Расчет эконометрических параметров

Приднестровский Государственный Университет им Т. Г. Шевченко кафедра прикладной математики и экономико-математических методов Контрольная работа по эконометрике Тирасполь, 2010

Задание 1

По приведенным данным требуется:

Построить модель парной регрессии y от x:

Серия Г: линейную и параболическую ().

Значение параметра с найдите подбором, используя пакет Еxcel. Критерий эффективности — наименьшее значение средней по модулю ошибки аппроксимации.

Рассчитать индекс парной корреляции (для линейной модели — коэффициент корреляции), коэффициент детерминации и среднюю по модулю ошибку аппроксимации.

Оценить каждую модель, применив критерий Фишера.

Линейную модель оценить с помощью t-критерия Стьюдента, найти доверительные интервалы для коэффициентов регрессии и корреляции (доверительная вероятность 0,95).

Рассчитать прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 30% от его среднего уровня. Для линейной модели с вероятностью 0,95 построить доверительный интервал для прогнозного значения результата.

Составить сводную таблицу результатов вычислений, выбрать лучшую модель, дать интерпретацию рассчитанных характеристик.

Результаты расчетов отобразить на графиках.

Построим линейную модель парной регрессии у = а * х + b, вспомогательные расчеты проводим в таблице (стр. 8)

Найдём средние значения прожиточного минимуму х и соц. выплат у:

;.

Затем для каждого i-го года вычислим отклонения: и, , а затем перемножим эти отклонения и найдём среднее арифметическое полученной величины, т. е. определим выборочную ковариацию Коэффициенты регрессии, находим по формулам:

.

.

Таким образом, искомое уравнение регрессии примет вид:

y = 1,876 099 * x + 18,640 196

Коэффициент при х положительный: т. е. с ростом прожиточного минимума на душу населения растут средние выплаты социального характера на одного неработающего на 1,88 тыс. руб., т. е. корреляция положительная.

Рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:

Между прожиточным уровнем в среднем на душу населения и выплатами на одного неработающего существует тесная линейная зависимость.

Коэффициент детерминации:

67,9% детерминации социальных выплат на одного неработающего определяется вариацией прожиточного минимума.

Средняя по модулю ошибка аппроксимации:

Рассчитаем фактическое значение критерия Фишера:

Для уровня значимости б = 0,05 и числа степеней свободы к1= m =1; к2=n-m-1=13, по таблице находим критическое (максимальное) значение Фишера: Fтабл = 4, 67.

Fфакт Fтабл т. е. опровергается гипотеза Н0, признается статистическая значимость и надежность уравнения регрессии в целом. Найденное уравнение пригодно для расчетов.

Рассчитать прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 30% от его среднего уровня.

хр = 1,3 · хср = 1,3 · 528,166 667=686,616 667 тыс.рубл.,

у прогн. =686,616 667 · 1,876 099 — 18,640 196 = 1269,520 882 тыс.рубл.,

Если прожиточный минимум в среднем на душу населения увеличится на 30% и составит 686,62 тыс.рубл., то социальные выплаты на одного неработающего составят 1269,52 тыс. рубл.,

Ошибку прогноза рассчитаем по формуле:

;

Предельная ошибка прогноза, которая в 95% случаев не будет превышена, составит: t табл. = 2,1604

Доверительный интервал прогноза

Выполненный прогноз оказался надежным (р=1-б=1−0,05=0,95), а диапазон верхней и нижней границ доверительного интервала Dг составляет 2,33 раза.

Построим параболическую модель, минимизируем ее, обозначим через Х = (х — с)2, где с = 580,5, получим линейную модель парной регрессии у = а•Х + b

Вспомогательные расчеты проводим в таблице (стр. 9), применяя формулы:

Коэффициенты регрессии, находим по формулам:

Таким образом, y = - 0,15 027• Х + 1432,900 284, искомое уравнение регрессии в общем виде:

y = -0,15 027 * (х — 580,5)2 + 1432,900 284

Коэффициент при х положительный: т. е. с ростом прожиточного минимума на душу населения уменьшаются средние выплаты социального характера на одного неработающего на 0,015 тыс. руб.,

Коэффициент детерминации:

80,4% детерминации социальных выплат на одного неработающего определяется вариацией прожиточного минимума.

