Построение шкал составных критериев

Представим процедуру построения шкал составных критериев в виде однотипных блоков. Блоки содержательно выделяются ЛПР в зависимости от специфики решаемой задачи. Каждый блок классификации i-го уровня иерархии состоит из некоторого набора признаков и одного составного критерия. В качестве объектов классификации выступают все градации оценок на шкалах признаков. Классами решений i-го уровня служат градации оценок на шкале составного критерия.

В блоке классификации (i+1)-го уровня иерархии составные критерии i-го уровня считаются признаками, множество градаций оценок которых представляет собой новые объекты классификации в сокращенном признаковом пространстве, а классами решений будут теперь градации оценок на шкале составного критерия (i+1)-го уровня. Процедура повторяется до тех пор, пока не останется единственный составной критерий верхнего уровня, являющийся искомым интегральным показателем, шкала оценок которого образует упорядоченные классы решений D₁,…,D_q. Тем самым устанавливается соответствие между классами решений D₁,…,D_q и совокупностью исходных показателей — множеством X₁,…,X_m всех возможных комбинаций градаций оценок на шкалах критериев X_i={x_i¹,…,x_i^gi}, i=1,…,m, и находятся границы классов, что позволяет легко построить классификацию реальных вариантов (альтернатив) A₁,…,A_p, оцененных по многим критериям K₁,…,K_m.

Каждый блок i-го уровня иерархии представляет собой связный двудольный граф G_i=U, E, где U — вершины графа, E — дуги (рис. 2). Множеством вершин U=XY являются множества значений исходных признаков X=X₁…X_m и градаций шкал составных критериев Y=Y₁…Y_n. Дуги E графически выражают наборы решающих правил, на основании которых выстраиваются кортежи оценок, формирующих градации шкал составных критериев (фактически — это одна из форм смысловой интерпретации предпочтений ЛПР).

Между вершинами, относящимся к разным множествам, имеются кратные дуги, т. е. граф G_i является мультиграфом. Кратность дуг графа G_i дает возможность представить градацию y_j^fj (f_j=1,…,h_j, j=1,…,n) шкалы составного критерия Y_j как множество с повторяющимися элементами или мультимножество [5]:

A_fj ={k_{Afj(x1¹)x1¹,…,kAfj(x1^g1)x1^g1,…, kAfj(xm¹) xm¹,…,kAfj(xm^gm)xm^gm},}

где k_{Afj(xi^ei) указывает сколько раз значение исходного признака xi^ei (i=1,…,m, ei=1,…,gi) встречается в кортежах, которые формируют градацию шкалы составного критерия yj^fj; знак обозначает кратность оценки xi^ei. Использование понятий мультиграфа и мультимножества позволяет построить единую схему формализации понятия составного критерия и по-новому решать как известные задачи, в которых есть определенные сложности, например, задачи распознавания иерархических структур, так и новые виды задач.}

Для формирования шкал оценок по составным критериям ЛПР может воспользоваться несколькими способами из арсенала средств вербального анализа решений. Наиболее простым и легко воспринимаемым ЛПР способом конструирования порядковой шкалы составного критерия является метод стратификации кортежей, в котором используются однотипные (например, с одинаковым числом градаций) наборы порядковых вербальных шкал исходных показателей. Аналогично методам векторной стратификации [2] метод стратификации кортежей основан на сечении многомерного дискретного признакового пространства параллельными гиперплоскостями. Каждый слой (страта) состоит из однотипных комбинаций градаций оценок на шкалах критериев X_i, а число таких сечений определяется ЛПР из содержательных соображений. Максимально возможное число слоев можно рассчитать по формуле s=1m+. Каждый слой образуется как комбинация кортежей градаций оценок, сумма номеров которых фиксирована. Число классов rs. В более сложных процедурах построения шкал критериев используются методы вербального анализа решений ЗАПРОС или ОРКЛАСС [4, 6], которые оперируют на множестве всех возможных кортежей оценок в признаковом пространстве, образованном декартовым произведением градаций оценок на шкалах критериев X₁???X_m. В этих случаях число возможных комбинаций оценок равно q=.

Рассмотрим небольшой иллюстративный пример. Пусть ЛПР необходимо построить шкалу составного критерия D из градаций оценок базовых показателей A, B и C. Допустим, что все критерии A, B, C и D имеют шкалы с тремя вербальными градациями порядковых оценок A={a⁰,a¹,a²}, B={b⁰,b¹,b²}, C={c⁰,c¹,c²} и D={d⁰,d¹,d²}, где e⁰ — отлично, e¹ — хорошо, e² — плохо.

Применяя для построения порядковой шкалы составного критерия метод стратификации кортежей, ЛПР может, к примеру, объединить градации оценок исходных критериев в обобщенные градации составного критерия по такому принципу: все лучшие оценки по базовым показателям образуют одну лучшую оценку по составному критерию, все средние оценки — одну среднюю оценку, все худшие оценки — одну худшую оценку (рис. 3).

Составной критерий D

Рис. 3. Конструирование шкалы составного критерия с помощью метода стратификации кортежей.

Воспользовавшись методом ЗАПРОС, ЛПР может сконструировать единую порядковую шкалу составного критерия, градации которой формируются из оценок по отдельным исходным показателям, и выделить на ней градации шкалы составного критерия (рис. 4).

a⁰b⁰c⁰a⁰b¹c⁰a¹b⁰c⁰a⁰b²c⁰a²b⁰c⁰;

a⁰b⁰c⁰a¹b⁰c⁰a⁰b⁰c¹a²b⁰c⁰a⁰b⁰c²;

a⁰b⁰c⁰a⁰b¹c⁰a⁰b⁰c¹a⁰b²c⁰a⁰b⁰c²;

Составной критерий D

Рис. 4. Конструирование шкалы составного критерия с помощью метода ЗАПРОС.

С помощью метода ОРКЛАСС строится полная непротиворечивая порядковая классификация многопризнаковых объектов, в качестве которых в рассматриваемом случае выступают наборы градаций оценок по исходным показателям, образующим составной критерий (рис. 5). Получаемые классы решений соответствуют градациям шкалы составного критерия.

Рис. 5. Конструирование шкалы составного критерия с помощью метода ОРКЛАСС.

Новый методологический подход к снижению размерности пространства качественных признаков обладает определенной универсальностью, так как в общем случае позволяет оперировать как с символьной (качественной), так и с числовой (количественной) информацией, представляя каждую градацию шкалы составного (агрегированного) критерия в виде комбинации оценок базовых показателей. Привлекательной особенностью предложенного подхода к снижению размерности признакового пространства является возможность его использования в сочетании с другими методами принятия решений и технологиями обработки информации.

Эффективность технологии ПАКС при решении задач многокритериального выбора и классификации может оцениваться по-разному в зависимости от типа задачи T. Например, применительно к задачам ранжирования под оценкой эффективности понимается соотношение числа несравнимых альтернатив до и после снижения размерности. В задачах классификации эффективность оценивается числом обращений к ЛПР, необходимых для построения полной непротиворечивой классификации. Соответственно можно сравнивать число обращений к ЛПР при решении задачи классификации на исходном и новом пространстве признаков. Однако для задач классификации большой размерности такой подход не всегда является приемлемым, т.к. построить полную непротиворечивую классификацию на исходном признаковом пространстве в ряде случаев просто не представляется возможным. Это связано с тем, что с ростом размерности признакового пространства растет как число объектов, предъявляемых ЛПР для классификации, так и их сложность.