Построение интервального ряда распределения

ЗАДАЧА 1

Имеются следующие данные о заработной плате работников на предприятии:

Таблица 1.1.

Требуется построить интервальный ряд распределения, по которому найти;

• 1) среднюю заработную плату;
• 2) среднее линейное отклонение;
• 4) среднее квадратическое отклонение;
• 5) размах вариации;
• 6) коэффициент осцилляции;
• 7) линейный коэффициент вариации;
• 8) простой коэффициент вариации;
• 9) моду;
• 10) медиану;
• 11) коэффициент асимметрии;
• 12) показатель асимметрии Пирсона;
• 13) коэффициент эксцесса.

Решение

Как известно, варианты (значения признано) расположены в порядке возрастания образуют дискретный вариационный ряд. При большом числе вариант (больше 10) даже в случае дискретной вариации строятся интервальные ряды.

Если составляется интервальный ряд с ровными интервалами, то размах вариации делится на указанное число интервалов. При этом, если полученное значение целое и однозначное (что бывает редко), то длина интервала принимается равной этому числу. В остальных случаях производится округление обязательно в сторону увеличения, так чтобы последняя оставляемая цифра была чётной. Очевидно, с увеличением длины интервала расширяется размах вариации на величину, равной произведению числа интервалов: на разность расчетной и первоначальной длины интервала

Далее поступают так:

• а) Если величина расширения размаха вариации незначительна, то ее либо прибавляют к наибольшему либо вычитают из наименьшего значения признака;
• б) Если величина расширения размаха вариации ощутима, то, чтобы не произошло смешения центра размаха, ее примерно делят пополам одновременно прибавляя к наибольшему и вычитая из наименьшего значений признака.

Если составляется интервальный ряд с неравными интервалами, то процесс упрощается, но по-прежнему длина интервалов должна выражаться числом с последней чётной цифрой, что значительно упрощает последующие расчёты числовых характеристик.

= 30 — объем выборки.

Составим интервальный ряд распределения, используя формулу Стерджеса :

K = 1 + 3.32*lg n,.

K — число групп;

K = 1 + 3.32*lg 30 = 5,91=6.

Находим размах признака — заработная плата работников на предприятии — (х) по формуле.

R= xmaх — xmin и делим на 6; R= 195−112=83.

Тогда длина интервала будет lпер=83:6=13.83.

Началом первого интервала будет 112. Прибавляя к 112 lрас=13,83, получим его конечное значение 125,83, которое одновременно является началом второго интервала и т. д. конец пятого интервала — 195.

Далее находим частоты (количество значений признака попадающих в интервал) и накопительные частоты каждого полученного интервала.

При нахождении частот следует руководствоваться правилом: «если значение признака совпадает с границей внутреннего интервала, то его следует относить к предыдущему интервалу».

Получим интервальный ряд частот и накопительных частот.

Таблица 1.2.

Следовательно, 3 работника имеют зар. плату от 112 до 125,83 усл.ден.ед. Наибольшая зар. плата от 181,15 до 195 усл.ден.ед. только у 6-ті работников.

Для расчёта числовых характеристик интервальный ряд преобразуем в дискретный, взяв в качестве вариант середины интервалов:

Таблица 1.3.

По формуле взвешенного среднего арифметического.

Находим.

усл.ден.ед.

Среднее линейное отклонение:

L =.

где xi — значение изучаемого признака у i-той единицы совокупности,.

— средняя величина изучаемого признака.

= усл.ден.ед.

Среднее квадратическое отклонение:

у =.

Дисперсия:

у2 =.

Относительный размах вариации (коэффициент осцилляции): с= R,.

Относительное линейное отклонение: q = L :

Коэффициент вариации: V = у :

Коэффициент осцилляции показывает относительную колеблемость крайних значений признака около среднего арифметического, а коэффициент вариации характеризует степень и однородности совокупности.

с= R: = 83 / 159,485*100% = 52,043%.

Таким образом, разница между крайними значениями на 5,16% (=94,84%-100%) меньше среднего значения заработной платы работников на предприятии.

q = L: = 17,765/ 159,485*100% =11,139%.