Находим индекс парной корреляции:

х, у = = 0,896 751 0,9

Между прожиточным уровнем и выплатами на одного неработающего существует тесная линейная зависимость.

Средняя по модулю ошибка аппроксимации:

Рассчитаем фактическое значение критерия Фишера:

Для уровня значимости б = 0,05 и числа степеней свободы к1= m =1; к2=n-m-1=13, по таблице находим критическое (максимальное) значение Фишера: Fтабл = 4, 67.

Fфакт Fтабл т. е. опровергается гипотеза Н0, признается статистическая значимость и надежность уравнения регрессии в целом. Найденное уравнение пригодно для расчетов.

Вычислим прогнозное значение прожиточного минимума населения хр = 1,3 · хср = 1,3 · 528,166 667=686,616 667 тыс.рубл.,

у прогн. = - 0,15 027 * (686,616 667 — 580,5) 2 + 1432,900 284 = 1263,681 332 тыс.рубл.,

При прожиточном уровне 686,616 667 тыс.рубл., социальные выплаты на одного неработающего составят 1263,681 332 тыс.рубл.,

Составим сводную таблицу результатов вычисления:

Лучшей является параболическая модель, так как ей соответствует наименьшая ошибка аппроксимации и наибольшее значение критерия Фишера.

Задание 2

По данным, приведенным в таблице, построить производственную функцию Кобба-Дугласа

Найти вид уравнения в логарифмической и естественной формах, дать интерпретацию параметров уравнения регрессии.

Найти индекс множественной корреляции, коэффициент детерминации и среднюю по модулю ошибку аппроксимации. Построить корреляционную матрицу.

Оценить значимость уравнения регрессии в целом с помощью F-критерия Фишера.

Рассчитать прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 10% от его среднего уровня, а прогнозное значение фактора уменьшится на 20% от его среднего уровня.

регрессия корреляция детерминация коэффициент Логарифмируя эту функцию, получаем линейное уравнение: произведем замену:

получим:

Для расчетов используем данные таблицы (стр.16)

Построим систему нормальных уравнений:

Обозначим:

Матрицу (ХТХ)-1 находим в таблице Гаусса:

Найдем матрицу b: b = (XT X)-1 (XT Y)

=

Уравнение регрессии имеет вид:

уЮ = 0,887 114 + 0,708 590 хЮ1 0,279 498 хЮ2 в логарифмической форме, или у = е0,887 114 хЮ10,708 590 хЮ20,279 498; у = 2,428 111 хЮ10,708 590 хЮ20,279 498

б и в — коэффициенты регрессии линейного в логарифмах уравнения, т. е. при возрастании lnх1 на 1 единицу, lny увеличится на 0,70 859, а при возрастании lnх2 на 1 единицу, lny увеличится на 0,6 279 498.

Значение коэффициентов регрессии б и в в степенной функции равны коэффициентам эластичности результата у от х1 и х2 :

Э? ух1 = 0,70 859, Э? ух2 = 0,279 498

Проверим на мультиколлинеарность факторы-переменные хЮ1, хЮ2, считается, что две переменные явно коллинеарны, т. е. находятся между собой в линейной зависимости Линейные коэффициенты частной (чистой) корреляции рассчитаем по формулам:

влияние фактора х1 на результат у, при устранении влияния х2 очень существенно.

т.к. эта величина близка к нулю, что чистое влияние фактора х2 на результат, при устранении фактора х1 незначительно.

чистое влияние фактора х1 и х2, при устранении влияния фактора у существенно Таким образом, в построенной модели фактор х1 оказывает существенное влияние на результат у.

