Разработка методики построения интегрированного курса информатики и математики

Элементы информатики на уроках геометрии

межпредметный компьютерный информатика математика С целью пропедевтики основных понятий информатики была предпринята попытка включения элементов информатики в курс геометрии VI класса при решении задач на построение. Алгоритмический характер таких задач очевиден. Поэтому была сделана попытка создания алгоритмического языка для описания процесса геометрических построений.

Система указаний для построения на плоскости. Рассмотрим алгоритмы решения задач на построение при помощи циркуля и линейки. В состав таких алгоритмов входят известные школьникам указания (предписания) выполнить определенные действия. Конечный, используемый нами набор таких указаний будем называть системой указаний.

Приведем примеры наиболее типичных указаний нашей системы.

Провести прямую через точки А и В. Обозначить построенную прямую именем а: а = пр (А, В).

Провести произвольную прямую а: а = пр (+, +).

Провести прямую через точку А: а = пр (А, +).

Провести окружность с центром в точке А и радиусом с. Обозначить построенную окружность именем 01:01=окр (А, с).

Провести окружность 01 произвольного радиуса с центром в точке А: 01=окр (А, +).

Выбрать произвольную точку на плоскости (). Обозначить выбранную точку именем В: В =(+) или В=().

Выбрать произвольную точку В на прямой а: В=(а).

Обозначить именем? l треугольник с вершинами А, В, С: ?1 =?АВС.

Провести полупрямую а1 с началом в точке, А и проходящую через точку В: а1 =ппр (А, В).

Провести произвольную полупрямую а1 с началом в точке А:

а1=ппр (А, +).

Обозначить именем A угол с вершиной в точке, А и сто-ронами, проходящими соответственно через точки С и D: A= C, А, D.

Запятые в обозначении угла необязательны.

Обозначить именами А и В соответствующие точки пересечения прямой а с окружностью О1: {А, В}=а?О1. Обозначить именем 1 полуплоскость с границей, содержащей прямую или полупрямую а1, и содержащую точку, А вне границы: 1=ппл (а1, А).

В соответствии с приведенными примерами будем считать, что построения производятся в плоскости. Рассматриваемые в алгоритмах полуплоскости будем обозначать буквой вместе со следующим за ним натуральным числом. Точки будем обозначать прописными буквами русского или латинского алфавита, прямые или полупрямые — строчными буквами. После буквы в обозначении точки, прямой или полупрямой допускается запись натурального числа, часто просто цифры. Обозначение окружности будет начинаться с буквы О, обозначение треугольника — со знака ?, обозначение угла-со знака В обозначении окружности, треугольника или угла вслед за первым символом также допускается запись последовательности цифр.

Строго говоря, отмеченные выше договоренности не являются принципиальными. Все элементы построения можно обозначать с помощью имен, состоящих из произвольной последовательности букв и цифр.

Наряду с указанными выше обозначениями, рассматривая новые элементы построения, вместе с введением новых указаний будем использовать новые обозначения, а также математические обозначения, понятные школьникам.

В записи алгоритмов также используются слова, смысл и значение которых являются постоянными в записи любых алгоритмов. Такие слова всегда записываются одинаково, обычно сокращенно и подчеркиваются.

При разработке алгоритмов на построение приведенные примеры указаний будем использовать в качестве образца для записи указаний.

Как видно из приведенных примеров, если в указании алгоритма вместо какого-нибудь параметра стоит знак «+» то данный параметр при выполнении алгоритма выбирается произвольно. При произвольном выборе параметров предполагается выбор параметров, отличных от ранее используемых в алгоритме.

Указания алгоритмов будем нумеровать последовательными натуральными числами. Между указанием и его номером будем ставить точку.

Простейшие задачи на построение Задание 1. Построить треугольник с заданными сторонами. Предполагается, что величины сторон треугольника соответственно равны а, b, с.

Алгоритм 1.

Поясним каждое из приведенных указаний алгоритма.

• 1. Провести произвольную прямую l на плоскости.
• 2. Выбрать произвольную точку В на прямой l.
• 3. Провести окружность 01 с центром в точке В и радиусом а.
• 4. Обозначить именем С одну из точек пересечения окружности 01 и прямой l.
• 5. Провести окружность 02 с центром в точке В и радиусом с.
• 6. Провести окружность 03 с центром в точке С и радиусом b.
• 7. Обозначить именем А одну из точек пересечения окружностей 02 и 03.
• 8. Треугольник? с вершинами в точках Л, В, С искомый.
• 9. Закончить действия.

Задание 2. Отложить от данной полупрямой l1 с началом в точке О в данную полуплоскость 1 угол, равный данному углу А.

Предполагается по условию задачи, что угол А задан вершиной А и двумя лучами b и с, имеющими общую вершину A.

Алгоритм 2.

Здесь указание 4 означает: провести окружность с центром в точке О и радиусом |АВ| равным расстоянию между точками A и В. Указание 6 аналогично указанию 4. Указание 7 означает: обозначить точки пересечения окружностей 02 и 03 именами С1 и С2. Порядок обозначения произвольный.