V = у: = 21,704/ 159,485*100% = 13,609%.

Коэффициент вариации меньше 33%, что говорит о слабой вариации заработной платы работников на предприятии, т. е. о том, что средняя величина является типической характеристикой заработной плате работников (совокупность однородная).

В интервальных рядах распределения мода определяется по формуле ;

.

где.

— частота модального интервала, т. е. интервала, содержащего наибольшее число вариант;

— частота интервала, предшествующего модальному;

— частота интервала, следующего за модальным;

— длина модального интервала;

— нижняя граница модального интервала.

Для определения медианы в интервальном ряду воспользуемся формулой.

.

где — кумулятивная (накопленная) частота интервала, предшествующего медианному;

— нижняя граница медианного интервала;

— частота медианного интервала;

— длина медианного интервала.

Медианный интервал — интервал, накопленная частота которого (=3+3+5+7) превышает половину суммы частот — (153,49; 167,32).

.

Рассчитаем асимметрию и эксцесс для чего составим новую рабочую таблицу:

Таблица 1.4.

Фактические данные.	Расчетные данные.
xi.	mi.
118,915.		— 40,57.	— 66 775,1732.	— 200 326.	2 709 068,78.
132,745.		— 26,74.	— 19 119,838.	— 57 359,5.	511 264,469.
146,575.		— 12,91.	— 2151,68 517.	— 10 758,4.	27 778,2556.	138 891,3.
160,405.		0,92.	0,778 688.	5,450 816.	0,71 639 296.	5,14 751.
174,235.		14,75.	3209,46 875.	19 254,28.	47 333,4414.	284 000,6.
188,075.		28,59.	23 369,12578.	140 214,8.	668 123,306.
Итого.		;	;	— 108 969.	3 963 568,96.

Рассчитаем момент третьего порядка.

Следовательно, асимметрия равна.

Так как 0,3553 0,25, то асимметрия признается значительной.

Рассчитаем момент четвертого порядка.

.

Следовательно, эксцесс равен.

Так как < 0, то эксцесс является плосковершинным.

Степень асимметрии может быть определена с помощью коэффициента асимметрии Пирсона (Аs): осцилляция выборка стоимость товарооборот.

где — средняя арифметическая ряда распределения; — мода; — среднее квадратическое отклонение.

При симметричном (нормальном) распределении = Мо, следовательно, коэффициент асимметрии равен нулю. Если Аs > 0, то больше моды, следовательно, имеется правосторонняя асимметрия.

Если As < 0, то меньше моды, следовательно, имеется левосторонняя асимметрия. Коэффициент асимметрии может изменяться от -3 до +3.

Распределение не является симметричным, а имеет левостороннюю асимметрию.

ЗАДАЧА 2

Какова должна быть численность выборки, чтобы с вероятностью 0,954 ошибка выборки не превышала 0,04, если на основе предыдущих обследований известно, что дисперсия равна 0,24?

Решение

Объем выборки при бесповторном отборе рассчитывается по формуле:

n =.

t — коэффициент доверия (при вероятности 0,954 он равен 2,0; определяется по таблицам интегралов вероятности),.

у2=0,24 — среднее квадратическое отклонение;

=10 000 чел. — численность выборки;

Дх =0,04 — предельная ошибка выборочной средней.

семей.

С вероятностью 95,4% можно утверждать, что численность выборки, обеспечивающая относительную погрешность не более 0,04, должна составлять не менее 566 семей.

ЗАДАЧА 3

Имеются следующие данные о доходах от основной деятельности предприятия, млн. руб.

Для анализа ряда динамики определите следующие показатели:

• 1) цепные и базисные:
  • — абсолютные приросты;
  • — темпы роста;
  • — темпы прироста;
• 2) средний
• — уровень ряда динамики;
• — абсолютный прирост;
• — темп роста;
• — темп прироста;
• 3) абсолютное значение 1% прироста.

Решение

1. Абсолютный прирост (Ду) — это разность между последующим уровнем ряда и предыдущим (или базисным):

цепной: Ду = уi — yi-1,.