Коэффициент детерминации.

т.е. уравнение регрессии объясняет 89,94% вариации у Индекс множественной корреляции определяет тесноту совместного влияния факторов на результат При линейной зависимости коэффициент множественной корреляции можно определить через матрицу парных коэффициентов корреляции:

где Дr — определитель матрицы парных коэффициентов корреляции

Дr11 — определить матрицы межфакторной корреляции Построим матрицу коэффициентов парной корреляции.

Дr= 0,17 468

Построим матрицу межфакторной корреляции:

Дr11 = 0,173 619

Средняя по модулю ошибка аппроксимации:

Оценим значимость уравнения регрессии в целом с помощью критерия Фишера

F табл.= 4,74

где n — число наблюдения

m — число коэффициентов при независимых переменных так как F табл. F факт, следовательно гипотеза Н0 отклоняется, уравнение регрессии признается статистическим значимым и надежным.

Рассчитать прогнозное значение результата

хпр1 = 1,1* хср =1,1 * 35,245 = 38,7695

хпр2 = 1,2* хср =1,2 * 47,21 = 56,652

упр = 2,428 111 *38,7695 0,708 590 56,652 0,279 498= 100,202 118

При прогнозном значении фактора х1 38,7695, и прогнозном значении фактора х2 56,652, прогнозное значение результата станет равным 100,202 118

Задание 3

В таблице дана информация о динамике потребления овощей за 10 лет и факторов, оказывающих влияние на объём потребления: индекс цен и среднемесячный доход.

Требуется:

найти зависимость среднедушевого потребления от размера дохода и индекса цен в естественном и стандартизованном виде.

Построить матрицу парных коэффициентов корреляции.

Найти линейные коэффициенты частной корреляции и линейный коэффициент множественной корреляции.

построить трендовую модель роста среднемесячного дохода.

Построить трендовую модель изменения цен.

Для трендовых моделей найти коэффициенты автокорреляции первого порядка и дать их интерпретацию.

Оценить статистическую значимость уравнений и их параметров с помощью критериев Фишера и Стьюдента.

Используя построенные трендовые модели для дохода и индекса цен, осуществить прогноз спроса на овощи на следующие 2 года (11 и 12).

Рассчитать коэффициенты эластичности спроса на овощи в зависимости от дохода и уровня цен для 11 года.

Построить графики трендовых моделей.

Решение:

Уравнение множественной регрессии будем искать в естественном виде :

у расч = а1×1 + а2×2 + b,

проведем решение в матричной форме Дальнейшие расчеты проводим в таблице (стр.25):

Обозначим:

Матрицу (ХТХ)-1 находим в таблице Гаусса:

Найдем матрицу, а: а = (XT X)-1 (XT Y)

=

Уравнение регрессии в естественном виде: у= 0,003 603×1 — 0,3 911×2 + 19,888 651, применив метод стандартизации переменных и построим искомое уравнение в стандартном масштабе: t y = в1 tx1 + в2 tx2

Расчет в — коэффициентов выполним по формулам:

Получим уравнение ty = 0,95 081 tx1 — 0,130 333 tx2

Построим матрицу парных коэффициентов корреляции:

Факторы у и х1, х1 и х2, у и х2 явно коллинеарны, так как больше 0,7, связь между ними прямая и тесная.

Найдем линейные коэффициенты частной корреляции по формулам влияние фактора х1 на результат у, при устранении влияния х2 слабое.

т.к. эта величина отрицательна то, что чистое влияние результата на фактора х2, при устранении фактора х1 незначительно.

чистое влияние фактора х1 и х2, при устранении влияния фактора у существенно Таким образом, в построенной модели наблюдается существенное влияние факторов х1 и х2, при неизменном уровне у.

Рассчитаем линейный коэффициент множественной корреляции.