При выполнении указания 8 проверяется принадлежность точки С1 полуплоскости 1. Если точка С1 принадлежит полуплоскости л1, то под углом О будем понимать B1, О, С1 с вершиной в точке О и лучами, проходящими через точки В1 и С1. Если точка С1 не принадлежит полуплоскости 1, то под углом О будем понимать B1, О, С2 с вершиной в точке О и сторонами, проходящими через точки В1 и С2.

Задание 3. Построить биссектрису данного угла A, образованного лучами b и с.

Алгоритм 3. 1. 01=окр (Л, +).

• 2. В=O1?b
• 3. С=01?с

В приведенном алгоритме указание 6 означает: обозначить точку пересечения окружностей 02 и 03 именем D. Так как одной из точек пересечения окружностей 02 и 03 является точка A, то точка D может быть построена однозначно. Указание 7 означает: построить полупрямую d с началом в точке А и проходящую через точку D.

Задание 4. Разделить отрезок АВ пополам.

Алгоритм 4. 1. 01=окр (A, |АВ|)

• 2. 02=окр (B, |AВ|)
• 3. {С1.С2}=01?02
• 4. l1=пр (Cl. C2)
• 5. M=l1?AВ
• 6. стоп

Указание 5 означает: построить точку пересечения прямой l1 и отрезка АВ.

Задание 5. Через данную точку О провести прямую l, перпендикулярную данной прямой а.

Алгоритм 5. 1. если Оа то идти к 4.

• 2. 01=окр (О, +)
• 3. идти к 6
• 4. В= (а)
• 5. 01=окр (0,2|OB|)
• 6. {A, С} =01?а
• 7. 02=окр (A, |AС|)
• 8. 03=окр (С, |AС|)
• 9. {D, K}=02?03
• 10. l=пр (D, K)
• 11. стоп

Указание 5 здесь означает: построить окружность 01 с центром в точке О и радиусом, равным удвоенному расстоянию между точками О и В.

Использование алгоритмов

Приведенные выше алгоритмы мы будем считать основными простейшими алгоритмами для решения задач на построение при помощи циркуля и линейки. Эти алгоритмы можно использовать для решения других задач на построение.

Для удобства обращения к алгоритмам каждому алгоритму будем давать название (имя) и указывать исходные данные для алгоритма (аргументы), а также результаты его выполнения.

Удобно, указывая аргументы и результаты алгоритма (параметры), одновременно указывать их тип: рац-рациональное число, цел-целое число, пр-прямая, ппр-полупрямая, т — точка, окр-окружность, тр-треугольник, уг-угол, ппл-полуплоскость и т. д.

Название алгоритма, указание его параметров и их типов будем записывать в виде заголовка алгоритма перед первым его указанием. В качестве образца заголовка алгоритма приведем заголовок для алгоритма 1:

алг трг (рац а, b, с; тр ?).

арг а, b, с

рез ?

Имя алгоритма будем помещать в первой строчке заголовка после служебного слова алг— Имя алгоритма 1 состоит из трех букв — трг. После имени алгоритма в скобках указываются типы параметров алгоритма. Параметры одного типа разделяются запятыми. Различные типы параметров разделяются точкой с запятой. Во второй строчке после служебного слова арг через запятую перечисляются аргументы алгоритма, в третьей строчке после служебного слова рез перечисляются результаты алгоритма.

После заголовка алгоритма будем записывать служебное слово нач, после которого помещаются указания алгоритма. После последнего указания алгоритма будем записывать служебное слово кон.

Рассмотренным выше алгоритмам 2, 3, 4, 5 дадим соответственно имена: уг, бис, дел, пер.

При использовании известного алгоритма в решении задач достаточно в качестве отдельного указания записать обращение к алгоритму, состоящее из названия алгоритма и списка его параметров, причем тип параметров в обращении не указывается.

Параметры, являющиеся аргументами, должны быть определены к моменту выполнения алгоритма, т. е. заданы по условию или предварительно построены (числовые вычислены).

Рассмотрим следующий пример:

Задание 6. Построить треугольник с заданными сторонами а, b, с, если а =2, b=3, с =4.

Для выполнения задания будем использовать алгоритм трг, в таком случае требуемый алгоритм может иметь следующий вид:

Алгоритм 6. ал г тр1 (рац а, b, с; тр ?).

арг а, b, с

рез ?

нач

• 1. а=2
• 2. b=3
• 3. с=4
• 4. трг (а, b, с, ?)
• 5. стоп
• 6. кон

Первые три указания задают аргументам алгоритма трг числовые значения. Указание 4 алгоритма тр1 требует применения алгоритма трг, который по заданным значениям длин сторон указывает способ построения искомого треугольника.