базисный: Ду = уi — y0,.

где уi — уровень ряда,.

i — номер уровня ряда,.

y0 — уровень базисного года.

2. Темп роста (Ту) — это отношение последующего уровня ряда и предыдущего (или базисного 2001 г.):

цепной: Ту = ;

базисный: Ту =.

3. Темп прироста (ТД) — это отношение абсолютного прироста к предыдущему уровню, выраженное в %.

цепной: Ту = ;

базисный: Ту =.

4. Абсолютное значение 1% прироста (А) — это отношение цепного абсолютного прироста к темпу прироста, выраженному в %.

А =.

Средний уровень ряда рассчитывается по формуле средней арифметической.

Средний уровень доходов от основной деятельности за 4 года:

= =.

Средний абсолютный прирост рассчитывается по формуле:

Ду =.

где n — число уровней ряда.

Ду =.

В среднем за год доходы от основной деятельности выросли на 3,333 млн руб.

Среднегодовой темп роста рассчитывается по формуле средней геометрической:

Ту =.

где.

уn — конечный уровень ряда, у0 — начальный уровень ряда.

Ту = 100% = 102,174%.

Среднегодовой темп прироста рассчитывается по формуле:

Т? = Ту — 100% = 102,74% - 100% = 2,74%.

Таким образом, в среднем за год доходы от основной деятельности предприятия увеличивались на 2,74%.

ЗАДАЧА 4

Вычислить:

• 1. Индивидуальные индексы цен;
• 2. Общий индекс товарооборота;
• 3. Агрегатный индекс цен;
• 4. Агрегатный индекс физического объема продажи товаров;
• 5. Абсолютный прирост стоимости товарооборота и разложите по факторам (за счет изменения цен и количества проданных товаров);
• 6. Сделать краткие выводы по всем полученным показателям.

Решение.

1. По условию, индивидуальные индексы цен по изделиям А, Б, В составили ;

iрA=1.20; iрБ=1,15; iрВ=1.00.

2. Общий индекс товарооборота рассчитаем по формуле:

I w = = 1470/1045*100% = 140,67%.

Товарооборот вырос на 40,67% (140,67%-100%).

I р = =.

или 110,24%.

В среднем цены на товары выросли на 10,24%.

Сумма дополнительных расходов покупателей от роста цен:

w (p) =? p1q1 —? p0q1 = 1470 — 1333,478= 136,522 млн руб.

В результате роста цен покупателям пришлось дополнительно израсходовать 136,522 млн руб.

4. Общий индекс физического объема товарооборота:

или 127,61%.

Физический объем товарооборота вырос на 27,61%.

5. Определим общее изменение товарооборота во втором периоде по сравнению с первым периодом:

w = 1470- 1045 = 425 млн руб.

за счет изменения цен:

W (р) = 1470 — 1333,478 = 136,522 млн руб.

за счет изменения физического объема:

w (q) = 1333,478 — 1045= 288,478 млн руб.

Товарооборот товаров увеличился на 40,67%. Цены в среднем по 3-м товарам выросли на 10,24%. Физический объем товарооборота увеличился на 27,61%.

В целом объем реализации увеличился на 425 млн руб., в том числе за счет роста цен он вырос на 136,522 млн руб., а за счет увеличения объемов продаж — на 288,478 млн руб.

ЗАДАЧА 5

По 10 заводам одной отрасли имеются следующие данные.

Таблица.

На основе приведенных данных:

I) для подтверждения положений логического анализа о наличии корреляционной прямолинейной зависимости между факторным признаком (объемом выпуска продукции) и результативным признаком (расходом электроэнергии) нанесите исходные данные на график корреляционного поля и сделайте выводы о форме связи, укажите ее формулу;

• 2) определите параметры уравнения связи и нанесите полученную при этом теоретическую линию на график корреляционного поля;
• 3) исчислите линейный коэффициент корреляции,
• 4) поясните значения показателей, полученных в пунктах 2) и 3);
• 5) используя полученную модель, сделайте прогноз о возможном расходе электроэнергии на заводе с объемом производства 4,5 тыс. шт.