Определяет тесноту совместного влияния факторов х1 и х2 на результативный признак Построим трендовую модель роста среднемесячного дохода по уравнению регрессии в виде: х1=а1t +b1, применим МНК Коэффициенты регрессии а1 и b1 найдем по формулам:

.

.

Итак, трендовая модель среднедушевого дохода имеет вид: х1t= 87,90909t + 423,5

Построим трендовую модель изменения цен по уравнению регрессии в виде: Jt = a2t + b2, коэффициенты регрессии найдем по формулам:

Итак, трендовая модель изменения цен имеет вид: х2t= 11,9 0901t + 122,1

Для трендовых моделей найдем коэффициенты автокорреляции первого порядка.

Найдем автокорреляцию для среднемесячного дохода на душу населения. Коэффициенты автокорреляции первого порядка рассчитываем по формуле:

где

;

.

получим:

; .

Полученное значение свидетельствует о тесной зависимости между среднемесячным доходом на душу населения текущего и непосредственно предшествующего годов, и, следовательно, о наличии во временном ряде среднемесячного дохода на душу населения сильной линейной тенденции.

Найдем автокорреляцию для индекса цен.

получим:

; .

Полученное значение свидетельствует об очень тесной зависимости между индексом цен текущего и непосредственно предшествующего годов и, следовательно, о наличии во временном ряде индекса цен сильной линейной зависимости.

Оценим значимость уравнения регрессии в цело с помощью критерия Фишера х1t= 87,90 9909t + 423,5

так как, F ф FT, то гипотеза Н0 отклоняется, уравнение регрессии в целом статистически значимо и его можно использовать для прогнозов.

С помощью частных F критериев Фишера оценим значимость каждого фактора, включенного в модель

Fx1, Fx2 FT = 5,59 это означает, что дополнительное включение фактора х1, после фактора х2, а также дополнительное включение х2, после х1 — статистически оправдано. Принимаем гипотезу Н0 о нецелесообразности включения в модель одного фактора после другого.

Оценим уравнение У (х1 ;х2) по критерию Стюдента:

ta1, ta2 t табл =2,3646. это значит, что гипотеза Н0 — о несущественности коэффициентов регрессии — принимается, коэффициенты регрессии а1 87,90 909 и а2 11,9 091 сформировались случайно, а не под действием факторов х1 и х2

Оценим модель тренда по среднемесячному доходу по критерию Фишера

Fфакт F табл =5,32, гипотеза Н0 отклоняется, уравнение можно использовать для прогнозов.

Оценим эту модель по критерию Стьюдента, для этого найдем стандартные ошибки коэффициентов регрессии и корреляции.

ta, tb, tr t T = 2,3060 т. е. гипотеза Н0 отклоняется, коэффициенты регрессии существенны и сформировались под влиянием фактора t (фактора времени) Оценим модель тренда по индексу цен по критерию Фишера: х2t= 11,09091t + 122,1

Fфакт F табл, гипотеза Н0 отклоняется, уравнение можно использовать для прогнозов.

Оценим эту модель по критерию Стьюдента, для этого найдем стандартные ошибки коэффициентов регрессии и корреляции.

ta, tb, tr t T = 2,3060 т. е. гипотеза Н0 отклоняется, коэффициенты регрессии существенны и сформировались под влиянием фактора t (фактора времени) Используя построенные трендовые модели для дохода и индекса цен, рассчитаем прогноз спроса на овощи на следующие два года (11 и 12)

Для 11 года:

Х1(11) = 87,90 909 *11+ 423,5 = 1390,5

Х2 (11)= 11,9 091 * 11 + 122,1 = 244,1

У (х1;х2) = 0,3 603 * 1390,5 — 0,3 911*244,1 +19,888 651= 23,943 238

Для 12 года:

Х1(11) = 87,909 909 *12+ 423,5 = 1478,409 091

Х2 (11)= 11,9 091 * 12 + 122,1 = 255,190 909

У (х1;х2) = 0,3 603 * 1478,418 908 — 0,3 911*255,19 092 +19,888 651= 24,21 655

Рассчитаем коэффициенты эластичности спроса на овощи в зависимости от дохода и уровня цен на 11 год Если доход возрастет на 1%, то потребление возрастет на 0,62%, если индекс цен возрастет на 1%, то потребление уменьшится на 0,38%

Построим графики трендовых моделей.