Указания 1−3 последнего алгоритма можно опустить, в этом случае искомый алгоритм будет иметь следующие указания:

• 1. трг (2, 3, 4, ?)
• 2. стоп

Алгоритм-функция

Рассмотрим другую форму записи обращения к алгоритму. Рассматриваемое выше указание для построения треугольника по трем заданным сторонам трг (2, 3, 4, ?) можно записать следующим образом: ?=трг (2, 3, 4). Указания такого вида будем называть указаниями, имеющими форму функции.

Всякое обращение к известным алгоритмам можно записать в виде указания, имеющего форму функции. В свою очередь всякое указание на построение можно рассматривать как использование алгоритма, обращение к которому имеет форму функции.

Так, например, указание 01=окр (А, р) можно рассматривать как обращение к алгоритму с именем окр и параметрами A и р, являющимися аргументами алгоритма. Результат построения по данному алгоритму обозначается именем 01.

Такой алгоритм может состоять, например, из следующих указаний:

• 1. Сделать раствор циркуля равным р.
• 2. Поставить одну ножку циркуля в точку А.
• 3. Второй ножкой циркуля описать окружность.
• 4. Закончить действия.

Для указаний приведенного алгоритма можно также ввести сокращения и обозначения, удобные для записи, однако это делать необязательно, так как на практике такого рода указаниями обычно не пользуются.

Методические указания Для изучения темы «Геометрические построения» в VI классе средней общеобразовательной школы отводится 14 ч.

На первом уроке вводятся определения окружности, центра, радиуса, хорды окружности, диаметра. Эти понятия являются уже знакомыми для учащихся. Представляется целесообразным на этом же уроке рассмотреть простейшие указания для построения алгоритмов: проведение окружностей, прямых, выбор точки из множества. После рассмотрения простейших указаний необходимо перейти к рассмотрению простейших алгоритмов.

Учащимся рекомендуется рассмотреть простейшие алгоритмы следующего вида:

• 1. Построить окружность с центром в точке О и радиусом 3 см.
• 2. Отложить на построенной окружности точку, А и построить отрезок О А.
• 3. Отметить на окружности две точки М и N. Провести хорду, их соединяющую.
• 4. Построить общую секущую к двум окружностям.

После выполнения каждого пункта учащиеся показывают свои записи и учитель вносит необходимые пояснения и коррективы.

На этом же уроке или в качестве домашнего задания рекомендуется рассмотреть алгоритмы построения к задачам 5 и 6.

На втором и третьем уроках рассматриваются понятия касательной к окружности, взаимное расположение двух окружностей, теоремы о центрах вписанной и описанной окружностей.

На этих уроках целесообразно рассмотреть указания алгоритмов, содержащие условные указания и указания перехода. Рекомендуется также использовать задания вида:

• 1. Провести диаметр окружности.
• 2. Проверить, является ли прямая касательной к окружности.

На четвертом и пятом уроках следует рассмотреть указания алгоритмов, содержащие понятия полупрямой, полуплоскости, угла, треугольника. Здесь решаются задачи, связанные с построением угла, равного данному, а также треугольника по трем заданным элементам.

На шестом, седьмом и восьмом занятиях рассматриваются вопросы: построение биссектрисы угла, деление отрезка пополам и построение перпендикулярной прямой.

При проведении этих занятий целесообразно рассмотреть алгоритм построения прямой, параллельной данной и проходящей через данную точку, алгоритм построения прямой, касающейся окружности и проходящей через данную точку, и другие алгоритмы подобного типа, обращения к которым в дальнейшем можно использовать как элементарные указания.

При разработке алгоритма построения прямой, параллельной данной прямой а и проходящей через данную точку А, мы используем обращение к алгоритму 5 (построение прямой, проходящей через данную точку, перпендикулярно данной прямой).

Алгоритм 7. алг пар (т А, пр a, l)

арг А, а

рез l

нач пр b

• 1. b=пер (А, а)
• 2. l=пер (А, b)
• 3. стоп

В приведенном алгоритме использовалась прямая b, которая не является параметром алгоритма. Указание типа для имени.

b записано перед первым указанием алгоритма, после служебного слова нач.

В дальнейшем для построения прямой l, параллельной данной прямой а и проходящей через данную точку А, можно использовать обращение к алгоритму 7: l=пар (А, а).

Для проведения произвольной прямой, параллельной данной прямой а, можно использовать указание: l=пар (+, о).

Приведенные указания для использования алгоритма пар можно считать элементарными и не разбивать их на более мелкие указания.

Аналогично можно рассмотреть алгоритмы построения касательных к окружности, проходящих через данную точку.

Занятия 9−14 посвящаются вопросам: геометрическое место точек, метод геометрических мест, углы, вписанные в окружность. На этих занятиях предполагается свободное использование элементов изученной учебной графической системы при рассмотрении алгоритмов на построение.

В целом при изучении данной темы учащиеся должны усвоить основные элементарные указания алгоритмов построения на плоскости, правила и особенности их использования. При этом должна ставиться цель пропедевтики курса информатики, приобретения и развития алгоритмических навыков. У учащихся должен вырабатываться взгляд на алгоритмический язык как на совокупность средств и правил записи алгоритмов.