Решение

Данные признака — объем выпуска продукции (фактор), обозначим через хi; признака — расход электроэнергии (результат) через уi; точки с координатами (х, у) наносим на корреляционное поле ОХУ.

Точки корреляционного поля расположены вдоль некоторой прямой. Следовательно, связь — линейная, будем искать уравнение регрессии в виде прямой Уx=ax+b. Для его нахождения воспользуемся системой нормальных уравнений:

Составим расчетную таблицу.

По найденным средним составляем систему и решаем её относительно параметров, а и b:

Итак, получим уравнение регрессии у на х: = 3,57 692 х + 3,19 231.

Строим линию регрессии на корреляционном поле.

Подставляя в уравнение регрессии значения х из столбца 2, получим расчетные (столбец 7) и сравниваем их с данными у, что отражено в столбце 8. Кстати, правильность расчетов подтверждается и совпадением средних значений у и .

Коэффициент линейной корреляции оценивает тесноту зависимости между признаками х и у и рассчитывается по формуле.

Угловой коэффициент прямой регрессии, а (при х) характеризует направление выявленной зависимости признаков: при а>0 одинаковы, при а<0- противоположны. Его абсолютная величина — мера изменения результативного признака при изменении факторного на единицу измерения.

Свободный член прямой регрессии выявляет направление, а его абсолютное значение — количественную меру влияния на результативный признак всех прочих факторов.

Если <0, то ресурс факторного признака отдельного объекта используется с меньшей, а при >0 с большей результативностью, чем в среднем по всему множеству объектов.

Проведём послерегрессионный анализ.

Коэффициент при х прямой регрессии равен 3,57 692 >0, следовательно, с увеличением (уменьшением) выпуска продукции растёт (падает) расход электроэнергии. Увеличение выпуска продукции на 1 тыс. шт. даёт в среднем рост расход электроэнергии на 3,57 692 тыс. кВт.ч.

• 2. Свободный член прямой регрессии равен 3,19 231,следовательно, влияние прочих факторов увеличивает силу воздействия выпуска продукции на расход электроэнергии в абсолютном измерении на 3,19 231 тыс. кВт.ч.
• 3. Коэффициент корреляции 0,8235 выявляет весьма тесную зависимость расхода электроэнергии от выпуска продукции.

По уравнению регрессионной модели легко делать прогнозы. Для этого в уравнение регрессии подставляют значения х — объем выпуска продукции и прогнозируют расход электроэнергии. При этом значения х можно брать не только в пределах заданного размаха, но и вне его.

Сделаем прогноз о возможном расходе электроэнергии на заводе с объемом производства 4,5 тыс. шт.

= 3,57 692*4,5 + 3,19 231= 19,288 45 тыс. кВт.ч.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

• 1. Захаренков С. Н. Социально-экономическая статистика: Учеб.-практ пособие. -Мн.: БГЭУ, 2002.
• 2. Ефимова М. Р., Петрова Е. В., Румянцев В. Н. Общая теория статистики. — М.: ИНФРА — М., 2000.
• 3. Елисеева И. И. Статистика. — М.: Проспект, 2002.
• 4. Общая теория статистики / Под общ. ред. О. Э. Башиной, А. А. Спирина. — М.: Финансы и статистика, 2000.
• 5. Социально-экономическая статистика: Учеб.-практ. пособие / Захаренков С. Н. и др. — Мн.: ЕГУ, 2004.
• 6. Социально-экономическая статистика: Учеб. пособие. / Под ред. Нестерович С. Р. — Мн.: БГЭУ, 2003.
• 7. Теслюк И. Е., Тарловская В. А., Терлиженко Н. Статистика.- Минск, 2000.
• 8. Харченко Л. П. Статистика. — М.: ИНФРА — М, 2002.
• 9. Харченко Л. П., Долженкова В. Г., Ионин В. Г. Статистика. — М.: ИНФРА — М, 1999.
• 10. Экономическая статистика / Под ред. Ю. Н. Иванова — М., 2000.