Задача 4

Изучается модель вида где y — валовой национальный доход;

y-1 — валовой национальный доход предшествующего года;

C — личное потребление;

D — конечный спрос (помимо личного потребления);

е1 и е2 — случайные составляющие.

Информация за 9 лет о приростах всех показателей дана в таблице.

Требуется:

Провести идентификацию модели.

Построить систему приведенных уравнений

.

Рассчитать параметры структурной модели.

Решение:

Проведем идентификацию модели. В данной модели две эндогенные переменные (у и С) и две экзогенные переменные (D и у-1). Второе уравнение точно идентифицировано, так как содержит две эндогенные переменные (у и С), Н=2, и не содержит одну экзогенную переменную из системы (D) D=1. Иными словами для второго уравнения имеем по счетному правилу идентификации равенство Н=D+1 (2=1+1)

Первое уравнение сверхидентифицированна, так как в нем на параметры при С и D наложено ограничение: они должны быть равны. В этом уравнении содержится одна эндогенная переменная у, Н=1. Переменная С в данном уравнении не рассматривается, как эндогенная, так как она учувствует в уравнении не самостоятельно, а вместе с переменной D. В данном уравнении отсутствует одна экзогенная переменная, имеющаяся в системеу-1, D =1.

По счетному правилу идентификации получаем: HD+1 (11+1)

Так как одно из уравнений системы точно идентифицируемо, а другое сверхидентифицируемо, то данная система сверхидентифицированна. Для определения параметров сверхидентифицированной модели используется двухшаговый метод наименьших квадратов.

Построим систему приведенных уравнений:

Коэффициент приведенной модели найдем с помощью метода наименьших квадратов.

Для нахождения значения а1, а2, b запишем систему нормальных уравнений:

Система нормальных уравнений имеет вид:

Решим эту систему методом Крамера Найдем:

Первое уравнение приведенной формы модели имеет вид у=0,6688D+0,26у-1+4,495

Запишем систему уравнений для второго уравнения приведенной формы модели:

Система нормальных уравнений имеет вид:

Решим эту систему методом Крамера, получим:

Второе уравнение приведенной формы модели имеет вид С=0,3384D+0,202у-1+12,27

Итак, получили систему приведенных уравнений:

Рассчитаем параметры структурной модели с помощью МНК Шаг 1. На основе системы приведенных уравнений по точно идентифицированному второму уравнению определим теоретические значения эндогенной переменной С, для этого в приведенное уравнение С=0,3384D+0,202у-1+12,27 подставим значения D и y-1, имеющиеся в условии задачи.

Шаг 2. По сверхидентифицированному уравнению структурной формы модели заменяем фактические значения С на теоретические СЮ и рассчитаем новую переменную Z= CЮ + D. Далее к сверхидентифицированному уравнению у = b1 Z + a1 применяем МНК.

Найдем: b1 = 0,5 117 363 a1= 1,789 188

Первое структурное уравнение имеет вид:

у= 0,511 736 (С+D) + 1,789 188

Второе структурное уравнение точно идентифицировано. Его параметры найдем из приведенной формы модели:

Из первого уравнения выразим D и подставим во второе уравнение, получим:

D= 1,495 162у- 0,39 0246y-1 -6,719 953

С = 0,33 8413(1,495 162у — 0,39 0246y-1 — 6,719 953) + 0,201 989 y-1 + 12,272 772

т.е. второе уравнение в структурной форме, примет вид: С= 0,505 983у + 0,69 927 y-1 + 9,998 653

Ответ: структурная форма модели имеет вид: