Кроме того, расхождение результатов двух школьников в 1—2 балла может отражать только умение одного из них более четко записывать решения. Поэтому рекомендуемая схема распределения дипломов такова. Школьник, набравший наибольшее количество баллов, а также все школьники, решившие одинаковое с ним число задач (засчитываются задачи, по которым поставлено не менее 5 баллов), награждаются дипломами первой степени. Школьники, решившие на 1—2 задачи меньше (набравшие на 5—15 баллов меньше), награждаются дипломами второй степени. Следующая группа школьников (решивших еще на 1—2 задачи меньше) награждается дипломами третьей степени. Отметим, что в ряде случаев в варианте оказывается слишком много сложных задач. Поэтому отсутствие в параллели ученика, решившего все задачи, не должно означать отказ от присуждения диплома первой степени лучшему из участников. Аналогичные замечания касаются второго и третьего дипломов.

На олимпиадах начальных (первого, второго) этапов с учетом возрастных особенностей рекомендуется награждение дипломами и грамотами значительного (до 60%) числа учащихся младших классов (5—б класс) в целях развития у них интереса к дополнительным занятиям математикой.

Особенности подготовки и проведения математических олимпиад разных этапов Особенности подготовки и проведения школьных олимпиад Школьная олимпиада проводится в один день для учащихся 5—11 классов.

Рекомендуемое время проведения: для 5—6 классов — 2 урока, для 7—8 классов — 3 урока, для 9—11 классов — 4 урока.

Вариант должен содержать 4—6 задач разной сложности. Желательно, чтобы задания охватывали все разделы школьной математики, изученные к моменту проведения олимпиады. Первые две (самые легкие) задачи варианта должны быть доступны подавляющему большинству участников. В качестве сложных задач рекомендуется включать в вариант задачи, для решения которых используются материалы, изучаемые на факультативных занятиях. Например, по темам: «Четность», «Делимость», «Принцип Дирихле», «Логика», «Игры», «Комбинаторика».

Подготовка заданий и их проверка осуществляются учителями математики, руководителями кружков и факультативов (школьными методическими объединениями учителей математики).

Особенности подготовки и проведения районных олимпиад Районная олимпиада проводится в один день для учащихся 6—11 классов. Следует допускать для участия и олимпиаде за 6 класс учащихся 4—5 классов по рекомендации ведущих учителей.

Во многих регионах России в олимпиаде могут принять участие все желающие. В некоторых регионах в число участников дополнительно включаются школьники, рекомендованные руководителями школьных и городских математических кружков и факультативов.

Рекомендуемое время проведения: для 6—7 классов — 3 часа, для 8—11 классов — 4 часа.

Вариант должен содержать 5—6 задач разной сложности. Обязательным является требование включения в вариант заданий по темам, изученным к моменту проведения олимпиады в соответствии с программами всех базовых учебников по математике. Первые две (самые легкие) задачи варианта должны быть доступны подавляющему большинству участников. Рекомендуется включать в вариант задачи, использующие материалы, изучаемые на факультативных занятиях.

Для проверки заданий формируется Жюри, в состав которого включаются учителя математики из разных школ, руководители кружков и факультативов. Рекомендуется включение в состав Жюри студентов, аспирантов и преподавателей математических факультетов университетов, технических и педагогических вузов.

Особенности подготовки и проведения региональных олимпиад Региональная олимпиада проводится, как правило, в два тура. Олимпиада проводится для учащихся 8—11 классов. По согласованию с Оргкомитетом и по рекомендации Жюри второго этапа, допускается участие в олимпиаде учащихся 6—7 классов.

Время проведения каждого тура — 4 часа.

При проведении олимпиады в два дня — каждый день школьникам предлагается решить 4 задачи. При проведении олимпиады в один день — задание включает 5 задач.

В некоторых случаях в силу больших размеров территории региона допускается проведение третьего тура Всероссийской олимпиады одновременно в нескольких городах региона. В этом случае работы доставляются в единый центр для последующей шифровки и проверки работ.

Особенности подготовки и проведения IV этапа олимпиады Четвертый (заключительный) этап олимпиады проводится для учащихся 9—11 классов (разумеется, в олимпиаде также принимают участие учащиеся и более младших классов, ставшие победителями и призерами федеральной окружной олимпиады по указанным классам). В заключительном этапе принимают участие около 60 человек в каждой параллели. Время проведения каждого тура — 5 часов.

В связи со сложностью предлагаемых заданий и трудностью изложения участниками четкого решения за ограниченное время олимпиады, у Жюри олимпиады при проверке возникают сложности по однозначности трактовке записанного решения. Поэтому по окончании проверки работ до окончательного определения победителей и призеров на третьем, четвертом и пятом этапах олимпиады Жюри проводит разбор задач и показ работ участникам олимпиады. На разборе Жюри рассказывает типичные ошибки и критерии оценивания работ, выработанные в процессе проверки в соответствии с рекомендациями Методической комиссии. На показе работ Жюри разбирается вместе с участниками во всех спорных ситуациях. На показе работ после обсуждения по конкретной задаче оценка может быть исправлена (только по согласованию с председателем Жюри или его заместителем). Важно отметить, что если на показе работ участник приводит правильное решение, основанное на своих записях, но предложенное решение не содержится в полном виде в работе, то оценивается доля решения, присутствующая в работе. В исключительных случаях, если проверяющий и участник не могут прийти к единому мнению по оценке работы, участник имеет право подать в течение двух часов с момента окончания показа работ письменную апелляцию. Апелляция рассматривается комиссией, возглавляемой председателем Жюри, в течение одного дня с момента ее подачи.

В силу того что победители заключительных этапом имеют законодательно утвержденные льготы при поступлении в учебные учреждения высшего профессионального образования, дипломы победителей четвертого и пятого этапов олимпиады являются документами строгой отчетности. Ежегодно по итогам пятого этапа олимпиады Министерство образования и науки РФ издает приказ, утверждающий список победителей.

Таким образом, для успешного проведения олимпиад необходимо выполнение в первую очередь следующих условий:

• 1. систематическое проведение всей внеклассной работы по математике;
• 2. обеспечение регулярности проведения олимпиад;
• 3. серьезная, содержательная и интересная подготовительная работа перед проведением каждой олимпиады;
• 4. хорошая организация проведения олимпиад;
• 5. интересное математическое содержание соревнований.

Математическая олимпиада является одной из самых популярных форм внеклассной работы с одаренными детьми, а детская одаренность является основой успешного участия в олимпиадах. Поэтому далее будет рассмотрена проблема детской одаренности.